【数学】2019届一轮复习人教A版双重最值问题的解决策略学案 11页

形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 证明：设，则，，，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等，即．‎ ‎【题型综述】‎ 一、一元双重最值问题 ‎1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．‎ 例1：若，求的最大值．‎ 解：由，由，由，故可得 ‎，对每一段求值域可知当时，取得最大值．‎ ‎2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．‎ 例2：（2007年浙江数 竞赛）设，求．‎ 解：分别画出，，的图象，‎ 得到的图象如粗体部分所示．‎ 联立，解得，‎ 联立，解得，‎ 故由图可知当时，的最大值为．‎ 二、多元一次函数的双重最值问题 ‎1．利用不等式的性质 例3：设（，，，，），，，求的最小值．‎ 解：由，‎ 当，，时，取得最小值．‎ ‎2．利用绝对值不等式 例4：求函数在区间上的最大值的最小值．‎ 解：注意到，且，‎ 所以，当且仅当，即时，取得最小值．‎ ‎3．利用均值不等式 例5：（2002年北京高中数 竞赛）若，，求．‎ 解：设，则， ，，‎ 所以，‎ 当且仅当， 有最小值，即．‎ ‎4．利用柯西不等式 例6：若，，且，求．‎ 解：设，‎ 则，，，由柯西不等式得 ‎，‎ 当且仅当取等，即．‎ ‎5．分类讨论 例7：若，，求的值．‎ 解：设，则，，，‎ ①当时，，，当且仅当时取等；‎ ②当时，，，当且仅当时取等．‎ 综上，，当且仅当时取等，即．‎ ‎6．待定系数法 例8：若，，求的值．‎ 解：设，则，，，且，‎ ‎，当且仅当且时取等，‎ 即，时，，即．‎ ‎7．构造函数 例9：设，，，（），求．‎ 解：注意到为次函数且，联想到三倍角公式，‎ 因此先构造特殊函数，，若设，，‎ 则，从而，‎ 当且仅当，，，，即或时取等，故猜测．‎ 设，注意到（可用待定系数法求得），‎ 故，‎ 即，考虑到，时，，故．‎ ‎8．利用韦达定理 例10：若，，且，，求．‎ 解：注意到，，的对称性，故可设，又，‎ ‎，‎ 所以方程有两个不大于的实根，故 ‎，当，时，．‎ ‎9．数形结合 例11：（2014浙江竞赛）若，且，求．‎ 解：我们在同一坐标系中画出，，的图象，‎ 则由图可知当且仅当过，时，‎ 才有，[ : ]‎ 所以．‎ ‎【同步训练】‎ ‎1、（2013浙江预赛）设，，求．‎ ‎【详细解析】‎ ‎2、（2006浙江预赛）若，，，求． ‎ ‎【详细解析】‎ 设，则，，，‎ ‎，，，故， ‎ 当且仅当时，，即． ‎ ‎3、（2003北京竞赛）若，，求的值．‎ ‎【详细解析】‎ ‎4、（2015浙江高考）设，在上的最大值为，‎ 求证：当时，．‎ ‎【详细解析】‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎5、设，若对任意的，存在使得 ‎，求的最大值．‎ ‎【详细解析】‎ 由题意即为的最大值．‎ ‎，‎ 等号当且仅当或时成立，又，所以，的最大值为．‎ ‎6、若，，，求的值．‎ ‎【详细解析】‎ 设，则，，，‎ ‎， ‎ 当且仅当时取等，即时，．‎ ‎7、若，，求．‎ ‎【详细解析】‎ 设，则，，‎ 即，当且仅当时取等，即． ‎ ‎8、若，求．‎ ‎【详细解析】‎ ‎ [ : ]‎ ‎9、若，，，求．‎ ‎【详细解析】‎ 设，则有 ‎，‎ 当且仅当且，，即，时，取得最小值． ‎ ‎10、设，，求的值．‎ ‎【详细解析】‎ 设，则，，，‎ 设，‎ 令且，‎ 则，‎ 故，当且仅当，即，时取等．‎ ‎11、设（），求．‎ ‎【详细解析】‎ ‎ 12、设，求的最小值．‎ ‎【详细解析】‎ 令，，‎ 所以，，，此时，‎ ‎，当且仅当，时，．‎ ‎13、设（），求．‎ ‎【详细解析】‎ 当且仅当，即时取等，即．‎ ‎14、设，求的最小值．‎ ‎【详细解析】‎ ‎ 15、若实数，，满足，，求．‎ ‎【详细解析】‎ 注意到，，的对称性，不妨设，由，可知 方程有两个不大于的根，从而，‎ 当且仅当时取等，故．‎