2018届二轮复习（文）　集合与常用逻辑用语、不等式专题一第1讲学案（全国通用） 13页

第1讲　集合与常用逻辑用语 ‎1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．‎ ‎2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．‎ 热点一　集合的关系及运算 ‎1．集合的运算性质及重要结论 ‎(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.‎ ‎(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.‎ ‎(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.‎ ‎2．集合运算中的常用方法 ‎(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．‎ ‎(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．‎ ‎(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．‎ 例1　(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)‎ A．A∩B＝ B．A∩B＝∅‎ C．A∪B＝ D．A∪B＝R 答案　A 解析　因为B＝{x|3－2x＞0}＝，‎ A＝{x|x＜2}，‎ 所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．‎ 故选A.‎ ‎(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：①M＝；②M＝{(x，y)|y＝sin x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝lg x}．‎ 其中所有“理想集合”的序号是(　　)‎ A．①③ B．②③‎ C．②④ D．③④‎ 答案　B 解析　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由x1x2＋y1y2＝0可知，⊥.①项，y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A，B在同一支上时，∠AOB<90°，当点A，B不在同一支上时，∠AOB>90°，不存在⊥，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得⊥成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得⊥成立，故错误．综合②③正确，故选B.‎ 思维升华　(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．‎ ‎(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．‎ 跟踪演练1　(1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A＝{x∈N|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－4＝0}，下列结论成立的是(　　)‎ A．B⊆A B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝{2}‎ ‎(2)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C(S)等于(　　)‎ A. 4 B. 3‎ C. 2 D. 1‎ 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)A＝{x∈N|1≤x≤4}，‎ B＝{x|x＝±2}⇒A∩B＝{2}，故选D.‎ ‎(2)由A＝{1,2}，得C(A)＝2，‎ 由A*B＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.‎ 由(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，‎ 得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.‎ 当C(B)＝1时，方程(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0只有实根x＝0，这时a＝0；‎ 当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a.由Δ＝a2－8＝0，得a＝±2，可验证均满足题意，故S＝{－2，0,2}，故C(S)＝3.‎ 热点二　四种命题与充要条件 ‎1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．‎ ‎2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．‎ 例2　(1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是(　　)‎ A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格 B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分 C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分 D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分 答案　C 解析　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.‎ ‎(2)已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sin α>sin β的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　D 解析　由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋，β＝，有α>β，但sin α＝sin β，即α>β不是sin α>sin β的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝，β＝2π＋，有sin α>sin β成立，但α<β，即α>β不是sin α>sin β的必要条件．综上所述，α>β是sin α>sin β的既不充分也不必要条件．故选D.‎ 思维升华　充分条件与必要条件的三种判定方法 ‎(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．‎ ‎(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．‎ 跟踪演练2　(1)有关命题的说法正确的是(　　)‎ A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”‎ B．命题“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是：“∀x∈R,2x2－1<0”‎ C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题 ‎(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC中，“Acos 2B>cos 2C”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　(1)C　(2)C 解析　(1) 对于A选项，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A错误；对于B选项，命题 “∃x∈R，使2x2－1<0”的否定是“∀x∈R,2x2－1≥0” ，故B错误；选项C的逆命题为真命题，故C正确；选项D的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D错误，故选C. ‎ ‎(2)由正弦定理，可得在△ABC中，若Acos 2B>cos 2C，反之也成立．‎ 所以在△ABC中，“Acos 2B>cos 2C”的充要条件，故选C.‎ 热点三　逻辑联结词、量词 ‎1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．‎ ‎2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．‎ ‎3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．‎ 例3　(1)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：‎ 命题p：若m＝，则f(f(－1))＝0；‎ 命题q：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解．‎ 那么，下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ ‎(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－>0，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，log3(x＋2)－≤0‎ B．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，log3(x0＋2)－<0‎ C．綈p：∃x0∈(－∞，1]，log3(x0＋2)－≤0‎ D．綈p是假命题 答案　(1)C　(2)D 解析　(1) 若m＝，则f(f(－1))＝f ＝0，故命题p为真命题．当x<0时，f(x)＝2x>0；当x≥0时，若m<0，f(x)＝m－x2<0.故∀m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0无解，从而命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.‎ ‎(2)綈p：∃x0∈(1，＋∞)，log3(x0＋2)－≤0，又函数f(x)＝log3(x＋2)－在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(1)＝0，故p是真命题，即綈p是假命题. ‎ 故选D.‎ 思维升华　(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．‎ ‎(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．‎ 跟踪演练3　(1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：∀m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧q；④(綈p)∨(綈q)中，为真命题的是(　　)‎ A．②③ B．②④‎ C．③④ D．①④‎ ‎(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x0∈R，使得x＋(1－a)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为_________．‎ 答案　(1)D　(2)[－1,3]‎ 解析　(1) 因为f(－x)＝f(x)，所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题．‎ 所以p∨q与(綈p)∨(綈q)为真命题，故选D.‎ ‎(2)由题设可得(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3.‎ 真题体验 ‎1．(2017·北京改编)已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝________.‎ 答案　[－2,2]‎ 解析　因为A＝{x|x<－2或x>2}，‎ 所以∁UA＝∁RA＝{x|－2≤x≤2}，即∁UA＝[－2,2]．‎ ‎2．(2017·天津改编)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　∵<，‎ ‎∴－<θ－<，即0＜θ＜.‎ 显然当0＜θ＜时，sin θ＜成立．‎ 但当sin θ＜时，由周期函数的性质知，0＜θ＜不一定成立．‎ 故0＜θ＜是sin θ＜的充分不必要条件，‎ 即“<”是“sin θ<”的充分不必要条件．‎ ‎3．(2017·山东改编)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a21}，则A∩B等于(　　)‎ A．(2,3] B．[2,3]‎ C．(－∞，0)∪(0,2] D．(－∞，－1)∪[0,3]‎ 押题依据　集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．‎ 答案　A 解析　A＝[0,3]．又log2(x2－x)>log22，即x2－x>2，‎ 解得x<－1或x>2，所以B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．‎ 所以A∩B＝(2,3]．‎ ‎2．已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 押题依据　充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念．‎ 答案　A 解析　由<1，可得－1＝<0，‎ 所以x<－1或x>2.‎ 因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.‎ ‎3．给出下列四个命题，其中正确的命题有(　　)‎ ‎①函数y＝sin 2x＋cos 2x在x∈上的单调递增区间是；‎ ‎②a1，a2，b1，b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x＋b1>0}，B＝{x|a2x＋b2>0}，则“＝”是“A＝B”的必要不充分条件；‎ ‎③若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1<0”．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 押题依据　‎ 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．‎ 答案　C 解析　①y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 又x∈，因此函数的单调递增区间是；‎ ‎②充分性不成立，如a1＝1，b1＝1，a2＝－1，b2＝－1，满足＝，但A＝{x|x＋1>0}＝(－1，＋∞)，B＝{x|－x－1>0}＝(－∞，－1)，A≠B；‎ 必要性成立：A＝B⇒a1a2>0⇒－＝－⇒＝；‎ ‎③当p∨q为真命题时，p，q不一定全真，因此p∧q不一定为真命题；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．‎ 所以①②为真，故选C.‎ ‎4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：‎ ‎①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；‎ ‎②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；‎ ‎③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；‎ ‎④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．‎ 其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)‎ 押题依据　以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．‎ 答案　②④‎ 解析　①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．‎ A组　专题通关 ‎1．(2017届四川雅安中学月考)已知集合A＝{x|(x＋2)(x－6)<0}，B＝{－3,5,6,8}，则A∩B 等于(　　)‎ A．{－3,5} B．{－3} C．{5} D．∅‎ 答案　C 解析　∵A＝{x|－25}，‎ 所以A∩(∁RB)＝(－2，－1]，故选C.‎ ‎4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ 答案　B 解析　集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，‎ 集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．‎ 结合图形可知，直线与圆有两个交点，‎ 所以A∩B中元素的个数为2.‎ 故选B.‎ ‎5．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案　B 解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0.‎ ‎∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．‎ ‎∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，‎ 此时a2＜b2，‎ ‎∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．‎ ‎∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．‎ 故选B.‎ ‎6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：‎ p1：若复数z满足∈R，则z∈R；‎ p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；‎ p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；‎ p4：若复数z∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4‎ 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，‎ z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；‎ 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，‎ 则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，‎ 所以p2为假命题；‎ 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；‎ 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.‎ ‎7．(2017·天津)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.‎ ‎∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，‎ ‎∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．‎ 故选B.‎ ‎8．下列四种说法中：‎ ‎①命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x<0”；‎ ‎②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；‎ ‎③已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点，则f(4)的值等于；‎ ‎④已知向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则向量a在向量b方向上的投影是.‎ 其中说法错误的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　①项，命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”，故①项错误；②项，充分性：“p且q为真”，则p真，q真，故p或q为真，充分性成立；必要性：“p或q为真”，则p与q其中一个命题可以为假命题，故命题“p且q为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f(x)＝xa的图象经过点，则f(2)＝2a＝⇒a＝－，则f(4)＝，故③项正确；④项，向量a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为|a|cos θ＝＝＝，故④项错误．故选C.‎ ‎9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是(　　)‎ A．命题“∃x0>1，x－1>0”的否定是“∀x>1，x2－1≤0”‎ B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件 C．若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题 D．命题“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”的否命题为“若a·b≠0，则a≠0且b≠0”‎ 答案　C 解析　A中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A正确；B中，由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1，所以“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，故B正确；C中，“p∧q”为假命题，则p，q中可能一真一假，也可能p，q均为假命题，故C错；D中，由否命题的概念知，D正确，故选C.‎ ‎10．设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a<1)的定义域为A，集合B＝{x|cos πx＝1}，若(∁UA)∩B恰好有两个元素，则a的取值的集合为__________．‎ 答案　{a|－20，可得x>－a或x2}‎ 解析　对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，所以[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，‎ 解得1≤m≤2.因为綈p为真命题，所以m<1或m>2.‎ ‎12．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______________．‎ 答案　 解析　p：|4x－3|≤1，∴≤x≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，∴a≤x≤a＋1.‎ ‎∵綈p是綈q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件，∴ ‎∴0≤a≤.‎ B组　能力提高 ‎13．(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是(　　)‎ ‎①∃x0∈A，x0∉B；②∃x0∈B，x0∉A；③∀x∈A都有x∈B；④∀x∈B都有x∈A.‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 答案　C 解析　因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B⊆A，即B是A的子集，①④正确，②③错误，故选C.‎ ‎14．(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由[x]的定义，当[x]＝[y]时，则|x－y|<1，若|x－y|<1时，比如x＝3.5，y＝2.9，此时[x]＝3，[y]＝2，[x]≠[y]，所以“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的充分不必要条件．‎ ‎15．(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x0∈R，asin x0＋cos x0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是_________．‎ 答案　(－，)‎ 解析　由题命题“∀x∈R，asin x＋cos x<2为真命题，‎ 则<2，∴－