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  • 2021-06-16 发布

2018届二轮复习统计与概率文学案(全国通用)

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专题4 统计与概率(文)‎ 考 点 要求层次 A B C 统计 随机抽样 简单随机抽样 ‎√‎ 分层抽样和系统抽样 ‎√‎ 用样本估计总体 频率分布表、直方图、折线图、茎叶图 ‎√‎ 样本数据的基本数字特征(如平均数、标准差)‎ ‎√‎ 用样本的频率分布表估计总体分步,用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 ‎√‎ 变量的相关性 线性回归方程 ‎√‎ 统计案例 独立性检验 独立性检验(只要求2x2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。‎ ‎√‎ 回归分析 回归分析的基本思想、方法及其简单应用。‎ ‎√‎ 概率 事件与概率 随机事件的概率 ‎√‎ 随机事件的运算 ‎√‎ 两个互斥事件的概率加法公式 ‎√‎ 古典概型 古典概型 ‎√‎ 几何概型 几何概型 ‎√‎ 说明: A.了解 B.理解 C.掌握 概率与统计部分高考中选填题以考查概率计算,统计图表,样本数字特征等为中低档题。解答题应用问题为载体,考查统计与概率综合或统计案例.具体解题时,除了熟练古典概型与几何概型求解,抽样方法及统计图表、样本数字特征计算,线性回归方程及独立性检验等,同时让学生感悟解题中所蕴含建模思想,随机思想,阅读能力及数据处理能力。‎ 复习教学中提出以下建议;‎ 教学中应注意“四化”,知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。高考复习内容四查:查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通:对学生点,心有灵犀一点通;让学生悟,融会贯通;让学生做,触类旁通;让学生考,无师自通。‎ ‎★★★‎ 通过研究近4年全国高考试卷,高考中概率与统计试题主要以中档题出现,通过研究近几年全国高考试卷,题目设置上,会有1--2个选填题;分值为5—10分。解答题为12分。‎ ‎○○○○‎ 概率与统计部分在高考中占据重要的地位,通过分析近几年的高考情况,考查特点如下表:‎ 考什么 怎么考 题型与难度 ‎1.概率模型与计算 ‎①考查利用古典概型计算概率;‎ ‎②考查利用几何概型计算概率;‎ 题型:三种题型均可出现 难度:基础题或中档题 ‎2.统计图与样本数字特征 ‎①考查平率分布直方图;‎ ‎②考查平均数,方差、中位数及众数的计算;‎ 题型:三种题型均可出现 难度:基础题或中 档题 ‎3.统计案例 ‎①线性回归方程的计算与运用;‎ ‎②独立性检验;‎ 题型:解答题 难度:中档题 ‎ 2014-2017年全国高考解三角形(文科)试题分布表 年份 题型 考查角度 分值 难度 ‎2017年Ⅰ卷 选择题第2题 样本特征数 选择题第4题 几何概型 解答题第19题 相关系数,方差均值计算 ‎12‎ 中等 ‎2017年Ⅱ卷 选择题第11题 古典概型 ‎12‎ 中等 解答题第19题 频率分布直方图与独立性检验 ‎2017年Ⅲ卷 选择题第3题 折线图 解答题第18题 古典概型概率 ‎12‎ 中等 ‎2016年Ⅰ卷 选择题第5题 古典概型 ‎12‎ 中等 解答题第18题 函数解析式、概率与统计 ‎2016年Ⅱ卷 选择题第3题 柱形图 ‎5‎ 中等 选择题第7题 几何概型.‎ 解答题第18题 样本的频率、平均值的计算 ‎2016年Ⅲ卷 选择题第4题 平均数;统计图.‎ ‎5‎ 中等 选择题第8题 古典概型 解答题第18题 线性回归方程 ‎2015年Ⅰ卷 选择题第4题 古典概型 ‎12‎ 中等 解答题第19题 线性回归方程 ‎2015年Ⅱ卷 选择第3题 柱形图 ‎12‎ 中等 解答题第18题 频率分布直方图及概率估计.‎ ‎2014年Ⅰ卷 填空题第13题 古典概率的计算 ‎5‎ 中等 解答题第18题 频率分布直方图;平均数与方差的计算 ‎2014年Ⅱ卷 填空题第13题 古典概率的计算 ‎5‎ 容易 解答题第18题 ‎.茎叶图;古典概率;众数、中位数、平均数.‎ 统计的主要问题是:简单随机抽样和用样本估计总体;概率的主要问题是:随机现象与概率模型.在本专题中,研究的基本思维模式是:‎ 对于统计问题,构建“随机抽样→收集数据→整理分析数据→提取信息→用信息去说明问题”的框架.在统计问题中,数据的获得是至关重要的.如果从总体中抽取的样本不均匀,不具备随机性,那么后期对样本的数据分析就变得苍白无力,因此无论是在学习统计问题的时候,还是在进行复习的时候,都要帮助学生遵循“随机获取、均匀抽样”的原则;另外,在数据处理之后,要养成运用数据说明问题的习惯,不能把统计题目只看成对数据进行计算. 因此,统计学的核心思想就是抽样思想,基本思维模式:首先确定研究的客观存在的总体,其次是抽取总体中的一个随机样本;最后是依据样本得出的数据信息(特征)来推测总体的某些数字信息(特征).‎ 对于概率问题,构建“认清随机事件,科学使用枚举法计数,并合理使用概率模型(古典概型、独立与互斥事件、超几何分布、二项分布)解题”的思维模式,最终帮助学生形成能用概率来解释生活中的一些随机现象的能力.‎ 概率与统计知识问题解决所需的核心技能与核心思想方法 ‎(1).核心思想:随机思想 ‎(2).核心技能:阅读技能(从文字语言、图表语言、数据中获取准确信息)、运算技能 典例 【2017课标II文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:‎ ‎(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg”,估计A的概率;‎ ‎(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:‎ 箱产量<‎‎50kg 箱产量≥‎‎50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行较。附:‎ P()‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)0.62. (2)有把握 (3)新养殖法优于旧养殖法 ‎【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于‎50kg的频率为;‎ ‎ (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62‎ 因此,事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎【精准解读】本道概率与统计解答题,延续了高考中对概率统计部分的传统。以实际背景为载体,综合考察概率,统计图表及样本数字特征和统计案例相关内容。对阅读能力要求高,知识运用的综合性强。基本知识的掌握要牢固,但难度不大。‎ ‎1.【2017课标3文18】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出的所有可能值,并估计大于零的概率.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)需求量不超过300瓶,即最高气温不高于,从表中可知有54天,‎ ‎∴所求概率为.‎ ‎(2)的可能值列表如下:‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎300‎ ‎900‎ ‎900‎ ‎900‎ 低于:;‎ ‎:;‎ 不低于:‎ ‎∴大于0的概率为.‎ ‎【精准解读】本题以酸奶销售为载体,内容贴近学生生活实际。第(1)问通过频率分布表来计算概率,只要阅读理解准确易答。第(2)问联系到利润,可建立函数解析式,然后求出概率。需要一定的分析能力。‎ ‎2.【2016高考新课标2文数】某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值;‎ ‎(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.‎ 求的估计值;‎ ‎(III)求续保人本年度的平均保费估计值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由求的估计值; (Ⅱ)由求的估计值;‎ ‎(III)根据平均值得计算公式求解.‎ ‎ (Ⅲ) 由题所求分布列为:‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查200名续保人的平均保费为 ‎,‎ 因此,续保人本年度平均保费估计值为‎1.1925a.‎ ‎【精准解读】本题以保险收费为背景,以年度的保费与其上年度出险次数关系,出险次数与频数表格为条件,计算概率及均值。考查了学生的数据读取能力,应用意识及运算能力。‎ ‎3.【2016高考新课标1文数】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(I)若=19,求y与x的函数解析式;‎ ‎(II)若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值;‎ ‎(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?‎ ‎【答案】(I) (II)19 (III)19‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,;当时,,所以与的函数解析式为.‎ ‎(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故的最小值为19.‎ ‎(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.‎ 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.‎ ‎【精准解读】本题把统计与函数结合在一起进行考查。需要通过条形统计图及题目条件,建立函数关系式。有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,重视数学中的阅读理解能力培养.‎ ‎【实战演练】(共100分)‎ 一、选择题(共4题,每题5分)‎ ‎1.【2017课标1文2】为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差 C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数 ‎【答案】B ‎2,【2017课标3文3】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图,下列结论错误的是( )‎ A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【解析】由折线图,,8月份后月接待游客量减少,A错误;年接待游客量逐年增加;各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳。所以选A.‎ ‎3.【2017课标2文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如下表所示,表中的点横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数 总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为 ‎4.【2016高考新课标2文7】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为,‎ 故选B.‎ 二、填空题(共6题,每题5分)‎ ‎5. 【2017上海模拟】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为    石.‎ ‎【答案】168‎ ‎【解析】由题意,这批米内夹谷约为1524×≈168石,故答案为:168.‎ ‎6.【2017郑州模拟】‎ ‎200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方式,按1~200编号分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为23,第9组抽取号码为   ;若采用分层抽样,40﹣50岁年龄段应抽取  人.‎ ‎【答案】43 ; 12‎ ‎7. 【2017北京东城区二模】如图茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:小时),已知甲班数据的平均数为13,乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填  ;y的位置应填   .‎ ‎【答案】3;8‎ ‎【解析】根据茎叶图中的数据,得:∵甲班的平均数为13,∴=13,‎ 解得x=3;又乙班的中位数是17,∴=17,解得y=8;‎ 综上,x、y的值分别为3、8. 故答案为:3 8.‎ ‎8. 【2017银川模拟】随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),若该校的学生总人数为3000,则成绩不超过60分的学生人数大约为   .‎ ‎【答案】900‎ ‎【解析】:由频率分布直方图得成绩不超过60分的学生的频率为:‎ ‎(0.005+0.01)×20=0.3,∴成绩不超过60分的学生人数大约为:3000×0.3=900.‎ ‎9. 【2017成都模拟】在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,,那么这组数据的方差S2可能的最大值是  .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎10. 【2017福建莆田模拟】把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为  .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】骰子投掷2次所有的结果有6×6=36‎ 由得(b﹣‎2a)y=3﹣‎2a,‎ 当b﹣‎2a≠0时,方程组有唯一解 当b=‎2a时包含的结果有:当a=1时,b=2‎ 当a=2时,b=4当a=3时,b=6共三个 所以方程组只有一个解包含的基本结果有36﹣3=33‎ 由古典概型的概率公式得,故答案为:‎ 三、解答题(共5题,每题10分)‎ ‎11.【2015高考陕西文19】随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎ ‎ ‎(I)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;‎ ‎(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎【答案】(I) ; (II) .‎ ‎【解析】 (I)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,‎ 西安市不下雨的概率是.‎ ‎(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等)这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.‎ ‎12.【2017长沙模拟】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖。‎ ‎(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果;‎ ‎(II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?‎ 请说明理由。‎ ‎【答案】(I) ‎ ‎(II) 说法不正确;‎ ‎【解析】(I)所有可能的摸出结果是: ‎ ‎(II)不正确,理由如下:由(I)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果 为共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为 ‎,故这种说法不正确。‎ ‎13. 【2016高考北京文数】某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:‎ ‎(I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,‎ w至少定为多少?‎ ‎(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)10.5元.‎ ‎(II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:‎ ‎(元).‎ ‎14.【2017衡水金卷】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)‎ ‎(Ⅰ)应收集多少位女生样本数据?‎ ‎(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. ‎ ‎(Ⅲ)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 附:‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】(I)90;(2)0.75;(3)有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎【解析】(I),所以应收集90位女生的样本数据.‎ ‎(II)由频率分布直方图得,该校学生每周平均体育运动时间超过4‎ 个小时的概率为.‎ ‎(III)由(II)知,300位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得.‎ 有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎15.【2015高考新课标1文19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中= , =‎ ‎(I)根据散点图判断,与,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);‎ ‎(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为 ,根据(II)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)当年宣传费时,年销售量及年利润的预报值时多少?‎ ‎(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?‎ 附:对于一组数据,,……,,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,‎ ‎【答案】(Ⅰ)适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型(Ⅱ) (Ⅲ)46.24‎ ‎【解析】(Ⅰ)由散点图可以判断,适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. ‎ ‎(Ⅱ)令,先建立关于的线性回归方程,由于=,‎ ‎∴=563-68×6.8=100.6. ∴关于的线性回归方程为,‎ ‎∴关于的回归方程为.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎

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