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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
微专题 98 含新信息问题的求解
一、基础知识:
所谓“新信息背景问题”,是指题目中会介绍一个“课本外的知识”,并说明它的规则,
然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问
题有时提供的信息比较抽象,并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本
文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧
1、读取“新信息”的步骤
(1)若题目中含有变量,则要先确定变量的取值范围
(2)确定新信息所涉及的知识背景,寻找与所学知识的联系
(3)注意信息中的细节描述,如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律
(4)把对“新信息”的理解应用到具体问题中,进行套用与分析。
2、理解“新信息”的技巧与方法
(1)可通过“举例子”的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对新信息
的理解
(2)可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容,如果能够清晰描述,那么说明对此信息
理解的较为透彻。
(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律
(4)如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广,则要关注此信息与原概念的不同之处,
以及在什么情况下可以使用原概念。
二、典型例题
例 1:设 是两个集合,定义集合 ,如果 ,
,则 等于( )
A. B. C. D.
思路:依 可知该集合为在 中且不属于 中的元素组成,或
者可以理解为 集合去掉 的元素后剩下的集合。先解出 中的不等式。
, , 所 以 , 从 而 可 得 :
,P Q |P Q x x P x Q 且 2| log 1P x x
| 2 1Q x x P Q
| 0 1x x | 0 1x x |1 2x x | 2 3x x
|P Q x x P x Q 且 P Q
P P Q ,P Q :P
2log 1 0 2x x : 2 1 1 3Q x x 1,2P Q
0,1P Q
- 2 -
答案:B
例 2: 在 内有定义。对于给定的正数 ,定义函数
取函数 。若对任意的 ,恒有 ,则( )
A. 的最大值为 2 B. 的最小值为 2 C. 的最大值为 1 D. 的最小值为 1
思路:由所给分式函数 可知,若 ,则取 ,如果 ,就取 ,
由这个规则可知,若 恒成立,意味着 ,均有 恒成立,
从而将问题转化为恒成立问题,即 ,下面求 的最大值: ,
可知 在 单调递增,在 单调递减,所以 ,从而
,即 的最小值为 1
答案:D
例 3:设集合 ,在 上定义运算 为: ,其中 为 被 4
除的余数, ,则满足关系式 的 的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
思路:本题的关键在于读懂规则,“ ”运算的结果其实与角标和除以 4 的余数相关,如果理
解文字叙述较为抽象不如举几个例子,例如: ,按照要求, 除以 4 的余数为
0,所以 。掌握规律后再看所求关系式:要求得 ,则需要先解出 ,将
其视为一个整体 ,可知 ,即 除以 4 的余数为 0,可推断 ,即
,不妨设 ,即 除以 4 的余数为 2,则 的值为 ,所以 或
者 ,共有两个解
答案:C
例 4:定义两个平面向量 的一种运算 ,其中 为 的夹角,对于这种
运 算 , 给 出 以 下 结 论 : ① ; ② ; ③
y f x , K
,
,k
f x f x K
f x
K f x K
2 xf x x e ,x kf x f x
K K K K
kf x f x K f x f x K K
kf x f x ,x f x K
maxK f x f x ' 1 xf x e
f x ,0 0, max 0 1f x f
1K K
0 1 2 3, , ,S A A A A S i j kA A A k i j
, 0,1,2,3i j 2 0x x A A x x S
1 3A A 1 3
1 3 0A A A x x x
mA 2 0mA A A 2m 2m
2x x A nx A n n n 1,3 1x A
3x A
,a b sina b a b ,a b
a b b a a b a b
- 3 -
;④ 若 ,则
你认为恒成立的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
思路:本题的新运算 ,即 的模长乘以夹角。所以对于结论①,
; 对 于 ② , , 而
, 显 然 当 时 等 式 不 成 立 ; 对 于 ③ ,
( 其 中 表 示 的 夹 角 ), 而
,显然等式不会恒成立(也可举特殊情况
如 ,左边为 0,而右边大于等于 0);对于④,可代入坐标进行运算,为了计算简便考
虑 将 左 边 平 方 , 从 而 , 可 与 找 到 联 系 :
,即 。综上所述,①④正确
答案:B
例 5 : 如 果 函 数 对 任 意 两 个 不 等 实 数 , 均 有
,在称函数 为区间 上的“G”函数,给
出下列命题:
① 函数 是 上的“G”函数
② 函数 是 上的“G”函数
③ 函数 是 上的“G”函数
④ 若函数 是 上的“G”函数,则
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
思 路 : 本 题 看 似 所 给 不 等 式 复 杂 , 但 稍 作 变 形 可 得 :
a b c a c b c 1 1 2 2, , ,a x y b x y
1 2 2 1a b x y x y
sina b a b ,a b
sin sinb a b a a b a b sina b a b
sin sina b a b a b 0
sin ,a b c a b c a b c sin ,a b c ,a b c
sin , sin ,a c b c a c a c b c b c
a b
2 2sin 1 cos a b
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2sin 1 cosa b a b a b a b a b x y x y
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1x x y y x y x y 1 2 2 1a b x y x y
f x 1 2, ,x x a b
1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x f x ,a b
2 sinf x x x R
2 4 , 0
1, 0
x x xf x
x x
R
2 , 1
2 1, 1
x xf x
x x
3,6
2xf x e ax R 0a
1 2 3 4
- 4 -
, 所 以 即
与 同号,反映出 是 上的增函数,从而从单调性的角度
判断四个命题:①: 恒成立,所以 是 上的增函数
②③:可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增,通过作图可知②
正确,③不正确
④:若 是“G 函数”,则 是 上的增函数,所以 即 恒成
立,因为 ,所以可得: ,④正确
综上所述:①②④正确,共有三个命题
答案:C
例 6:对于各数互不相等的正数数组 ,其中 ,如果在 时,有
,则称“ 与 ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数
组的“顺序数”,例如:数组 中有顺序“ ”,“ ”,其“顺序数”等于 2,若各
数互不相等的正数数组 的“顺序数”是 4,则 的“顺序数”
是( )
A. B. C. D.
思路:本题中对于“顺序”的定义为 ,即序数小的项也小。要得到“顺序数”
则需要对数组中的数两两进行比较,再进行统计。在所求数组中可发现 刚好
是 进行倒序的排列,所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立,而原先数
组不成“顺序”的(即 )反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意
两个数比较大小,共有 组,在 中“顺序”有 4 个,则非“顺序”有
6 个,所以到了 中,顺序数即为 6
答案:B
小炼有话说:本题也可以通过特殊的例子得到答案:例如由 的“顺序数”是
4,假设 ,其余各项 ,则在
1 1 2 2 2 1 0x f x f x x f x f x 1 2 1 2 0x x f x f x
1 2x x 1 2f x f x f x ,a b
' 2 cos 0f x x f x R
f x f x R ' 0xf x e a xa e
0,xe 0a
1 2, , , ni i i 2,n n N p q
p qi i pi qi
2,4,3,1 2,4 2,3
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 5 4 3 2 1, , , ,a a a a a
7 6 5 4
p qp q i i
5 4 3 2 1, , , ,a a a a a
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a
p qp q a a
2
5 10C 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a
5 4 3 2 1, , , ,a a a a a
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a
1 2 1 3 1 4 1 5, , ,a a a a a a a a 2 3 4 5a a a a 5 4 3 2 1, , , ,a a a a a
- 5 -
中即可数出顺序数为 6
例 7 : 对 任 意 实 数 定 义 运 算 如 下 : , 则 函 数
的值域为( )
A. B. C. D.
思 路 : 本 题 可 将 描 述 成 取 中 较 小 的 数 , 即 , 所 以 对 于
,即 为 中较小的数。解不等式
,则 ,所
以 ,从而可解得值域为
答案:B
小炼有话说:本题也可以利用数形结合的方式, 的图像为将
的图像画在同一坐标系下,取位于下方的部分,从而作出
的图像,其中 的交点通过计算可得 ,所以结合图像即可得
到 的值域为 ,即
例 8:已知平面上的线段 及点 ,任取 上一点 ,线段 长度的最小值称为 到 的距
离,记作
(1)求点 到线段 的距离
(2)设 是长为 2 的线段,求点的集合 所表示的图形面积
思路:首先要明确新定义的“距离”,即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图
,a b ( )
( )
a a ba b b a b
2 1
2
( ) log 3 2 logf x x x
0, ,0 2
2log ,03
2
2log ,3
( )
( )
a a ba b b a b
,a b min ,a b
2 1
2
( ) log 3 2 logf x x x 0f x 2 0 1 0
2
log 3 2 ,logx x
2 1
2
3 2 0
log 3 2 log 0 1
13 2
x
x x x x
x x
2 1
2
2log 3 2 log 13x x x
2
1
2
log 3 2 , 1
( ) 2log , 13
x x
f x x x
,0
2 1
2
( ) log 3 2 logf x x x
2 1
2
log 3 2 , logy x y x f x
2 1
2
log 3 2 , logy x y x 1x
f x , 1f ,0
l P l Q PQ P l
,d P l
1,1P : 3 0 3 5l x y x ,d P l
l | , 1D P d P l
- 6 -
形来理解定义。可发现过 作线段 的垂线,若垂足在线段上,则垂线段最短,与传统的定义
相同;若垂足在线段的延长线上,则需找线段上距离 点最近的,即线段的某个端点。在第
(1)问中,作出图像可得 在线段 上的垂足位于线段延长线上,所以只需比较 到两个端
点的距离即可;在第(2)问中,先作出 的图形,表示的图形是长为 2,宽为 2 的
正方形和两个半径是 1 的半圆的组合图形,则 为该图形的内部,再求出面积即可
解:(1)设线段 的端点 ,代入直线方程可得:
(2)若 ,则 点的轨迹为长 ,宽 的正方形和两个半径 的半圆
的组合图形
例 9 :设 表示不超过 的最大整数(如 ),对于给定的 ,定义
,则当 时,函数 的值域为
( )
A. B. C. D.
思路:由定义的式子 可知分子分母含多少项,与 的取值有
关,即分子分母分别为 个项的乘积,所以根据 的定义将 分为 和
两段进行考虑。当 时, ,所以 ,所以 在 的值域为
;当 时, ,所以 ,从而
P l
P
P l P
, 1d P l
D
l 1 23, , 5,A y B y
1 20, 2y y 3,0 , 5,2A B
2 2 2 23 1 0 1 5, 5 1 2 1 17AP BP
, 5d P l PA
, 1d P l P 2a 2b 1r
212 42S r a b
x x 32 2, 12
n N
1 1 , 1,1 1
x
n
n n n xC xx x x x
5 ,34x
8
xf x C
324, 5
32 284, ,285 3
32 284, ,285 3
28,283
1 1
1 1
x
n
n n n xC x x x x
x
x x 5 ,34x
5 ,24
2,3
5 ,24x
1x 8
8xC x f x 5 ,24
324, 5
2,3x 2x 8 22
8 7 56 56
1 1 1
2 4
xC x x x x x
- 7 -
在 单调递减, ,综上所述可得:
答案:B
例 10:在实数集 中,我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们
这平面向量集合 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为
“ ”。定 义 如 下 : 对 于 任 意 两 个 向 量 , 当 且 仅 当
“ ”或“ 且 ”,按上述定义的关系“ ”,给出下列四个命题:
① 若 ,则
② 若 , ,则
③ 若 ,则对于任意的 ,
④ 对于任意的向量 ,其中 ,若 ,则
其中命题正确的序号为__________
思路:从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标,其中优先比较横坐标,若横坐
标相等则再比较纵坐标,结合这个规律便可分析各个命题:(为方便说明,任一向量 的横坐
标记为 ,纵坐标记为
①:显然 ,所以 , ,所以 ,综上可
得:
②:由 可知: 或“ 且 ”,同理:由
可得: 或“ 且 ”,所以由不等式和等式的传递性
可得“ 或“ 且 ”成立,所以
③ : 设 , 由 由 可 知 : 或 “ 且
” , 所 以 或 “ 且
”成立,所以
f x 2,3 28,283f x
32 284, ,285 3f x
R
| , , ,D a a x y x R y R
1 1 1 2 2 2, , ,a x y a x y
1 2a a
1 2x x 1 2x x 1 2y y
1 21,0 , 0,1 ,0 0,0e e
1 2 0e e
1 2a a
2 3a a
1 3a a
1 2a a a D
1 2a a a a
0a 0 0,0
1 2a a
1 2a a a a
a
x a y a
1 2x e x e
1 2e e 2 20 , 0x e x y e y
2 0e
1 2 0e e
1 2a a 1 2x a x a 1 2x a x a 1 2y a y a
2 3a a
2 3x a x a 2 3x a x a 2 3y a y a
1 3x a x a 1 3x a x a 1 3y a y a
1 3a a
,a m n
1 2a a 1 2x a x a 1 2x a x a
1 2y a y a 1 2x a m x a m 1 2x a m x a m
1 2y a n y a n
1 2a a a a
- 8 -
④ : 设 , 由 可 知 : 或 “ 且 ” , 考 虑
若 “ 且 ” , 则
由 可 知 存 在 一 种 情 况 : 且
,则 即 ,故④不正确
答案:①②③
小炼有话说:本题处理④的关键在于定义中 的一种情况: 且对 无大小限
制,且数量积的结果不仅与 取值相关,还与 的值相关。所以在考虑反例时就可以利用
消除横坐标大小的关系。进而 的大小关系由 的纵坐标决定,就能轻松找到反
例了
,a m n 0a 0m 0m 0n
1 1 1 2 2 2, ,a a x a m y a n a a x a m y a n 0m 0n
1 1 2 2, ,a a y a n a a y a n
1 2a a 1 2x a x a
1 2y a y a 1 2y a n y a n
1 2a a a a
1 2a a
1 2x x 1 2,y y
x y 0m
1 2,a a a a
1 2,a a