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  • 2021-06-16 发布

2018届二轮复习专题52椭圆方程多结合其几何性质考查学案(全国通用)

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专题52 椭圆方程多结合其几何性质考查 考纲要求:‎ ‎1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.了解椭圆的简单应用.3.理解数形结合的思想.‎ 基础知识回顾:‎ 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程和几何性质 三、直线与椭圆的位置关系 ‎1.位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为0),设其判别式为Δ,‎ ‎(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交;(2)Δ=0⇔直线与椭圆相切;(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离.‎ ‎2.弦长公式 ‎(1)若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|= |y1-y2|.‎ ‎(2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长,最长为‎2a.‎ 应用举例:‎ 类型一、椭圆定义的应用 ‎【例1】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】点在椭圆上,是椭圆的两个焦点,,且的三条边,,成等差数列,则此椭圆的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【例2】【2018届福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考】已知椭圆: ,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为5,则的值是( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点评:(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.‎ 类型二、椭圆标准方程的求法 ‎【例3】【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6,若该椭圆的离心率为,则椭圆的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B.‎ 点评:求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.‎ 类型三、椭圆的焦点三角形问题 ‎【例4】为椭圆上一点,为左右焦点,若,则的面积为 .‎ 解析:由椭圆方程可知,,∵点在椭圆上,为椭圆的左右焦点,∴,设,则,解得,所以的面积为.所以答案应填:.‎ ‎【例5】【2018届重庆市第一中学高三上期中】已知点是椭圆上一点, ‎ 分别为的左、右焦点, , , 的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的直线与椭圆相交于两点,点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线的方程为.‎ ‎(2)①当直线的斜率为0时,则;‎ ‎②当直线的斜率不为0时,设, ,直线的方程为,‎ 将代入,整理得,‎ 则, ,又, ,‎ 点评:(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=‎2a,得到a、c的关系.‎ ‎(2)对△F1PF2的处理方法⇔ 类型四、椭圆的离心率问题 ‎【例6】【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三第四次调研诊断】已知椭圆的左、右焦点分别为,且,点在椭圆上, , ,则椭圆的离心率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于,则, , ‎ ‎, , , , , , , ,则 ,选C. ‎ ‎【例7】【2018届四川省成都市新津中学高三11月月】如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 为椭圆的顶点, 为右焦点,延长与交于点,若为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例8】【2018届南宁市届高三毕业班摸底】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是,弦的中点坐标是,则椭圆的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线与椭圆交点为,分别代入椭圆方程,由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得,选C. ‎ 点评:求椭圆离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围.离心率e与a,b的关系:e2=⇒=。‎ 类型五、直线与椭圆的位置关系 ‎【例9】【2018届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】已知中心为坐标原点,焦点在轴上的椭圆的焦距为4,且椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与椭圆交于, 两点, ,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎ ‎ 点评:解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.‎ 类型六、与椭圆有关的最值问题 ‎【例10】已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,则的最小值______________‎ 解析:由椭圆的方程化为 ,可得 ,∴ .如图所示.‎ ‎∵ ,∴ .当且仅当三点 共线时取等号.∴ 的最小值为.‎ ‎【例11】【2018届四川省成都市第七中学高三上半期】已知椭圆: 的左、右焦点分别为 且离心率为, 为椭圆上三个点, 的周长为,线段 的垂直平分线经过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求线段长度的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)4.‎ ‎(2)当斜率不存在时, 最大值为 当斜率存在时,设: ‎ 联立与得: , ‎ 中点坐标为 因为的垂直平分线经过点,所以(若为0,则中垂线为轴,这与题 ‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法:‎ ‎(1)求出a,c代入公式e=;‎ ‎(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ ‎2、利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常用到结论有:(其中,θ=∠F1PF2)‎ ‎(1)|PF1|+|PF2|=‎2a;(2)‎4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ;(3)当P为短轴端点时,θ最大.‎ ‎(4)S=|PF1||PF2|sin θ=·b2=b2tan =c·|y0|.‎ ‎ 当y0=±b,即P为短轴端点时,S△PF‎1F2有最大值为bc.‎ ‎(5)焦点三角形的周长为2(a+c).‎ 实战演练:‎ ‎1.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,过的直线交椭圆于、两点,若的周长为,则椭圆的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】设分别是椭圆()的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点, 在轴上的截距为1,若,且轴,则此椭圆的长轴长为( )‎ A. B. ‎3 C. D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】轴, 在轴上的截距为1,则, ,则 ,‎ ‎, , , , , , .选D . ‎ ‎3.【2018届河南省中原名校高三第三次质量考评】已知点是椭圆上的一点, , 是焦点,若取最大时,则的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4.【2018届浙江省温州市高三9月】正方形的四个顶点都在椭圆上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方体的边长为,椭圆的焦点在正方形的内部,,又正方形的四个顶点都在椭圆上,,,,故选B. ‎ ‎5.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考(一)】设直线与椭圆交于两点,若是直角三角形,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】代入椭圆方程得,,故选C.‎ ‎6.【2018届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷(1)】已知点是以为焦点的椭圆上一点,若,则椭圆的离心率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 7.【2018届山东省淄博市淄川中学高三上学期开学】已知点是椭圆的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么的最小值是( )‎ A. 2 B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆,即为,则椭圆的,则由为的中线,即有,则,可设,则,即有,当时,取得最小值,则的最小值为,故选A. ‎ ‎8.设、分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任一点,点的坐标为,则|‎ ‎ |+||的最大值为_______‎ 解析:由椭圆方程可知,两焦点坐标,由椭圆定义可得 ‎,结合三角形三边关系可知,所以,最大值为15 ‎ ‎9.已知直线与椭圆相交于两点,且(为坐标原点),若椭圆的离心率,则的最大值为___________.‎ ‎ 10.【2018届天津市实验中学高三上期中】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;‎ ‎(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎(3)当直线垂直于轴时, ,因此的面积.‎ 当直线不垂直于轴时,该直线方程为,代入,‎ 解得, ,‎ 则,又点到直线的距离,‎ ‎∴的面积 于是 由,得,其中,当时,等号成立.‎ ‎∴的最大值是.‎ ‎11.【2018届福建省福州市第一中学高三上学期期中】已知是椭圆 的左右焦点,O为坐标原点, 在椭圆上,线段与轴的交点满足.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)直线与椭圆相交于两点, ,判断的面积是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ 由得,且有 ‎,且有 因为,得,即 化简得:‎ 满足, ,‎ 点到直线的距离,所以(定值).‎ ‎12.【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若点分别是椭圆的左右顶点,直线经过点且垂直与轴,点是椭圆上异于的任意一点,直线交于点.‎ ‎ ①设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值;‎ ‎②设过点垂直于的直线为 ,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2),.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.【2018届江苏省徐州市高三上学期期中】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,离心率为,过点的直线与椭圆交于另一点,点为轴上的一点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若是以点为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据条件列关于a,b,c方程组,解得a,b(2)先设直线方程(点斜式),与椭圆方程联立解得B点坐标,由AC与BC垂直,以及AC=BC解出C点纵坐标,得关于k的二次方程,即得直线方程 试题解析:(1)由题意可得: ,即, ‎ 从而有,‎ 所以椭圆的标准方程为:. ‎ ‎ ‎ ‎14.【2017届北京房山高三上期末】已知两定点, ,曲线上的动点满足,直线与曲线的另一个交点为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎(Ⅱ)由题意知直线不垂直于轴,也不与轴重合或平行.‎ 设, ,直线方程为,其中.‎ 由,得.‎ 解得或.‎ 依题意, .‎ 因为,‎ 所以,则.‎ ‎ ‎

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