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- 2021-06-16 发布
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2020届高三年级第三次月考数学(文科)试题
一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,, M是AB的中点,N是CM的中点,则( )
A., B. C. D.
3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为,圆面中剩余部分的面积为,当与的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A. B.
C. D.
4.下列四个结论:①命题“”否定是“”;
②若是真命题,则可能是真命题;③“且”是“”的充要条件;
④当时,幂函数在区间上单调递减.
其中正确的是( )
A.①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如函数的图象大致是( )
6、已知,则( )
A. B. C. D.
7. 已知为奇函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是. ( )
A. B.
C. D.
8.若,且.则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
9.函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
10、如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点( )
A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
B. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
11.设函数 ,若互不相等的实数满足,
则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知是定义在上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上所有零点之和为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数,若正实数满足,则的最小值为______________.
14.已知是以点A为起点且与=平行的单位向量,则向量的终点坐标为 .
15、已知且则= .
16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数,则函数的值域是 .
三、解答题(70分)
17.(本小题满分10分)已知函数,
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集为空集,求实数的取值范围.
18.(本题满分12分)已知函数(其中)的最小正周期为.
(1) 求的值;
(2) 将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求函数在上零点
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面平面,, ,,,
点、分别为、的中点.
﹙1﹚求证:平面平面;
﹙2﹚求三棱锥—的体积.
20. (本题满分12分)
已知某中学高三文科班学生共有人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取人进行成绩抽样统计,先将人按进行编号.
(1)如果从第行第列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的个人的编号;(下面摘取了第行至第行)
(2)抽的人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
人数
数学
来优秀
良好
及格
地
理
优秀
7
20
5
良好
9
18
6
及格
4
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有人,若在该样本中,数学成绩优秀率为,求的值.
(Ⅲ)将的表示成有序数对,求“
在地理成绩为及格的学生中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对的概率.
21.(本小题满分12分)
在中,分别是角的对边,且.
(1)求角的值;
(2)若,且为锐角三角形,求的范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数,,m是实数.
(1)若在区间(2,+∞)为增函数,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,函数有三个零点,求m的取值范围.
2020届高三年级第三次月考数学(文科)试题答题卡
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(每小题5分,共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答题(共70分)
17.(10分)
18. (12分)
19. (12分)
20. (12分)
21. (12分)
22.(12分)
2020届高三年级第三次月考数学(文科)试题答案
CDAAB AADBA CA
12. A
【解析】由已知是定义在R上的奇函数,所以,又,所以
的周期是2,且得是其中一条对称轴,又当时,,,于是图象如图所示,
又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标,四个交点分别关于对称,所以,所以零点之和为.
故选A.
13. 1 14. 15. 16.
17.解析:
(1)当a=3时,f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,
即有f(x)=
不等式f(x)≤4即为 或 或.
即有0≤x<1或3≤x≤4或1≤x<3,则为0≤x≤4,
则解集为[0,4];
(2)依题意知,f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立,
∴2≤f(x)min;
由绝对值三角不等式得:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|,
即f(x)min=|1﹣a|,
∴|1﹣a|≥2,即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2,
解得a≥3或a≤﹣1.
∴实数a的取值范围是[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1].
18. 解:(Ⅰ)
函数
=.
由最小正周期,得ω=1.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,将函数f(x)的图象向左平移个单位,
得到图象的解析式,
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到.
由,得,
故当x∈[﹣π,π]时,函数g(x)的零点为和.
19. 解: ﹙1﹚由题意知: 点是的中点,且,
所以 ,所以四边形是平行四边形,则. ……………………2分
平面,平面,所以平面. ……………………4分
又因为、分别为、的中点,所以.
平面,平面,
所以, 平面. ……………………5分
,所以平面平面. ……………………6分
(2)解法一:利用
因为平面平面,
平面平面,,,所以,平面.
所以,的长即是点到平面的距离.……………………8分
在中,,
所以,, ……………………10分
所以. ……………………12分
解法二:利用.
.……………………10分
. ……………………12分
20.解:(Ⅰ)依题意,最先检测的3个人的编号依次为. ……3分
(Ⅱ)由,得, ……5分
因为,所以. ……7分
(Ⅲ)由题意,知,且.
故满足条件的有:,
,共14组.
……9分
其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有:
,
,共6组. ……11分
∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为. ……12分
21.解:(1)由题意知,∴,
由余弦定理可知,,
又∵,∴.
(2)由正弦定理可知,,
即,
∴
,
又∵为锐角三角形,∴,则即,
所以, 即,
综上的取值范围为.
22.解:(1)f′(x)=x2-(m+1)x,
因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,
所以f′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)恒成立,
所以x-m-1≥0恒成立,即m≤x-1恒成立,
由x>2,得m≤1,
所以m的取值范围是(-∞,1].
(2)h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2+mx-,
所以h′(x)=(x-1)(x-m),令h′(x)=0,解得x=m或x=1,
m=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是增函数,不合题意,
m<1时,令h′(x)>0,解得x1,令h′(x)<0,解得m