- 2.12 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
专题52 椭圆方程多结合其几何性质考查
考纲要求:
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.了解椭圆的简单应用.3.理解数形结合的思想.
基础知识回顾:
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程和几何性质
三、直线与椭圆的位置关系
1.位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为0),设其判别式为Δ,
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交;(2)Δ=0⇔直线与椭圆相切;(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离.
2.弦长公式
(1)若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|= |y1-y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长,最长为2a.
应用举例:
类型一、椭圆定义的应用
【例1】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】点在椭圆上,是椭圆的两个焦点,,且的三条边,,成等差数列,则此椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【例2】【2018届福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考】已知椭圆: ,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为5,则的值是( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
点评:(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
类型二、椭圆标准方程的求法
【例3】【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6,若该椭圆的离心率为,则椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B.
点评:求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
类型三、椭圆的焦点三角形问题
【例4】为椭圆上一点,为左右焦点,若,则的面积为 .
解析:由椭圆方程可知,,∵点在椭圆上,为椭圆的左右焦点,∴,设,则,解得,所以的面积为.所以答案应填:.
【例5】【2018届重庆市第一中学高三上期中】已知点是椭圆上一点,
分别为的左、右焦点, , , 的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程.
【答案】(1) ;(2) 直线的方程为.
(2)①当直线的斜率为0时,则;
②当直线的斜率不为0时,设, ,直线的方程为,
将代入,整理得,
则, ,又, ,
点评:(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的关系.
(2)对△F1PF2的处理方法⇔
类型四、椭圆的离心率问题
【例6】【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三第四次调研诊断】已知椭圆的左、右焦点分别为,且,点在椭圆上, , ,则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于,则, ,
, , , , , , , ,则 ,选C.
【例7】【2018届四川省成都市新津中学高三11月月】如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 为椭圆的顶点, 为右焦点,延长与交于点,若为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【例8】【2018届南宁市届高三毕业班摸底】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是,弦的中点坐标是,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线与椭圆交点为,分别代入椭圆方程,由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得,选C.
点评:求椭圆离心率问题,应先将e用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式,从而求出e的值或范围.离心率e与a,b的关系:e2=⇒=。
类型五、直线与椭圆的位置关系
【例9】【2018届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】已知中心为坐标原点,焦点在轴上的椭圆的焦距为4,且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于, 两点, ,求直线的方程.
【答案】(1)(2)
点评:解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
类型六、与椭圆有关的最值问题
【例10】已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,则的最小值______________
解析:由椭圆的方程化为 ,可得 ,∴ .如图所示.
∵ ,∴ .当且仅当三点 共线时取等号.∴ 的最小值为.
【例11】【2018届四川省成都市第七中学高三上半期】已知椭圆: 的左、右焦点分别为 且离心率为, 为椭圆上三个点, 的周长为,线段
的垂直平分线经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段长度的最大值.
【答案】(1) ;(2)4.
(2)当斜率不存在时, 最大值为
当斜率存在时,设:
联立与得: ,
中点坐标为
因为的垂直平分线经过点,所以(若为0,则中垂线为轴,这与题
方法、规律归纳:
1、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法:
(1)求出a,c代入公式e=;
(2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
2、利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常用到结论有:(其中,θ=∠F1PF2)
(1)|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ;(3)当P为短轴端点时,θ最大.
(4)S=|PF1||PF2|sin θ=·b2=b2tan =c·|y0|.
当y0=±b,即P为短轴端点时,S△PF1F2有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a+c).
实战演练:
1.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,过的直线交椭圆于、两点,若的周长为,则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
2.【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】设分别是椭圆()的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点, 在轴上的截距为1,若,且轴,则此椭圆的长轴长为( )
A. B. 3 C. D. 6
【答案】D
【解析】轴, 在轴上的截距为1,则, ,则 ,
, , , , , , .选D .
3.【2018届河南省中原名校高三第三次质量考评】已知点是椭圆上的一点, , 是焦点,若取最大时,则的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2018届浙江省温州市高三9月】正方形的四个顶点都在椭圆上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的边长为,椭圆的焦点在正方形的内部,,又正方形的四个顶点都在椭圆上,,,,故选B.
5.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考(一)】设直线与椭圆交于两点,若是直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】代入椭圆方程得,,故选C.
6.【2018届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷(1)】已知点是以为焦点的椭圆上一点,若,则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
【答案】A
7.【2018届山东省淄博市淄川中学高三上学期开学】已知点是椭圆的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么的最小值是( )
A. 2 B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】椭圆,即为,则椭圆的,则由为的中线,即有,则,可设,则,即有,当时,取得最小值,则的最小值为,故选A.
8.设、分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任一点,点的坐标为,则|
|+||的最大值为_______
解析:由椭圆方程可知,两焦点坐标,由椭圆定义可得
,结合三角形三边关系可知,所以,最大值为15
9.已知直线与椭圆相交于两点,且(为坐标原点),若椭圆的离心率,则的最大值为___________.
10.【2018届天津市实验中学高三上期中】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
(3)当直线垂直于轴时, ,因此的面积.
当直线不垂直于轴时,该直线方程为,代入,
解得, ,
则,又点到直线的距离,
∴的面积
于是
由,得,其中,当时,等号成立.
∴的最大值是.
11.【2018届福建省福州市第一中学高三上学期期中】已知是椭圆 的左右焦点,O为坐标原点, 在椭圆上,线段与轴的交点满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆相交于两点, ,判断的面积是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
【答案】(1);(2)
由得,且有
,且有
因为,得,即 化简得:
满足, ,
点到直线的距离,所以(定值).
12.【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点分别是椭圆的左右顶点,直线经过点且垂直与轴,点是椭圆上异于的任意一点,直线交于点.
①设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值;
②设过点垂直于的直线为 ,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
【答案】(1);(2),.
13.【2018届江苏省徐州市高三上学期期中】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,离心率为,过点的直线与椭圆交于另一点,点为轴上的一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是以点为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据条件列关于a,b,c方程组,解得a,b(2)先设直线方程(点斜式),与椭圆方程联立解得B点坐标,由AC与BC垂直,以及AC=BC解出C点纵坐标,得关于k的二次方程,即得直线方程
试题解析:(1)由题意可得: ,即,
从而有,
所以椭圆的标准方程为:.
14.【2017届北京房山高三上期末】已知两定点, ,曲线上的动点满足,直线与曲线的另一个交点为.
(Ⅰ)求曲线的标准方程;
(Ⅱ)设点,若,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅱ)由题意知直线不垂直于轴,也不与轴重合或平行.
设, ,直线方程为,其中.
由,得.
解得或.
依题意, .
因为,
所以,则.