【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-6空间向量及其运算和空间位置关系学案 16页

‎§8.6　空间向量及其运算和空间位置关系 考纲展示►　‎ ‎1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．‎ ‎2．会推导空间两点间的距离公式．‎ ‎3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎6．理解直线的方向向量与平面的法向量．‎ ‎7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．‎ ‎8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．‎ 考点1　空间向量的线性运算 空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．‎ ‎(2)相等向量：方向________且模________的向量．‎ ‎(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．‎ ‎(4)共面向量：________________的向量．‎ 答案：(1)大小　方向　(2)相同　相等　‎ ‎(3)平行或重合　(4)平行于同一个平面 ‎(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简＋(＋)＝________.‎ 答案： 解析：＋(＋)＝＋＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1‎ 的交点．若＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．‎ 答案：－a＋b＋c 解析：由图可知，＝＋＝＋＝＋(－)＝c＋(b－c)＝－a＋b＋c.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝－＝(＋)－ ‎＝b＋c－a，‎ ＝＋＝＋ ‎＝a＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 又＝x＋y＋z，‎ 所以x＝，y＝，z＝，‎ 因此x＋y＋z＝＋＋＝.‎ ‎(2)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B‎1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎①；‎ ‎②＋.‎ ‎[解]　①因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋ ‎＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎②因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎[点石成金]　用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．‎ 考点2　共线、共面向量定理的应用 ‎ ‎ 空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.‎ 空间向量理解的误区：共线；共面．‎ 给出下列命题：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；‎ ‎③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；‎ ‎④若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.‎ 其中为真命题的是________. ‎ 答案：④‎ 解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.‎ ‎[典题2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[证明]　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.‎ 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)＝－＝－ ‎＝(－)＝.‎ 因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎[点石成金]　应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y ‎ 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y ‎ 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ‎ 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B‎1C1，点M，‎ N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．向量是否与向量，共面？‎ 解：∵＝k，＝k，‎ ‎∴＝＋＋ ‎＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋ ‎＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k ‎＝－k(＋)‎ ‎＝(1－k)－k，‎ ‎∴由共面向量定理知，向量与向量，共面．‎ 考点3　利用向量证明平行与垂直问题 向量法证明平行与垂直 ‎(1)两个重要向量 ‎①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个．‎ ‎②平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．‎ ‎(2)空间位置关系的向量表示 答案：(1)①无数　②无数 ‎[典题3]　[2017·广东汕头模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：‎ ‎(1)CM∥平面PAD；‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎[证明]　以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ ‎∵PC⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，‎ ‎∴∠PBC＝30°.‎ ‎∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，‎ ‎∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，‎ ‎∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，‎ ＝.‎ ‎(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，‎ 则即 令y＝2，得n＝(－，2,1)．‎ ‎∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，‎ ‎∴n⊥.‎ 又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.‎ ‎(2)证法一：由(1)知，＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，‎ 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，‎ 则即 令x0＝1，得m＝(1,0，)．‎ 又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)，‎ ‎∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ 证法二：如图，取AP的中点E，连接BE，‎ 则E(，2,1)，＝(－，2,1)．‎ ‎∵PB＝AB，∴BE⊥PA.‎ 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，‎ ‎∴⊥.∴BE⊥DA.‎ 又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.‎ 又∵BE⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎[点石成金]　1.利用向量法证明平行问题的三种方法 ‎(1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行．‎ ‎(2)证明线面平行：‎ ‎①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；‎ ‎②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；‎ ‎③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．‎ ‎(3)证明面面平行：两个平面的法向量平行．‎ ‎2．利用向量法证明垂直问题的三种方法 ‎(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0.‎ ‎(2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行．‎ ‎(3)证明面面垂直：‎ ‎①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；‎ ‎②两个平面的法向量垂直.‎ 已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B‎1A，C‎1C，BC的中点．求证：‎ ‎(1)DE∥平面ABC；‎ ‎(2)B‎1F⊥平面AEF.‎ 证明：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，‎ F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)．‎ ‎(1)＝(－2,4,0)，平面ABC的一个法向量为＝(0,0,4)，‎ ‎∵·＝0，DE⊄平面ABC，‎ ‎∴DE∥平面ABC.‎ ‎(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，‎ ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，‎ ‎∴⊥，∴B‎1F⊥EF.‎ ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，‎ ‎∴⊥，∴B‎1F⊥AF.‎ ‎∵AF∩EF＝F，‎ ‎∴B‎1F⊥平面AEF.‎ 考点4　空间向量数量积的应用 ‎　‎ ‎1.两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎2．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 答案：a1b1＋a2b2＋a3b3　a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 正确使用空间向量的数量积．‎ ‎(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．‎ 答案：－13‎ 解析：a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝－13.‎ ‎(2)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．‎ 答案：－ 解析：cos〈a，b〉＝＝－.‎ ‎[典题4]　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．‎ ‎[解]　∵AB与CD成60°角，‎ ‎∴〈，〉＝60°或120°.‎ 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，‎ ‎∴||＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ ‎∴||＝2或.∴BD的长为2或.‎ ‎[点石成金]　1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．‎ ‎2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．‎ ‎3．可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.‎ 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD 的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求MN的长；‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．‎ ‎(1)证明：设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－ ‎＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p ‎＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴⊥，即MN⊥AB.‎ 同理可证，MN⊥CD.‎ ‎(2)解：由(1)可知，＝(q＋r－p)，‎ ‎∴||2＝(q＋r－p)2‎ ‎＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]‎ ‎＝ ‎＝×‎2a2＝，‎ ‎∴||＝a.∴MN的长为a.‎ ‎(3)解：设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，‎ ＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)· ‎＝＝.‎ 又∵||＝||＝a，‎ ‎∴·＝||||cos θ ‎＝a×a×cos θ＝，‎ ‎∴cos θ＝，‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为，‎ 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎ ‎[方法技巧]　1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路 ‎(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．‎ ‎(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．‎ ‎2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．‎ ‎[易错防范]　用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ ‎“两向量同向”意义不清致误分析 ‎[典例]　已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．‎ ‎[错因分析]　将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义：a，b方向相同或相反．‎ ‎[解析]　由题意知，a∥b，‎ 所以＝＝，‎ 即 把①代入②，得 x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，‎ 解得x＝－2或x＝1.‎ 当x＝－2时，y＝－6；‎ 当x＝1，y＝3.‎ 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－‎2a，‎ 两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．‎ 当时，b＝(1,2,3)＝a，‎ a与b同向，所以 ‎[答案]　1,3‎ 温馨提醒 ‎1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．‎ ‎2．若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0，则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例且比值为正值．‎