2020-2021学年高一数学上册课时同步练：命题与量词，全称量词命题与存在量词命题的否定 3页

第一单元 集合与常用逻辑用语 第 6 课 全称量词命题与存在量词命题的否定 一、基础巩固 1．下列语句是命题的是( ) A．2 019 是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？ D．a≤15 【答案】B 【解析】A，D 不能判断真假，不是命题；B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句， 不是命题． 2．下列命题是假命题的个数为( ) ①多边形的外角和与边数有关； ②{x∈N|x3＋1＝0}不是空集； ③二次方程 a2x2＋2x－1＝0 有两个不相等的实根； ④若整数 m 是偶数，则 m 是合数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为 Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例． 3．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( ) A．对任意的 a，b∈R，都有 a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，x2＝x D．一次函数在定义域上是单调函数 【答案】D 【解析】A 中含有全称量词“任意的”，因为 a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命 题；B，D 中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以 B 是 假命题，C 是存在量词命题．故选 D. 4．给出命题：方程 x2＋ax＋1＝0 没有实数根，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．0 D．－3 【答案】C 【解析】方程无实根应满足 Δ＝a2－4＜0，即 a2＜4，故当 a＝0 时适合条件． 5．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( ) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C．所有四边形的四个顶点共圆 D．所有四边形的四个顶点都不共圆 【答案】A 【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否 定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选 A. 6．设非空集合 P，Q 满足 P∩Q＝P，则( ) A．∀x∈Q，有 x∈P B．∀x∉Q，有 x∉P C．∃x∉Q，使得 x∈P D．∃x∈P，使得 x∉Q 【答案】 【解析】因为 P∩Q＝P，所以 P⊆Q，所以 A，C，D 错误，B 正确． 7 ． 命题“ 有 些 负 数 满 足 不 等 式 (1 ＋ x)(1 － 9x)2 ＞ 0” 用 “∃ ” 写 成 存 在 量 词 命 题 为 ________________________________________________________________________． 【答案】见解析 【解析】存在量词命题“存在集合 M 中的一个元素 x，使 s(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”． 8．下列命题： ①存在 x<0，x2－2x－3＝0； ②对于一切实数 x<0，都有|x|>x； ③∀x∈R， x2＝x； ④已知 an＝2n，bm＝3m，对于任意 n，m∈N*，an≠bm. 其中，所有真命题的序号为________． 【答案】①② 【解析】因为 x2－2x－3＝0 的根为 x＝－1 或 3， 所以存在 x＝－1<0，使 x2－2x－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题； ③ x2＝|x|，故③为假命题； ④当 n＝3，m＝2 时，a3＝b2，故④为假命题． 二、拓展提升 9．下列命题为真命题的是( ) A．对每一个无理数 x，x2 也是无理数 B．存在一个实数 x，使 x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 【答案】C 【解析】若 x＝ 2，则 x2＝2 是有理数，故 A 错误；B，因为 x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存 在一个实数 x，使 x2＋2x＋4＝0 错误；因为 2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故 C 正确；2 是 质数，但 2 不是奇数，故 D 错误．故选 C. 10．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被 2 整除；②有的菱形是正方形；③存在实数 x，x ＞0；④对于任意实数 x,2x＋1 是奇数，下列说法正确的是( ) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 【答案】C 【解析】①末尾数是偶数的整数能被 2 整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形， 是存在量词命题，是真命题；③存在实数 x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数 x,2x ＋1 是奇数，是全称量词命题，是假命题；故 A，B，D 错误，C 正确．故选 C. 11．已知命题 p：∃x>0，x＋a－1＝0 为假命题，求实数 a 的取值范围． 【答案】a≥1 【解析】因为命题 p：∃x>0，x＋a－1＝0 为假命题， 所以¬p：∀x>0，x＋a－1≠0 是真命题， 即 x≠1－a， 所以 1－a≤0，即 a≥1. 所以 a 的取值范围为 a≥1. 12．命题“ （a＋b）2 |1＋b| ＝a＋b 1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是 全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题． 【答案】不是全称量词命题 【解析】不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足 1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称 量词命题．