辽宁省朝阳市建平县2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷 18页

www.ks5u.com 建平县2018—2019学年度高一下学期期末统一考试 数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={x︱x>－2}且，则集合B可以是（ ）‎ A. {x︱x2>4 } B. {x︱ }‎ C. {y︱} D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】A、B={x|x＞2或x＜-2}，  ∵集合A={x|x＞-2}，  ∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意；  B、B={x|x≥-2}，  ∵集合A={x|x＞-2}，  ∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；  C、B={y|y≥-2}，  ∵集合A={x|x＞-2}，  ∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；  D、若B={-1，0，1，2，3}，  ∵集合A={x|x＞-2}，  ∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符，  故选：D．‎ ‎2.命题“”的否定是（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.‎ ‎【详解】改为，改成，则有：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.‎ ‎3.下面四个命题：‎ ‎①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；‎ ‎②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；‎ ‎③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；‎ ‎④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”；‎ 其中正确命题的序号是( )‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项分析见详解.‎ ‎【详解】① “a平行于b所在的平面”不能推出 “直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；‎ ‎②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；‎ ‎③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；‎ ‎④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.‎ ‎4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）‎ A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，‎ 两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎【考点】增长率问题，常用对数的应用 ‎【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ 所以选A.‎ ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：‎ ‎（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎（3）变式：根据式子结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎6.三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】过的中心M作直线,‎ 则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，‎ 则面上的点到的距离相等，‎ 平面与的交点即为球心O，‎ 半径，故选D.‎ 考点：求解三棱锥外接球问题.‎ 点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.‎ ‎7.已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间.‎ ‎【详解】因为，‎ 若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合；‎ 若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意.‎ ‎8.设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：‎ 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639‎ 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620‎ 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613‎ ‎9.设函数,，其中,.若，且 的最小正周期大于，则（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 则，所以，即，故；‎ 则，代入可得：且，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；‎ ‎（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.‎ ‎10.函数的部分图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．‎ 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎11.已知角顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.‎ ‎【详解】由三点共线，从而得到，‎ 因为，‎ 解得，即，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.‎ ‎12.过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若,，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用重心以及向量的三点共线的结论得到的关系式，再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】设重心为，因为重心分中线的比为，则有，，则，又因为三点共线，所以，则，取等号时.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】（1）三角形的重心是三条中线的交点，且重心分中线的比例为；‎ ‎（2）运用基本不等式时，注意取等号时条件是否成立.‎ 二、填空题．‎ ‎13.设向量，若，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用向量垂直数量积为零列等式可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，且，‎ 所以，‎ 可得，‎ 又因为，‎ 所以，故答案为.‎ ‎【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式 ‎【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．‎ ‎15.设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，则，‎ 故，又因为是奇函数，‎ 所以，则.‎ ‎【点睛】（1）形如的函数是周期函数，周期； ‎ ‎（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.‎ ‎16.一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出示意图，利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】如图所示：为灯塔，为轮船 ‎，，则在中有：，且海里，则解得：海里.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。‎ ‎17.从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：‎ ‎（1）一切可能的结果组成的基本事件空间。‎ ‎（2）取出的两件产品中恰有一件次品的概率 ‎【答案】(1) 和 ；(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）注意先后顺序以及是不放回的抽取；（2）在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，‎ 即和 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品 ‎（2）用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，‎ 则 ‎ ‎∴事件A由4个基本事件组成，因而，=。‎ ‎【点睛】本题考查挂古典概型的基本概率计算，难度较易.对于放回或不放回的问题，一定要注意区分其中的不同.‎ ‎18.若不等式恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立的条件下由于给定了的范围，故可考虑对进行分类，同时利用参变分离法求解的范围.‎ ‎【详解】由题意得 ‎(1),时，‎ ‎ 恒成立 ‎ ‎(2),等价于 又 ‎∴ ‎ ‎∴实数a的取值范围是 ‎【点睛】含有分式的不等式恒成立问题，要注意到分母的正负对于不等号的影响；若是变量的范围给出了，可针对于变量的范围做具体分析，然后去求解参数范围.‎ ‎19.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。‎ ‎（1）证明FO∥平面CDE；‎ ‎（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDE。‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.‎ ‎【详解】证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM， ‎ 在矩形ABCD中，又,‎ 则,于是四边形EFOM为平行四边形。‎ ‎∴FO∥EM.‎ 又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，‎ ‎∴FO∥平面CDE。‎ ‎（2）连结FM,‎ 由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD 且 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.‎ ‎∵CD⊥OM,CD⊥EM ‎∴CD⊥平面EOM，‎ 从而CD⊥EO.‎ 而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.‎ ‎【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面；‎ ‎（2）线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面.‎ ‎20.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.‎ 详解：解：（1）因为，，所以．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎（2）因为为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，，求△ABC的面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) , (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式、辅助角公式进行化简,，然后根据单调区间对应的的公式求解单调区间；（2）根据计算出的值，再利用余弦定理计算出的最大值则可求面积的最大值，注意不等式取等号条件.‎ ‎【详解】解:（1）‎ ‎ ‎ ‎∴函数的单调递增区间为, ‎ ‎（2）由（1）知得（舍）或 ‎∴有余弦定理得 即 ‎∴当且仅当时取等号 ‎∴‎ ‎【点睛】（1）辅助角公式：；‎ ‎（2）三角形中，已知一边及其对应角时，若要求解面积最大值，在未给定三角形形状时，可选用余弦定理求解更方便，若是给定三角形形状，这时选用正弦定理并需要对角的范围作出判断.‎ ‎22.已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立。‎ 求：（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，求时的值域。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将写成顶点式，然后根据最小值和对称轴进行分析；（2）先将表示出来，然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ 又∵‎ ‎∴对称轴为 ‎∵值域为 ‎∴且 ‎ ‎∴,，则函数 ‎ ‎（2）∵‎ ‎∵‎ ‎∴令,则 ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∵∴，则 所求值域为 ‎【点睛】对于形如的函数，其单调增区间是：和，单调减区间是：和.‎ ‎ ‎