2020届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线课时作业（全国通用） 20页

第三十六讲 椭圆双曲线抛物线 A 组 一.选择题 ‎1. （2017年全国2卷理）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心到渐近线 距离为 ，所以，故选A.‎ ‎2．设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】选D.‎ ‎【解析】在中，令，因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎3. (2017年天津卷理)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ，选B.‎ ‎4．已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】选C.‎ ‎【解析】，不妨设的方程为，设 由 得，故到轴的距离为，故选C ‎5.已知双曲线：的左右焦点分别是，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则=‎ A. B‎.3 C.4 D. ‎ ‎【答案】选C.‎ ‎【解析】由双曲线定义可知：，;‎ ‎ 两式相加得：①‎ ‎ 又，①式可变为=4‎ ‎ 即=4‎ ‎5．（2017年全国3卷理）已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得： ，又 ，解得 ，‎ 则 的方程为 .‎ 本题选择B选项.‎ 二.填空题 ‎6. （2017年全国1卷理）已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，‎ 因为 所以 到直线的距离 在中，‎ 代入计算得，即 由得 所以 ‎7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设F（c，0），又A（－，0），由，得：（－，－b）（c，－b）＝0，‎ 所以，有：，即，化为，可得离心率e＝。‎ ‎8. 与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为 . ‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】双曲线过一、三象限的渐近线方程为：‎ 设直线方程为：所以，解得 三.解答题 ‎9.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以．‎ 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义知，‎ 所以．‎ 所以，从而． ‎ 所以椭圆的方程为． ‎ 解法二：设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以． ①‎ 因为点在椭圆上，所以． ②‎ 由①②解得，，．‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． ‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（不妨设），则点．‎ 联立方程组消去得．‎ 所以，． ‎ 所以直线的方程为．‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点． ‎ 同理可得点． ‎ 假设在轴上存在点，使得为直角，则． ‎ 即，即． ‎ 解得或． ‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．‎ 解法二： 因为椭圆的左端点为，则点的坐标为． ‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点，则点．‎ 所以直线的方程为． ‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点． ‎ 同理可得点． ‎ 假设在轴上存在点，使得为直角，则．‎ 即，即． （※）‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以，即．‎ 将代入（※）得． ‎ 解得或．‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．‎ 解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为． ‎ 因为直线与椭圆交于两点，，‎ 设点（），则点． ‎ 所以直线的方程为． ‎ 因为直线与轴交于点，‎ 令得，即点． ‎ 同理可得点． ‎ 假设在轴上存在点，使得为直角，则． ‎ 即，即． ‎ 解得或．‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．‎ ‎10．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆 上。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另 ‎ 一个交点为，是否存在点，使得?若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。‎ 解：（1）因为椭圆的左顶点A在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以,‎ 所以的方程为. ‎ ‎（2）设点，设直线的方程为， ‎ 与椭圆方程联立得,‎ 化简得到, 因为为方程的一个根，‎ 所以，所以 ‎ 所以. ‎ 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以, ‎ 因为，‎ 代入得到 显然，所以不存在直线，使得. ‎ ‎11.已知顶点为原点，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点，若直线的方程为。‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）过抛物线上一动点作抛物线切线，又且交抛物线于另一点，‎ ‎(在的右侧)平行于轴，若，求的值。‎ 解：（1）设抛物线的方程为，则其焦点为，，‎ 联立，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 又的重心为焦点F ‎ 代入抛物线中，解得 故抛物线方程为 ‎ ‎（2）设，即切线， ‎ 即，又， ‎ ‎∵， ‎ ‎ ‎ 即。‎ ‎12.已知椭圆:的左右顶点分别为，右焦点为，离心率 ‎，点是椭圆上异于两点的动点，△的面积最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并作出证明．‎ 解：（1）由题意得，，解得：‎ 所以，椭圆方程为：.‎ ‎（2）以为直径的圆与直线相切．‎ 证明：设直线：，则：，的中点为为 联立，消去整理得：‎ 设，由韦达定理得：，‎ 解得：，故有：‎ 又，所以当时，，，此时轴，‎ 以为直径的圆与直线相切．‎ 当时，，‎ 所以直线，即：，‎ 所以点到直线的距离 而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切 B 组 一.选择题 B A P ‎1.如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积是定值，则动点的轨迹是 ‎ A.圆    B.椭圆   C.一条直线   D.两条平行线 ‎【答案】选B.‎ ‎【解析】我们通过这个例题可以让生进一步认识圆锥 曲线的定义. 根据已知条件的面积为定值，是长度为定值的平面的斜线段，那么点到直线的距离为定值，仅仅考虑这一点，点应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以所在的直线为轴，点到直线的距离为底面半径.同时这个点又在平面上，点的轨迹是平面与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.‎ ‎2.如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】选A.‎ ‎【解析】由抛物线的焦点为（1,0），准线为＝－1，由抛物线的定义，可知， ，…，故 ‎3．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】选C.‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点为．‎ ‎ ∴解得 ‎4.过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】选D ‎【解析】.由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故选D．‎ 二.填空题 ‎5.椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于 两点，若，，则椭圆的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不妨设点在第一象限，由对称性可得，因为在中，，故，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率 ‎6．已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是 ‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为直线与圆相切，所以 ．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得 或．‎ 三.解答题 ‎7.已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得 ‎ ‎，故，的方程为 ‎ 在第一象限的图象对应的函数解析式为，则 ‎ 故在点处的切线斜率为，切线的方程为 令得，所以点的坐标为 故线段的长为 ‎ ‎（Ⅱ）恒过定点，理由如下：‎ 由题意可知的方程为，因为与相交，故 由，令，得，故 设 由 消去得：‎ 则， ‎ 直线的斜率为，同理直线的斜率为 直线的斜率为 ‎ 因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以 ‎ ‎ 即 ‎ 整理得：， ‎ 因为不经过点，所以 所以，即 故的方程为，即恒过定点 ‎ ‎8．已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，，线段，的中点分别记为，．‎ ‎（1）求面积的最小值；‎ ‎（2）求线段的中点满足的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.‎ 联立，‎ 消去并整理得. (*)‎ ‎ (*)关于的一元二次方程的判别式.‎ ‎ 设，，则是方程(*)的两个不等实根，‎ ‎ 经计算得．‎ ‎ 设，则．‎ ‎ 类似地，设，则．‎ ‎ 所以，‎ ‎ ，‎ ‎ 因此．‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 当且仅当，即时，取到最小值4．‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点，由（1）得 ‎ ，‎ 消去后得．∴线段的中点满足的方程为．‎ ‎9．已知为椭圆的上顶点，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）若直线与椭圆相较于两点，为椭圆上任意一点，且线段的中点与线段的中点重合，求的取值范围。‎ 解：（1）因为，，，，，‎ 由题设可知，则 ①‎ 又点在椭圆上，∴，解得，所以　②‎ ‎①②联立解得，，，‎ 故所求椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设三点的坐标分别为，，，‎ 由两点在椭圆上，则，则 由（1）－（2），得　　（3）．‎ 由线段的中点与线段的中点重合，则．‎ 又，即　　　（6）‎ 把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，‎ 于是由，得，，‎ 所以． ‎ 因为，所以，有，‎ 所以，即的取值范围为．‎ ‎10.已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足 ‎（为坐标原点）。当 时，求实数的值．‎ 解：（Ⅰ）由题意知； ‎ 又因为，所以，． ‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，，‎ 由得． ‎ ‎，． ‎ ‎，．又由，得，‎ ‎ ‎ 可得． ‎ 又由，得，则，． ‎ 故，即． ‎ 得，，即 ‎ C 组 ‎1.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为 （A） （B）2 （C） （D）‎ ‎【答案】选B．‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨的方程分别为． 因为，所以直线的方程为．由得 ‎ 点坐标为．由，得，整理得，， ‎ ‎ 所以，所以该双曲线的离心率为2．应选B．‎ ‎2.椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】选D.‎ ‎【解析】设，‎ 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴，．‎ 由椭圆的定义可知的周长为，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ ‎3.已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有（ ）‎ ‎① ② ③ ④ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】选C.‎ ‎【解析】直线与直线关于原点对称，直线与直线关于轴对称，与直线关于轴对称，故有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7。‎ ‎4.直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是　(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】选D.‎ ‎【解析】联立 得 由题意得 即解得 二.填空题 ‎5.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与轴的交点，当最小时，点的坐标为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知焦半径，‎ 则，‎ 则，因为点在抛物线上，所以，则(当且仅当时取等号)，则，且取最小值时，此时点P的坐标为．‎ ‎6.△中，为动点，、为定点，,，且满足条件,则动点的轨迹方程为 ___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：由,得,‎ ‎∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.‎ 三.解答题 ‎7.设椭圆过两点，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 ‎ 解得， ‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为，则直线与该定圆相切，由对称性及可知，此时直线方程为，其与椭圆交于，故，解得，下面说明定圆满足题意． ‎ ‎①由上述讨论可知，切线于椭圆交于两点，满足．由椭圆与圆均关于轴对称可知，切线也满足题意． ‎ ‎②当切线不与轴垂直时，设切线方程为，交于．‎ 则圆心到切线的距离，即． ‎ 由得，， 所以 ‎，‎ 且．‎ 所以，．所以，，‎ 所以．‎ 综上所述，存在定圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且．‎ F P2‎ x O y N B A M P1‎ Q ‎8． 如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线，与抛物线和圆依次交于，，，，求 最小值。‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，‎ 所以 ，解得，所以抛物线的方程为 。‎ 由抛物线和圆的对称性，可设圆：，‎ ‎∵，∴是等腰直角三角形，不妨设在左侧，则，‎ ‎∴，代入抛物线方程有。‎ 由题可知在，处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，‎ 所以抛物线在点处切线的斜率为。‎ 由知，所以，代入，解得。‎ 所以圆的方程为。‎ ‎（Ⅱ）由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为。‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴。‎ 由得，设，，‎ 则，由抛物线定义知，。‎ 所以 设，则 所以当时即时，有最小值16. ‎ ‎9.已知动圆过点,且与圆相内切.‎ ‎（1）求动圆的圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线（其中与(1)中所求轨迹交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线，使得，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.‎ ‎∵，∴点在圆内. ……1分 设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，‎ 即. ……2分 ‎ ‎∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为 ‎, 则.∴.‎ ‎∴所求动圆的圆心的轨迹方程为. ‎ ‎(2)由 消去化简整理得： ‎ 设，，‎ 则.. ①‎ 由 消去化简整理得：. ‎ 设，则,‎ ‎. ②‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴.∴或.解得或. ‎ 当时,由①、②得 ，∵Z,，∴的值为 ，，;当，由①、②得 ，∵Z,，∴.‎ ‎∴满足条件的直线共有9条． ‎ ‎10.已知椭圆垂直于轴的焦点弦的弦长为 ，直线与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，‎ 的中垂线与轴和轴分别交于两点．记的 面积为，的面积为．求的取值范围。‎ 解：(1) ∴椭圆的方程为 ‎ ‎（2）由（1）知 若直线的斜率不存在，则 不合题意，所以直线的斜率存在且不为，设其方程为 并代入中，整理得：‎ ‎， ，…6分 ‎∴ ∵ ∴‎ ‎∴∴即 ‎∵ ∴ ‎ ‎ ‎