江西省萍乡市上栗县上栗中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）试题 22页

数学（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ ‎3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数z满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）‎ A.7 B.9 C.11 D.14‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎5.已知，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）‎ A.1 B.‎ C.2 D.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）‎ A.8 B. C. D.13‎ ‎9.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 考生注意：‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.‎ ‎14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.‎ ‎15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为______.‎ ‎16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，‎ 体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；‎ ‎（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.‎ 肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计 P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：，.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求几何体的体积.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.‎ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知函数的最大值为m.‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.‎ 文科数学答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ ‎3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题：‎ 本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（C）‎ A. B. C. D.‎ 解：，，故选C.‎ ‎2.已知复数z满足，则（D）‎ A. B. C. D.‎ 解：，故选D.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（D）‎ A.7 B.9 C.11 D.14‎ 解：法一：由，，得，解得，，故选D.‎ 法二：，又，，，故选D.‎ ‎4.已知，则（A）‎ A. B. C. D.2‎ 解：，，故选A.‎ ‎5.已知，则下列结论正确的是（B）‎ A. B. C. D.‎ 解：法一：，，在上单调递增，，在上单调递减，故选B.‎ 法二：取，，则，，，，显然，故选B.‎ ‎6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 解：依题意得，‎ 则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.‎ ‎7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（C）‎ A.1 B.‎ C.2 D.‎ 解：为椭圆的长轴，，，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即，，，，故选C.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（C）‎ A.8 B. C. D.13‎ 解：依题意得输出S的值为1，2，3，5，8，13的平均数，即，故选C.‎ ‎9.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（B）‎ A. B. C. D.‎ 解：如图，由对称性知，为边长为c的等边三角形，在双曲线E上，，，，解得，故选B.‎ ‎10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（C）‎ A. B. C. D.‎ 解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，1，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为，故选C.‎ ‎11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（B）‎ A. B. C. D.‎ 解：（），当时，，在上单调递增，不合题意，‎ 当时，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，，依题意得，取，，‎ 则，，且，，令，则，在上单调递增，‎ ‎，，故a的取值范围是，故选B.‎ ‎12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.‎ 解：，，，，与的夹角为.‎ ‎14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.‎ 解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，‎ ‎15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为2.‎ 解：由余弦定理知，，，.‎ ‎16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.‎ 解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面 的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式.‎ 解：（Ⅰ）由，得，即 又，‎ 是以为首项，为公比的等比数列 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎，，…，（），‎ 累加得 又，（）‎ 又也符合上式，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，‎ 体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：‎ ‎（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；‎ ‎（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.‎ 肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计 P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：，.‎ 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为 ‎1000名非高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为 被调查者中肥胖人群的平均值 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200名高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖 ‎1000名非高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖.‎ 肥胖 不肥胖 合计 高血压 ‎70‎ ‎130‎ ‎200‎ 非高血压 ‎230‎ ‎770‎ ‎1000‎ 合计 ‎300‎ ‎900‎ ‎1200‎ 有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关 ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求几何体的体积.‎ 解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，‎ 是正方形，，又平面平面，平面，‎ 又平面，‎ 又，平面，，平面 ‎，四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形 ‎，平面 又平面，平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥和直三棱柱的组合体 ‎，，，平面，平面，‎ 四棱锥的体积 直三棱柱的体积 所求几何体的体积 ‎20.（本小题满分12分）‎ 过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.‎ 解：（Ⅰ），，当时，M的坐标为 当时，，，的方程为 由得，‎ 验证当时，也满足 M的坐标满足方程，即M的轨迹方程为 ‎（Ⅱ）法二：设（，），则，，‎ 圆的方程为 令得，即，，即，轴 ‎，，，直线的方程为 联立，消去y整理得，解得或（舍），即 A为抛物线的焦点，‎ 法二：作轴于O，轴于，则 又A为抛物线的焦点，，故圆与y轴相切于点N ‎，，，直线的方程为 联立，消去y整理得，解得或（舍），即 A为抛物线的焦点，‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）法一：由，知 当时，，，，此时 当时，，，，此时 在上单调递减，在上单调递增 法二：由，知 令（），则，在上单调递增.‎ ‎，当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于 令，则，当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减 又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最小值 ‎，故实数a的取值范围是 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ 解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，‎ 曲线E的普通方程为 令，得，‎ 即曲线E极坐标方程为 ‎（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，‎ 分将，代入中，得，‎ 设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，，‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知函数的最大值为m.‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎，‎ 当且仅当，即或时取等号 ‎，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎，，‎ 相加得，当且仅当时取等号.‎ ‎.‎