江西省赣州市十五县市2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 17页

‎2019—2020学年第一学期赣州市十五县（市）期中联考高三数学（文）试题 一、选择题 ‎1.命题“，”否定为（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题的知识，判断出正确选项.‎ ‎【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，条件不用否定，由此确定B选项正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎2.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）‎ A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为满足，所以是偶函数；因为满足，同时，所以 既不是奇函数也不是偶函数；又满足是奇函数；满足是偶函数；应选答案D。‎ ‎3.已知为等比数列，，，则的值为（ ）‎ A. B. 9或 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项的性质列方程，再结合等比数列通项的关系，求得的值.‎ ‎【详解】根据等比中项性质可知，而，故同号，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等比数列项的符号的判断，属于基础题.‎ ‎4.已知，均为单位向量，若，则，的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量垂直的表示列方程，利用向量的数量积运算进行化简，由此求得两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.‎ ‎【详解】设两个向量的夹角为，由于，所以，解得，由于，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查单位向量的概念，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过“分段法”判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】根据对数的性质可知，根据指数的性质可知，，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用对数的性质和指数的性质比较大小，考查“分段法”，属于基础题.‎ ‎6.函数的图象大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性排除；由，排除；由，排除，从而可得结果.‎ ‎【详解】由，得为偶数，图象关于轴对称，排除；‎ ‎，排除；‎ ‎，排除，故选C.‎ ‎【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎7.如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B，则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，点B得到，‎ 将所求的转化为，按照公式展开，得到答案.‎ ‎【详解】由题意因为，点B 所以，‎ 所以，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.‎ ‎8.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为 A. 3 B. 6 C. 9 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ S15=45，得，，M为a5, a11的等比中项，则 ‎9.若函数在区间上存在极值点，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在某个区间上存在极值点，即在这个区间上导数有正有负，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意，由于函数在区间上存在极值点，所以在区间上有正有负，由于二次函数开口向上，对称轴为，，解得或.当时，对称轴，故此时在区间上 ‎，函数单调递增，没有极值点.当时，由于，且二次函数开口向上，故区间上必存在零点，也即在区间上存在极值点.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在极值点求参数的取值范围，考查二次函数的性质，属于中档题.‎ ‎10.中，,,,为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设PA＝x，x∈[0，]，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．‎ ‎【详解】△ABC中，设PA＝x，x∈[0，]，‎ 则（）•x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45°‎ ‎＝x2﹣x+4，‎ ‎∵x∈[0，]，‎ 由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；‎ 当x＝0时，有最大值4，‎ 所求的范围是[，4]．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．‎ ‎11.对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）‎ A. f（x）=1（x∈R）不是“可构造三角形函数”‎ B. “可构造三角形函数”一定是单调函数 C. f（x）=是“可构造三角形函数”‎ D. 若定义在R上的函数f（x）的值域是（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于A选项，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A选项错误；‎ 对于B选项，由A选项判断过程知，B选项错误；‎ 对于C选项，当a=0，b=，c=时，f（a）=1＞f（b）+f（c）=，不构成三角形，故C错误；‎ 对于D选项，由于，可知，定义在R上的函数f（x）的值域是（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”，故D正确 故选：D．‎ ‎12.已知函数在定义城R上可导，且，则关于x的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】构造函数，依题意可知，即在上递增. 由得，即，即，根据在上递增可知，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查诱导公式，考查导数的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知数列{}中,,则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出和时的式子，然后两式相除，得到答案.‎ ‎【详解】由题意可知，‎ 时，，‎ 时，，‎ 下式比上式得a5＝‎ ‎【点睛】本题考查数列的基本概念，属于简单题.‎ ‎15.若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，求得的值，由此求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查两角和的余弦、两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16.设函数是定义域R为的偶函数，且，若时，，则函数的图象与的图象交点个数______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的奇偶性和周期性画出的图像，画出的图像，由此判断两个函数图像交点个数.‎ ‎【详解】由于，所以是周期为的偶函数，图像关于轴对称，由于时，，所以时，.根据是周期为 的偶函数画出的图像如下图所示，同时画出的图像，根据图像可知，两个函数图像有个交点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的周期性和奇偶性，考查两个函数图像交点个数的判断，考查函数图像的画法，考查数形结合的数学思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合，（）．‎ ‎（1）若是的充分不必要条件，求正数a的取值范围；‎ ‎（2）若，求正数a的取值范图．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合.‎ ‎（1）根据是的充分不必要条件可知是的真子集，由此列不等式组，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（2）根据两个集合的交集为空集列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ ‎（1）是的充分不必要条件，即且则需满足 得．‎ 经验证端点符合题意，所以a取值范围是．‎ ‎（2）若，则或，解得或．‎ 所以a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，考查根据交集为空集求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎18.已知数列满足，，.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列定义可以证明；‎ ‎（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.‎ ‎【详解】证明：（1）∵，∴.‎ 又∵，∴.‎ 又∵，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为4的等比数列.‎ 解：（2）由（1）求解知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．‎ ‎（1）若，求角B的大小；‎ ‎（2）在（1）的条件下，且，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两个向量平行的坐标表示列方程，利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和定理进行化简，由此求得的值，进而求得角的大小.‎ ‎（2）利用余弦定理列式求得的值，利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1），．‎ 由正弦定理知 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2）由余弦定理知，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数，若方程在上有解，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.‎ ‎（2）利用导数，求得的单调区间和值域，根据在有解列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，， ‎ 令解得：，‎ 时，，此时函数是减少的．‎ 时，，此时函数是增加的．‎ 函数的增区间为，减区间为．‎ ‎（2），则，‎ 由（1）知，在为增函数，，‎ 在为增函数，即．‎ 在有解，只需满足即 实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.‎ ‎21.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象．‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若在上是单调函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）0；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先化简解析式，然后求得左移个单位后函数的解析式，根据的奇偶性求得的值，进而求得的值.‎ ‎（2）根据（1）中求得的，求得的取值范围，根据的取值范围，求得的取值范围，根据在上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 又为偶函数，则（），，．‎ ‎．‎ ‎（2），，‎ ‎，，，‎ 在上是单调函数．且．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）y=x-1（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）当时，求出切点坐标，然后求出，从而求出的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程； （Ⅱ）先求导函数，要使在定义域（0，+∞）内是增函数，只需在（0，+∞）内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围； （III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出 的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当a=1时，函数， ∴f（1）=1-1-ln1=0.， ‎ 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1-1=1． ‎ 从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1， 即y=x-1． ‎ ‎（2）． ‎ 要使f（x）在定义域（0，+∞）内增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立． ‎ 即：ax2-x+a≥0得：恒成立． ‎ 由于， ∴， ∴ ‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是． ‎ ‎（3）∵在[1，e]上是减函数 ‎ ‎∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e] ‎ f'（x）=令h（x）=ax2-x+a ‎ 当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1 ‎ 又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e] ‎ 而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1 ‎ 解得a≥ ∴实数a的取值范围是[，+∞）‎ 点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：‎ 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；‎ 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.‎ ‎ ‎