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- 2021-06-16 发布
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第四节直线、平面垂直的判定与性质
突破点一 直线与平面垂直的判定与性质
1.直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
3.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.
(2)线面角θ的范围:.
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( )
(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
二、填空题
1.过一点有________条直线与已知平面垂直.
答案:一
2.在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,
①若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.
②若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案:外 垂
3.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC, △PAC的边所在的直线中,与PC
垂直的直线有________________;与AP垂直的直线有________.
解析:因为PC⊥平面ABC,
所以PC垂直于直线AB,BC,AC.
因为AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,
所以AB⊥平面PAC,
又因为AP⊂平面PAC,
所以AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.
答案:AB,BC,AC AB
[典例] (2019·郑州一测)如图,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,BC=2,AC=2,D为线段AB上的点,且AD=2DB,PD⊥AC.
(1)求证:PD⊥平面ABC;
(2)若∠PAB=,求点B到平面PAC的距离.
[解] (1)证明:连接CD,据题知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,∴cos∠ABC==,
∴CD2=22+(2)2-2×2×2cos∠ABC=8,
∴CD=2,∴CD2+AD2=AC2,则CD⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABC,
∴CD⊥平面PAB,∴CD⊥PD,
∵PD⊥AC,AC∩CD=C,
∴PD⊥平面ABC.
(2)由(1)得PD⊥AB,∵∠PAB=,
∴PD=AD=4,PA=4,
在Rt△PCD中,PC==2,
∴△PAC是等腰三角形,∴可求得S△PAC=8.
设点B到平面PAC的距离为d,
由VBPAC=VPABC,得S△PAC×d=S△ABC×PD,
∴d==3.
故点B到平面PAC的距离为3.
[方法技巧]
证明直线与平面垂直的方法
(1)定义法:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);
(2)判定定理(常用方法);
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(客观题常用);
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用);
(5)若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用).
[针对训练]
(2019·贵州模拟)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,且AB=AD=1,AA1=,∠ABC=60°.
(1)求证:AC⊥BD1;
(2)求四面体D1AB1C的体积.
解:(1)证明:连接BD,与AC交于点O,因为四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,所以四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,可知BB1⊥AC,则AC⊥平面BB1D1D,又BD1⊂平面BB1D1D,则AC⊥BD1.
(2)VD1AB1C=VABCDA1B1C1D1-VB1ABC-VD1ACD-VAA1B1D1-VCC1B1D1=VABCDA1B1C1D1-4VB1ABC=×-4×××=.
突破点二 平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
2.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角α的范围:.
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( )
(3)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
二、填空题
1.m,n为直线,α,β为平面,若m⊥α,m∥n,n∥β,则α与β的位置关系为________.
答案:垂直
2.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件.
答案:充分不必要
3.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有________对.
解析:由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC,共7对.
答案:7
[典例] (2019·开封定位考试)如图,在三棱锥DABC中,AB
=2AC=2,∠BAC=60°,AD=,CD=3,平面ADC⊥平面ABC.
(1)证明:平面BDC⊥平面ADC;
(2)求三棱锥DABC的体积.
[解] (1)证明:在△ABC中,由余弦定理可得,
BC=
= =,
∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC,
∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面ADC,
又BC⊂平面BDC,∴平面BDC⊥平面ADC.
(2)由余弦定理可得cos∠ACD=,
∴sin∠ACD=,
∴S△ACD=·AC·CD·sin∠ACD=,
则VDABC=VBADC=·BC·S△ACD=.
[方法技巧] 面面垂直判定的两种方法与一个转化
两种方法
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)
一个转化
在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直
[针对训练]
(2019·洛阳一模)如图,在四棱锥EABCD中,△EAD为等边三角形,底面ABCD为等腰梯形,满足AB∥CD,AD=DC=AB,且AE⊥BD.
(1)证明:平面EBD⊥平面EAD;
(2)若△EAD的面积为,求点C到平面EBD的距离.
解:(1)证明:如图,取AB的中点M,连接DM,
则由题意可知四边形BCDM为平行四边形,
∴DM=CB=AD=AB,即点D在以线段AB为直径的圆上,
∴BD⊥AD,又AE⊥BD,且AE∩AD=A,
∴BD⊥平面EAD.
∵BD⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面EAD.
(2)∵BD⊥平面EAD,且BD⊂平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面EAD.
∵等边△EAD的面积为,
∴AD=AE=ED=2,
取AD的中点O,连接EO,则EO⊥AD,EO=,
∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,
∴EO⊥平面ABCD.
由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,
∴BD==2,
S△EBD=ED·BD=2,
设点C到平面EBD的距离为h,
由VCEBD=VEBCD,得S△EBD·h=S△BCD·EO,
又S△BCD=BC·CDsin 120°=,
∴h=.∴点C到平面EBD的距离为.
突破点三 平行与垂直的综合问题
1.平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”.
2.垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:
在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.
[典例] (2018·北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
[证明] (1)因为PA=PD,E为AD的中点,
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形,
所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,AB∩PA=A,
所以PD⊥平面PAB.
因为PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.
因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=BC.
因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
所以DE∥BC,DE=BC.
所以DE∥FG,DE=FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
[方法技巧]
平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系.
[针对训练]
(2019·北京西城区期末)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G,H分别是CE,CF的中点.
(1)求证:AC⊥平面BDEF;
(2)求证:平面BDGH∥平面AEF.
证明:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,且AC⊂平面ABCD,
所以AC⊥平面BDEF.
(2)在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GH∥EF.
又GH⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,如图.
在△ACF中,因为O,H分别为CA,CF的中点,
所以OH∥AF.
因为OH⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
因为OH∩GH=H,OH,GH⊂平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.