• 201.90 KB
  • 2021-06-16 发布

高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解

  • 8页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
- 1 - 微专题 98 含新信息问题的求解 一、基础知识: 所谓“新信息背景问题”,是指题目中会介绍一个“课本外的知识”,并说明它的规则, 然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问 题有时提供的信息比较抽象,并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本 文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 (1)若题目中含有变量,则要先确定变量的取值范围 (2)确定新信息所涉及的知识背景,寻找与所学知识的联系 (3)注意信息中的细节描述,如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 (4)把对“新信息”的理解应用到具体问题中,进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 (1)可通过“举例子”的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对新信息 的理解 (2)可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容,如果能够清晰描述,那么说明对此信息 理解的较为透彻。 (3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律 (4)如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广,则要关注此信息与原概念的不同之处, 以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例 1:设 是两个集合,定义集合 ,如果 , ,则 等于( ) A. B. C. D. 思路:依 可知该集合为在 中且不属于 中的元素组成,或 者可以理解为 集合去掉 的元素后剩下的集合。先解出 中的不等式。 , , 所 以 , 从 而 可 得 : ,P Q  |P Q x x P x Q   且  2| log 1P x x   | 2 1Q x x   P Q  | 0 1x x   | 0 1x x   |1 2x x   | 2 3x x   |P Q x x P x Q   且 P Q P P Q ,P Q :P 2log 1 0 2x x    : 2 1 1 3Q x x      1,2P Q   0,1P Q  - 2 - 答案:B 例 2: 在 内有定义。对于给定的正数 ,定义函数 取函数 。若对任意的 ,恒有 ,则( ) A. 的最大值为 2 B. 的最小值为 2 C. 的最大值为 1 D. 的最小值为 1 思路:由所给分式函数 可知,若 ,则取 ,如果 ,就取 , 由这个规则可知,若 恒成立,意味着 ,均有 恒成立, 从而将问题转化为恒成立问题,即 ,下面求 的最大值: , 可知 在 单调递增,在 单调递减,所以 ,从而 ,即 的最小值为 1 答案:D 例 3:设集合 ,在 上定义运算 为: ,其中 为 被 4 除的余数, ,则满足关系式 的 的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路:本题的关键在于读懂规则,“ ”运算的结果其实与角标和除以 4 的余数相关,如果理 解文字叙述较为抽象不如举几个例子,例如: ,按照要求, 除以 4 的余数为 0,所以 。掌握规律后再看所求关系式:要求得 ,则需要先解出 ,将 其视为一个整体 ,可知 ,即 除以 4 的余数为 0,可推断 ,即 ,不妨设 ,即 除以 4 的余数为 2,则 的值为 ,所以 或 者 ,共有两个解 答案:C 例 4:定义两个平面向量 的一种运算 ,其中 为 的夹角,对于这种 运 算 , 给 出 以 下 结 论 : ① ; ② ; ③  y f x  ,  K         , ,k f x f x K f x K f x K      2 xf x x e    ,x       kf x f x K K K K  kf x  f x K  f x  f x K K    kf x f x  ,x     f x K  maxK f x  f x  ' 1 xf x e   f x  ,0  0,    max 0 1f x f  1K  K  0 1 2 3, , ,S A A A A S  i j kA A A  k i j , 0,1,2,3i j    2 0x x A A    x x S  1 3A A  1 3 1 3 0A A A  x  x x mA 2 0mA A A   2m  2m  2x x A  nx A  n n n 1,3 1x A 3x A ,a b  sina b a b       ,a b  a b b a         a b a b       - 3 - ;④ 若 ,则 你认为恒成立的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路:本题的新运算 ,即 的模长乘以夹角。所以对于结论①, ; 对 于 ② , , 而 , 显 然 当 时 等 式 不 成 立 ; 对 于 ③ , ( 其 中 表 示 的 夹 角 ), 而 ,显然等式不会恒成立(也可举特殊情况 如 ,左边为 0,而右边大于等于 0);对于④,可代入坐标进行运算,为了计算简便考 虑 将 左 边 平 方 , 从 而 , 可 与 找 到 联 系 : ,即 。综上所述,①④正确 答案:B 例 5 : 如 果 函 数 对 任 意 两 个 不 等 实 数 , 均 有 ,在称函数 为区间 上的“G”函数,给 出下列命题: ① 函数 是 上的“G”函数 ② 函数 是 上的“G”函数 ③ 函数 是 上的“G”函数 ④ 若函数 是 上的“G”函数,则 其中正确命题的个数是( ) A. B. C. D. 思 路 : 本 题 看 似 所 给 不 等 式 复 杂 , 但 稍 作 变 形 可 得 :      a b c a c b c               1 1 2 2, , ,a x y b x y   1 2 2 1a b x y x y    sina b a b      ,a b  sin sinb a b a a b a b               sina b a b         sin sina b a b a b             0    sin ,a b c a b c a b c               sin ,a b c   ,a b c       sin , sin ,a c b c a c a c b c b c                a b   2 2sin 1 cos   a b        2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2sin 1 cosa b a b a b a b a b x y x y                       2 2 1 2 1 2 1 2 2 1x x y y x y x y    1 2 2 1a b x y x y     f x  1 2, ,x x a b        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x    f x  ,a b   2 sinf x x x  R   2 4 , 0 1, 0 x x xf x x x       R   2 , 1 2 1, 1 x xf x x x       3,6   2xf x e ax   R 0a  1 2 3 4 - 4 - , 所 以 即 与 同号,反映出 是 上的增函数,从而从单调性的角度 判断四个命题:①: 恒成立,所以 是 上的增函数 ②③:可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增,通过作图可知② 正确,③不正确 ④:若 是“G 函数”,则 是 上的增函数,所以 即 恒成 立,因为 ,所以可得: ,④正确 综上所述:①②④正确,共有三个命题 答案:C 例 6:对于各数互不相等的正数数组 ,其中 ,如果在 时,有 ,则称“ 与 ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数 组的“顺序数”,例如:数组 中有顺序“ ”,“ ”,其“顺序数”等于 2,若各 数互不相等的正数数组 的“顺序数”是 4,则 的“顺序数” 是( ) A. B. C. D. 思路:本题中对于“顺序”的定义为 ,即序数小的项也小。要得到“顺序数” 则需要对数组中的数两两进行比较,再进行统计。在所求数组中可发现 刚好 是 进行倒序的排列,所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立,而原先数 组不成“顺序”的(即 )反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意 两个数比较大小,共有 组,在 中“顺序”有 4 个,则非“顺序”有 6 个,所以到了 中,顺序数即为 6 答案:B 小炼有话说:本题也可以通过特殊的例子得到答案:例如由 的“顺序数”是 4,假设 ,其余各项 ,则在        1 1 2 2 2 1 0x f x f x x f x f x               1 2 1 2 0x x f x f x      1 2x x    1 2f x f x    f x  ,a b  ' 2 cos 0f x x    f x R  f x  f x R  ' 0xf x e a   xa e  0,xe   0a   1 2, , , ni i i 2,n n N   p q p qi i pi qi  2,4,3,1 2,4 2,3  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a  5 4 3 2 1, , , ,a a a a a 7 6 5 4 p qp q i i    5 4 3 2 1, , , ,a a a a a  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a p qp q a a   2 5 10C   1 2 3 4 5, , , ,a a a a a  5 4 3 2 1, , , ,a a a a a  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 1 2 1 3 1 4 1 5, , ,a a a a a a a a    2 3 4 5a a a a    5 4 3 2 1, , , ,a a a a a - 5 - 中即可数出顺序数为 6 例 7 : 对 任 意 实 数 定 义 运 算 如 下 : , 则 函 数 的值域为( ) A. B. C. D. 思 路 : 本 题 可 将 描 述 成 取 中 较 小 的 数 , 即 , 所 以 对 于 ,即 为 中较小的数。解不等式 ,则 ,所 以 ,从而可解得值域为 答案:B 小炼有话说:本题也可以利用数形结合的方式, 的图像为将 的图像画在同一坐标系下,取位于下方的部分,从而作出 的图像,其中 的交点通过计算可得 ,所以结合图像即可得 到 的值域为 ,即 例 8:已知平面上的线段 及点 ,任取 上一点 ,线段 长度的最小值称为 到 的距 离,记作 (1)求点 到线段 的距离 (2)设 是长为 2 的线段,求点的集合 所表示的图形面积 思路:首先要明确新定义的“距离”,即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图 ,a b  ( ) ( ) a a ba b b a b      2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    0,  ,0 2 2log ,03      2 2log ,3     ( ) ( ) a a ba b b a b     ,a b  min ,a b  2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    0f x  2 0 1 0 2 log 3 2 ,logx x  2 1 2 3 2 0 log 3 2 log 0 1 13 2 x x x x x x x                2 1 2 2log 3 2 log 13x x x      2 1 2 log 3 2 , 1 ( ) 2log , 13 x x f x x x        ,0  2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    2 1 2 log 3 2 , logy x y x    f x  2 1 2 log 3 2 , logy x y x   1x   f x   , 1f   ,0 l P l Q PQ P l  ,d P l  1,1P  : 3 0 3 5l x y x      ,d P l l   | , 1D P d P l  - 6 - 形来理解定义。可发现过 作线段 的垂线,若垂足在线段上,则垂线段最短,与传统的定义 相同;若垂足在线段的延长线上,则需找线段上距离 点最近的,即线段的某个端点。在第 (1)问中,作出图像可得 在线段 上的垂足位于线段延长线上,所以只需比较 到两个端 点的距离即可;在第(2)问中,先作出 的图形,表示的图形是长为 2,宽为 2 的 正方形和两个半径是 1 的半圆的组合图形,则 为该图形的内部,再求出面积即可 解:(1)设线段 的端点 ,代入直线方程可得: (2)若 ,则 点的轨迹为长 ,宽 的正方形和两个半径 的半圆 的组合图形 例 9 :设 表示不超过 的最大整数(如 ),对于给定的 ,定义 ,则当 时,函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 思路:由定义的式子 可知分子分母含多少项,与 的取值有 关,即分子分母分别为 个项的乘积,所以根据 的定义将 分为 和 两段进行考虑。当 时, ,所以 ,所以 在 的值域为 ;当 时, ,所以 ,从而 P l P P l P  , 1d P l  D l    1 23, , 5,A y B y 1 20, 2y y     3,0 , 5,2A B        2 2 2 23 1 0 1 5, 5 1 2 1 17AP BP            , 5d P l PA    , 1d P l  P 2a  2b  1r  212 42S r a b         x x   32 2, 12      n N             1 1 , 1,1 1 x n n n n xC xx x x x          5 ,34x       8 xf x C 324, 5      32 284, ,285 3           32 284, ,285 3           28,283                1 1 1 1 x n n n n xC x x x x          x  x  x 5 ,34x     5 ,24      2,3 5 ,24x       1x  8 8xC x  f x 5 ,24     324, 5       2,3x    2x   8 22 8 7 56 56 1 1 1 2 4 xC x x x x x          - 7 - 在 单调递减, ,综上所述可得: 答案:B 例 10:在实数集 中,我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们 这平面向量集合 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为 “ ”。定 义 如 下 : 对 于 任 意 两 个 向 量 , 当 且 仅 当 “ ”或“ 且 ”,按上述定义的关系“ ”,给出下列四个命题: ① 若 ,则 ② 若 , ,则 ③ 若 ,则对于任意的 , ④ 对于任意的向量 ,其中 ,若 ,则 其中命题正确的序号为__________ 思路:从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标,其中优先比较横坐标,若横坐 标相等则再比较纵坐标,结合这个规律便可分析各个命题:(为方便说明,任一向量 的横坐 标记为 ,纵坐标记为 ①:显然 ,所以 , ,所以 ,综上可 得: ②:由 可知: 或“ 且 ”,同理:由 可得: 或“ 且 ”,所以由不等式和等式的传递性 可得“ 或“ 且 ”成立,所以 ③ : 设 , 由 由 可 知 : 或 “ 且 ” , 所 以 或 “ 且 ”成立,所以  f x  2,3   28,283f x        32 284, ,285 3f x          R    | , , ,D a a x y x R y R         1 1 1 2 2 2, , ,a x y a x y   1 2a a  1 2x x 1 2x x 1 2y y       1 21,0 , 0,1 ,0 0,0e e     1 2 0e e    1 2a a  2 3a a  1 3a a  1 2a a  a D 1 2a a a a      0a    0 0,0 1 2a a  1 2a a a a      a  x a  y a    1 2x e x e  1 2e e         2 20 , 0x e x y e y     2 0e   1 2 0e e    1 2a a     1 2x a x a     1 2x a x a     1 2y a y a  2 3a a     2 3x a x a     2 3x a x a     2 3y a y a     1 3x a x a     1 3x a x a     1 3y a y a  1 3a a   ,a m n 1 2a a     1 2x a x a     1 2x a x a     1 2y a y a     1 2x a m x a m       1 2x a m x a m       1 2y a n y a n    1 2a a a a      - 8 - ④ : 设 , 由 可 知 : 或 “ 且 ” , 考 虑 若 “ 且 ” , 则 由 可 知 存 在 一 种 情 况 : 且 ,则 即 ,故④不正确 答案:①②③ 小炼有话说:本题处理④的关键在于定义中 的一种情况: 且对 无大小限 制,且数量积的结果不仅与 取值相关,还与 的值相关。所以在考虑反例时就可以利用 消除横坐标大小的关系。进而 的大小关系由 的纵坐标决定,就能轻松找到反 例了  ,a m n 0a   0m  0m  0n         1 1 1 2 2 2, ,a a x a m y a n a a x a m y a n             0m  0n     1 1 2 2, ,a a y a n a a y a n         1 2a a     1 2x a x a     1 2y a y a     1 2y a n y a n    1 2a a a a      1 2a a  1 2x x 1 2,y y x y 0m  1 2,a a a a     1 2,a a 

相关文档