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- 2021-06-16 发布
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第二章 平面向量
一、选择题
1.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( )
A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( )
A.(-5k,4k) B.(-,-) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P分所成的比为,则A分所成的比是( )
A. B. C.- D.-
4.已知向量a、b,a·a=-40,|a|=10,|b|=8,则向量a与b的夹角为( )
A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则向量a·b=( )
A.10 B.-10 C.10 D.10
6.已知a=(3,0),b=(-5,5),则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+x·b与b垂直,则x的值为( )
A. B. C.2 D.-
8.设点P分有向线段的比是λ,且点P在有向线段的延长线上,则λ的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-)
9.设四边形ABCD中,有=,且||=||,则这个四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为( )
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后,得到y=x2的图像,则a等于( )
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是( )
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1),向量b与a共线且b与a同向,b的模为2,则b= 。
14.已知:|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,要使λb-a垂直,则λ= 。
15.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b= 。
16.在菱形ABCD中,(+)·(-)= 。
三、解答题
17.如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。
18.已知非零向量满足,求证:
19.设e1与e2是两个单位向量,其夹角为60°,试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,求点B的坐标和。
21. 已知 ,的夹角为60o, , ,当当实数为何值时,⑴∥ ⑵
22.已知△ABC顶点A(0,0),B(4,8),C(6,-4),点M内分所成的比为3,N是AC边上的一点,且△AMN的面积等于△ABC面积的一半,求N点的坐标。
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
==a,……
=+= b+a,……
=-= b+a-a= b-a,……
=+=++= b-a,……
=-=a-b。……
18. 证:
又为非零向量
19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=。
同理得|b|=。又a·b==(2e1+e2)·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=-,
∴ cosθ===-,∴θ=120°.
20.[解] 如图8,设B(x,y),
则=(x,y), =(x-4,y-2)。
∵∠B=90°,∴⊥,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y。①
设OA的中点为C,则C(2,1), =(2,1),=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形,∴⊥,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y=5。②
解得①、②得或
∴B(1,3)或B(3,-1),从而=(-3,1)或=(-1,-3)
21. ⑴若∥ 得 ⑵若得
22.[解] 如图10,
==。
∵M分的比为3,∴=,则由题设条件得
=,∴ =,∴=2。
由定比分点公式得
∴N(4,-)。