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- 2021-06-16 发布
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数学（文）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 已知集合A={x|00}，则A⋂B= （）
A．(0,π4] B．(0,π2) C．[π4,π2) D．(π2,π)
2. 下列说法错误的是 （）A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
3. 的值为 （）
A．-32 B．-12 C．12 D．32
4. 设a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a-b|，则a与b夹角的大小为 （）
A．120° B．90° C．60° D．30°
5. 若一扇形的圆心角为72∘，半径为20cm，则扇形的面积为 （）
A．40πcm2 B．80πcm2 C．40cm2 D．80cm2
6. 设函数，若，则a的取值范围为 （）
A． B． C． D．
7. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的所有函数为 （）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是（）
A．EF//平面BB1D1D
B．EF与平面BB1D1D相交
C．EF在平面BB1D1D内
D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断
9. 已知平面向量a，b的夹角为120°，a=(3,1)，则向量a在向量b方向上的投影为（）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
10. 若cos2α=-45，α∈π2,π，则tanα+π4= （）
A．-2 B．-12 C．2 D．12
11. Sn=12+24+38+⋯+n2n= （）
A．2n-n2n B．2n+1-n-22n
C．2n-n+12n+1 D．2n+1-n+22n
12. 已知圆C：(x-3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的取值范围是 （）
A．(0,2] B．[1,2] C．[2,3] D．[1,3]
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，计25分）
13. 已知幂函数y=xn的图象经过点(27,13)，则此幂函数的解析式为____________.
14. 过点A(2,-3)且与直线l∶x-2y-3=0垂直的直线方程为_______.（请用一般式表示）
15. 已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则|a|=__________．
16. 等差数列an的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为_____．
17. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L，下面3节的容积共4L，则第5节的容积为__________L.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。本大题共5道题，计65分）
1. （本小题12分）已知是等差数列，是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．求和的通项公式。
2. （本小题12分）已知23sinx-2cosx=0，求的值．
3. （本小题13分）已知向量a=(-2,2)，b=(2,1)，c=(2,-1)，t∈R．
（Ⅰ）若(ta+b)//c，求t的值;
（Ⅱ）若|a-tb|=3，求t的值．
4. （本小题14分）已知函数f(x)=2sin(2x+π4)．
（1）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[-π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
5. （本小题14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)．
（1）若点B-35,45，求tanθ+π4的值；
（2）若OA+OB⋅OB=95，求cos2π3-2θ．
文科数学答案
1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. A7.A 8. A 9.B 10. B 11.B 12.D
13.y=x-1314.2x+y-1=0 15.216.8 17.
18.解：设等比数列{ bn}的公比q，则q3=b5b2=813=27，故q=3．
所以b1=b2q=1，b4=b5q=27，bn=3n-1n∈N+．设等差数列an的公差为d．
因为a1=b1=1，a14=b4=27，所以1+13d=27，即d=2．
所以an=2n-1(n∈N+)．
19.解：由题得，解得，
．
20.解：(Ⅰ)因为a=(-2,2)，b=(2,1)，c=(2,-1)，所以ta+b=(2-2t,1+2t)．
因为(ta+b)//c，所以2(1+2t)+(2-2t)=0，解得t=-2；
(Ⅱ)|a-tb|=(a-tb)2=a2-2ta⋅b+t2b2=5t2+4t+8=3，
解得t=-1或t=15．
21.解：(1)因为f(x)=2sin(2x+π4)， 所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，
得到-3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z)．
(2)因为x∈ -π4,π4，则2x+π4∈[-π4,3π4]，
sin(2x+π4)∈[-22,1]，2sin(2x+π4)∈[-1,2]，
故函数f(x)在区间[-π4,π4]上的最大值为2，此时2x+π4=π2，即x=π8；
最小值为-1，此时2x+π4=-π4，即x=-π4．
22.【答案】解：(1)由题意利用任意角的三角函数的定义可得，
∴tan(θ+π4)=tanθ+11-tanθ=-17．
(2)∵(OA+OB)⋅OB=OA⋅OB+OB2=cosθ+1=95，
∴cosθ=45，又0<θ<π，∴sinθ=1-cos2θ=35，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2425，cos2θ=2cos2θ-1=725，
∴cos(2π3-2θ)=cos2π3cos2θ+sin2π3sin2θ=-12×725+32×2425=243-750．
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