【数学】2019届一轮复习人教A版数列的综合应用学案 12页

专题三 数列 高考解答题专讲(三) 数列的综合应用 一、等差数列、等比数列的证明 证明数列是等差(比)数列的两种基本方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列；‎ ‎(2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．‎ ‎【例1】 (2017·江西红色七校一联)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝1，bnbn＋1＝λ·2an.‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正实数λ，使得{bn}是等比数列？并说明理由．‎ ‎ [解] ‎ ‎ 巧造等差或等比判定方法 ‎(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；‎ ‎(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；‎ ‎(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·长春市高三质量监测)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)．‎ ‎(1)若数列{bn}满足bn＝an－，求证：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎[解] (1)证明：由已知得an＋1－＝3(n∈N*)，从而有bn＋1＝3bn，又b1＝a1－＝1，所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝3n－1，从而an＝3n－1＋，‎ 所以Sn＝1＋＋3＋＋…＋3n－1＋＝1＋3＋…＋3n－1＋＝.‎ 二、数列的通项与求和 ‎1．求数列的通项公式的方法 ‎(1)等差、等比数列的通项公式适合用基本量法；(2)已知an与Sn间关系式时适合用an＝求得；(3)依据递推关系变形为等差(等比)数列求得．‎ ‎2．求数列的前n项和的方法 结合数列通项公式的特点，采用裂项相消、错位相减、分组求和等方法．‎ ‎ [解] (1)设第一行组成的等差数列的公差是d，各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)⇒q(1＋2d)＝6，a3,2＝q‎2a1,2＝q2(1＋d)⇒q2(1＋d)＝8，‎ 解得d＝1，q＝2，a1,2＝2⇒an,2＝2×2n－1＝2n.‎ ‎(2)bn＝，则Sn＝＋＋＋…＋，‎ 则Sn＝＋＋＋…＋，‎ 两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－，‎ 所以Sn＝2－.‎ ‎[探究追问] 若例2(2)中bn＝＋(－1)na1，n，如何求Sn?‎ ‎[解] 由例题可知bn＝＋(－1)nn，‎ Sn＝＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]．‎ 设Tn＝＋＋＋…＋，‎ 则Tn＝＋＋＋…＋，‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－，‎ 所以Tn＝2－.‎ 又－1＋2－3＋…＋(－1)n·n＝ 故Sn＝ ‎ 求数列的通项及前n项和的常用方法 ‎(1)求数列通项公式的方法：基本量法、公式法、累加法、累乘法、构造法．‎ ‎(2)求数列前n项和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎2．(2017·南宁第二次适应性测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且‎2a1，a3,‎3a2成等差数列．‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解] (1)设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵‎2a1，a3,‎3a2成等差数列，∴‎2a1＋‎3a2＝‎2a3，‎ 即‎2a1＋‎3a1q＝‎2a1q2，‎ 化简得2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.‎ ‎∵q>0，∴q＝2.‎ ‎∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.‎ ‎(2)∵bn＝(n＋2)log2an＝n(n＋2)，‎ ‎∴＝＝，‎ Tn＝＋＋…＋＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎ [解] (1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，‎ 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．‎ 令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.‎ ‎(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知 Tn＝xx…x＝22…2.‎ 当n＝1时，T1＝.‎ 当n≥2时，因为x＝2＝>＝＝，‎ 所以Tn>2×××…×＝.‎ 综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.‎ 对于数列与函数、方程相结合的问题，通常利用函数与方程的知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an＋1之间的关系．根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎3．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解] ‎ 热点课题13 数列与不等式的综合问题 ‎ [感悟体验]‎ ‎ (2017·临川质检)已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2，且an>0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn>loga(1－a ‎)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解] (1)由a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2知 a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an＋1)2，‎ 则a＝(a1＋a2＋…＋an＋1)2－(a1＋a2＋…＋an)2＝an＋1[2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1]，‎ 又an>0，所以a＝2(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1，‎ 则a＝2(a1＋a2＋…＋an－1)＋an(n≥2)，‎ 故a－a＝an＋an＋1，所以an＋1－an＝1.‎ 又a＝a，所以a1＝1.‎ 又a＝‎2a1＋a2，所以a2＝2，所以a2－a1＝1，即当n≥1时，有an＋1－an＝1，‎ 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ ‎(2)由(1)知an＝n，‎ 则＝＝，‎ 所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－，‎ 则Sn＋1－Sn＝>0，所以数列{Sn}单调递增，所以(Sn)min＝S1＝.‎ 要使不等式Sn>loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要>loga(1－a)即可．‎ 易知0a，解得0