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- 2021-06-16 发布
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数 学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共5页,满分150分,考试用时120分钟.
注意事项:
1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 答案一律做在答题卡上,选择题的每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 保持答题卡的整洁,不要折叠,不要弄破.
第一部分 选择题(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则
A. B. C. D.
2.已知,,则z对应的点Z的轨迹为
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段
3.设,,那么
A. B.
C. D.
4.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲,乙,丙,丁,戊,己,庚,辛,壬,癸被称为“十天干”,子,丑,寅,卯,辰,巳,午,未,申,酉,戌,亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子,乙丑,丙寅,…癸酉,甲戌,乙亥,丙子,…癸未,甲申,乙酉,丙戌,…癸巳,…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年,那么2026年是“干支纪年法”中的
A.甲辰年 B.乙巳年 C.丙午年 D.丁未年
5.函数的部分图象大致是
A. B.
C. D.
6.在普通高中新课程改革中,某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治,地理,化学,生物4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理至少有一门被选中的概率是
A. B.
C. D.
7.若向量,满足,且,则向量,的夹角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
8.某程序框图如图所示,其中,若输出的,则判断框内应填入的条件为
A.
B.
C.
D.
9.设等差数列的前项和为,若,则等于
A.18 B.36 C.45 D.60
10.已知函数,那么下列命题中假命题是
A.是偶函数 B.在上恰有一个零点
C.是周期函数 D.在上是增函数
11.在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的体积是
A. B.
C. D.
12.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于A,B两点.若,,则椭圆的方程为
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.曲线在点处的切线方程为 .
14.某工厂为了解产品的生产情况,随机抽取了100个样本.若样本数据,,…,的方差为16,则数据,,…,的方差为 .
15.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以为直径的圆与圆交于两点.若,则C的离心率为 .
16. 在中,角,,的对边分别为,且角为锐角,则面积的最大值为 .
三、 解答题:满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)
在等比数列中,公比为,.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,
是的中点,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)异面直线和所成角的余弦值为
,求几何体的体积.
19.(本小题满分12分)
已知某保险公司的某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
保费(元)
随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况,得到下表:
出险次数
0
1
2
3
频数
280
80
24
12
4
该保险公司这种保险的赔付规定如下:
出险序次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
及以上
赔付金额(元)
0
将所抽样本的频率视为概率.
(Ⅰ)求本年度续保人保费的平均值的估计值;
(Ⅱ)按保险合同规定,若续保人在本年度内出险3次,则可获得赔付
元;若续保人在本年度内出险6次,则可获得赔付元;依此类推,求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值;
(Ⅲ)续保人原定约了保险公司的销售人员在上午~之间上门签合同,因为续保人临时有事,外出的时间在上午~之间,请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少?
20.(本小题满分12分)
已知点,在椭圆上,其中为椭圆的离心率,椭圆的右顶点为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线过椭圆的左焦点交椭圆于,两点, 直线,分别与直线交于,两点,求证: .
21.(本小题满分12分)
已知函数有两个极值点,其中.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求的最小值.
(二)选考题:共10分. 请考生从给出的第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,注意所做题目的题号必须与所涂题号一致,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分) 选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,
曲线,曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知曲线与轴交于两点,为曲线上任一点,
求的最小值.
23.(本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲
已知函数的单调递增区间为.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)设,证明:.
数学(文科)参考答案
一、选择题
CDCCB DBACD BA
二、填空题
13. 14.64 15. 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)因为公比为的等比数列中,
所以,当且仅当时成立.----------------------2分
此时公比, ---------------------------------3分
所以 ------------------------------------------------5分
(Ⅱ)因为
所以
--------------7分
--------8分
--------9分
-------------------------11分
故数列的前项和----------------------------12分
18. 解:(Ⅰ)如图,连结交于点,连结---------------------------1分
因为在直三棱柱中,四边形是矩形
所以 点是的中点---------------------------------------------2分
因为是的中点
所以 ∥---------------------------------------------------3分
因为平面,平面
所以 ∥平面---------------------------------------------4分
(Ⅱ)因为棱柱是直三棱柱
所以
因为
所以 ---------------------------------------------------5分
因为异面直线和所成角的余弦值为
所以 --------------------------------------------6分
因为
所以 ----------------------------------------------------7分
根据余弦定理,在中,
可得----------------------------------------------8分
因为,所以 由勾股定理可得
因为
所以
同理------------------------------------------------9分
所以 --------------------------------10分
所以 几何体的体积为.----------------------------------12分
19. 解:(Ⅰ)由题意可得
保费(元)
概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01
本年度续保人保费的平均值的估计值为
;----4分
(Ⅱ)由题意可得
赔偿金额(元)
0
概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01
本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值
;-----8分
(Ⅲ)设保险公司销售人员到达的时间为,续保人离开的时间为,看成平面上的点,全部结果所构成的区域为,
则区域的面积---------------------------------9分
事件表示续保人在离开前见到销售人员,
所构成的区域为---10分
即图中的阴影部分,其面积------------------11分
所以,即续保人在离开前见到销售人员的概率是--------12分
(备注:第Ⅰ、Ⅱ参考答案中的表格填写正确各得2分;示意图不要求作出)
20. 解:(Ⅰ)依题意得
解得
所以 椭圆的方程为-----------------------------------3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得, -----------------------------------------------4分
如图,设,,,,
把直线代入椭圆方程,得
所以--------------------------5分
因为三点共线,得------------------------6分
所以 ①-------------7分
同理,由三点共线,得 ②-------------8分
因为 ③-------------9分
所以把①②代入③得
--10分
----11分
所以 --------------------------------------------------12分
21. 解:(Ⅰ)依题意得的定义域为,----------1分
因为函数有两个极值点
所以方程有两个不相等的正根
所以--------------------------------------------3分
解得
此时在和上单调递增,在上单调递减
所以 实数的取值范围是-------------------------------4分
(Ⅱ)因为,是方程的两个根,
所以,
因为,
所以 ,---------------------------------6分
所以
--------------------------------8分
令,,则
即在上单调递减------------------------------------------10分
因为 , 所以
所以 ,即
所以 , 即
所以 ,
所以 ------------------------------------------------------11分
因为 在上单调递减
所以的最小值为
即的最小值为.--------------------------------12分
22. 解:(Ⅰ)因为,
所以曲线的直角坐标方程为-----------------2分
因为----------------4分
所以曲线的直角坐标方程为------------------------5分
(Ⅱ)因为曲线与轴交于两点------------6分
点关于直线的对称点为-------------8分
所以
所以的最小值为----------------------------------10分
23. 解:(Ⅰ)依题意得--------------------------------------------------1分
所以不等式化为
当时,原不等式化为,,得------2分
当时,原不等式化为,,
得-----------------------------------------3分
当时,原不等式化为,,得------------4分
所以,不等式的解集----------5分
(Ⅱ)要证明,只需证明
即要证明--------------------------------------6分
因为,所以---------------8分
因为--------9分
所以
即得证 ---------------------------------------------10分