宁夏青铜峡市高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 9页

i-1 4i3z += 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．若 ，则有（ ） A． B． C． D． 2．复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．平面直角坐标系下的点 的极坐标是（ ） A． B． C． D． 4．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 或 5．已知复数 ，则 （　　） A．3 B．5 C． D．10 6．某公司从代理的 A，B，C，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为 121 的样本， 已知 A，B，C，D 四种产品的数量比是 2：4：2：3，则该样本中 D 类产品的数量为（ ） A．22 件 B．33 件 C．44 件 D．55 件 7．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规 定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 600 名学生参加 了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方 图如图．则获得复赛资格的人数为（） A．640 B．520 C．390 D．240 8．某学校从编号依次为 001，002，…，180 的 180 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方 法抽取一个样本，已知样本中前两组的编号分别为 8，23，则该样本中最后一组的学生的编号 为（ ） A．008 B．170 C．180 D．173 9．已知 与 之间的一组数据，则 与 的线性回归方程 必过点（　　） x 0 1 2 3 4 0 1 0a b< − < <， 2ab ab a> > 2ab a ab> > 2a ab a> > 2a ab ab< < i ( 1, 3)P − − 2, 3 π    22, 3 π     2, 3 π −   22, 3 π −   { | 4 2 }x < x <− − { | 4}x x < − { | 2 }x x > − { | 4 x x < − 2}x > − z = 5 x y y x 2019-2020 学年第二学期 高二年级数学(文)期中试卷 命题人： 青 铜 峡 市 高 级 中 学 吴忠中学青铜峡分校 axby ˆˆˆ += 3 86 i iz −= 13 >+x 02 =−+ yx =+ 9b9a =− ba y 1.5 2 3 2.5 3.5 A．（2,2.5） B． C． D．（2,3） 10．实数 a，b 满足 （其中 i 为虚数单位），则复数 的共轭复数 为( ) A． B． C． D． 11．某外卖企业两位员工今年 3 月某 10 天日派送外卖量的数据（单位： 件），如茎叶图所示针对这 10 天的数据，下面说法错误的是（ ） A．阿朱的日派送量的众数为 76 B．阿紫的日派送量的中位数为 77 C．阿朱的日派送量的中位数为 76 D．阿朱的日派送外卖量更稳定 12．已知圆 C 的参数方程为： （ 为参数），则圆心 C 到直线 的距离为（ ）. A． B． C．1 D．2 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．观察下列各式： ， ， ， ， ， ，…，则______ 14．某中学生一周内每日睡眠时间分别是 6，8，7，x，8，10，9(单位：小时)，若该组数据的 平均数为 8，则该组数据的方差为____. 15．若关于 的不等式 的解集为 ，则 ________. 16．某企业计划投入产品的广告费 （单位：百万元）与销售额 （单位：百万元）有如下对 应数据： 0 1 2 3 4 15 25 30 40 40 由表中数据得线性回归方程为 ．投入的广告费 时，销售额的预报值为_______ 百万元． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. ( )1,2 ( )1.5,4 ( )( )i 2 i 3 5ia b+ + = − z b ai= + 13 1 i5 5 − + 13 1 i5 5 − − 13 1 i5 5 + 13 1 i5 5 − 1 2cos , 1 2sin . x y θ θ = − +  = + θ 2 2− 1a b+ = 2 2 3a b+ = 3 3 4a b+ = 4 4 7a b+ = 5 5 11a b+ = 6 6 18a b+ = x ( , )x a b a b R+ < ∈ x y x y  8y x a= + 6x = { }53 << xx θρ sin4= 17．（本题 10 分）在极坐标系中，圆 C 极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴 为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 为 （t 为参数）。 （1）写出圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程。 （2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长． 18（本题 12 分）某市图书馆准备进一定量的书籍，由于不同年龄段对图书的种类需求不同， 为了合理配备资源，现对该市看书人员随机抽取了一天 60 名读书者进行调查. 将他们的年龄分成 6 段： ， 后得到如图所示的频率分布直方图，问： （1）在 60 名读书者中年龄分布在 的人数； （2）估计 60 名读书者年龄的平均数和中位数. 19．（本题 12 分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随 机调查了 100 名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的 50 名学生中有 40 人比较细 心，另外 10 人比较粗心；在数学成绩不及格的 50 名学生中有 20 人比较细心，另外 30 人比 较粗心. （I）试根据上述数据完成 列联表： 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 40 比较粗心 合计 50 100 （II）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ )20,30 , 30,40 , 40.50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 [ )30,60 2 2× ( )2 0P K k≥ 0k       −= −= ty t 2 32 2 1x 参考公式： ，其中 . 20．（本题 12 分）《中国诗词大会》是中央电视台于 2016 年推出的大型益智类节目，该节目 的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了 4 位观众每周学习诗词的平均时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）： 年龄 20 30 40 50 每周学习诗词的平均时间 2 3 3 4 （1）由表中数据分析， 与 呈线性相关关系，试求线性回归方程。 （2）预测年龄为 60 岁的观众每周学习诗词的平均时间. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式： , 21．（本题 12 分）已知 . （1）解关于 的不等式 ； （2）若 恒成立，求实数 m 的取值范围． 22．（本题 12 分）在直角坐标系 中，已知曲 线以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐 标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知点 M（4,0），直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积. 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + y x x y x y ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 n n i i i i i= i= n n i i i= i= yx x y y x y nx b x x x nx ∧ − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − x xOy O x 2C 2 cos( ) 3 36 πρ θ − = 1C l 3 πθ = 1C O P 2C Q MPQ∆ ( ) 32 −+−= xxxf ( ) 5≤xf ( ) 12 −+> mmxf ( ) ;: 11 22 1 =+− yxC 青铜峡市高级中学高二文科（下）数学期中试卷答案 一、选择题（12*5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D D D B C D A B C C 二、填空题（4*5=20 分） 13、 76 . 14、 . 15、 -5 . 16、 62 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17．（本题 10 分）在极坐标系中，圆 C 极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 为 （t 为参数）。 （3）写出圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程。 （2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长． 【解析】 （1）圆 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程为: 直线 （t 为参数）的普通方程为 （2）圆心到直线的距离 ∴直线 l 过圆心 ∴弦长 L=2R=4． 18（本题 12 分）某市图书馆准备进一定量的书籍，由于 不同年龄段对图书的种类需求不同，为了合理配备资源， 现对该市看书人员随机抽取了一天 60 名读书者进行调查. 7 10 :l       −= −= ty t 2 32 2 1x θρ sin4= ，，可化为 θρρθρ sin44 2 == sin ( ) ., 424 2222 =−+=+ yxyyx 即       −= −= ty t 2 32 2 1x 023 =+− yx ,02 2203 = +−× =d 将他们的年龄分成 6 段： ， 后得到如图所示的频率分布直方图，问： （1）在 60 名读书者中年龄分布在 的人数； （2）估计 60 名读书者年龄的平均数和中位数. 【解析】 （1）由频率分布直方图知年龄在 的频率为 ， 所以 60 名读书者中年龄分布在 的人数为 60×0.6=36 人. （2）60 名读书者年龄的平均数为： . 设中位数为 ，则 ，解得 ， 即 60 名读书者年龄的中位数为 55. 19．（本题 12 分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随 机调查了 100 名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的 50 名学生中有 40 人比较细 心，另外 10 人比较粗心；在数学成绩不及格的 50 名学生中有 20 人比较细心，另外 30 人比 较粗心. （I）试根据上述数据完成 列联表： 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 40 比较粗心 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ )20,30 , 30,40 , 40.50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 [ )30,60 [30,60) (0.01 0.02 0.03) 10 0.6+ + × = [30,60) 25 0.05 35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.25 75 0.1 54× + × + × + × + × + × = x 0.005 10 0.01 10 0.02 10 0.03 ( 50) 0.5x× + × + × + × − = 55x = 2 2× 合计 50 100 （II）能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？ 【解析】 （I）填写的 列联表如下： 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 40 20 60 比较粗心 10 30 40 合计 50 50 100 （II）根据 列联表可以求得 的观测值 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系. 20．（本题 12 分）《中国诗词大会》是中央电视台于 2016 年推出的大型益智类节目，该节目 的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了 4 位观众每周学习诗词的平均时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）： 年龄 20 30 40 50 每周学习诗词的平均时间 2 3 3 4 （3）由表中数据分析， 与 呈线性相关关系，试求线性回归方程。 （4）预测年龄为 60 岁的观众每周学习诗词的平均时间. 【解析】 （1） ， 2 2× 2 2× 2K ( ) 828106671640605050 20103040100 2 2 .. >≈××× ×−×=K y x x y x y ( )1 20 30 40 50 354x = + + + = （2）当 x=60 时， . 答：年龄为 60 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 4.5 小时. 21．（本题 12 分）已知 . （1）解关于 的不等式 ； （3）若 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【解析】 解：（1） （2） 343324 1 =+++= )(y 4204 =∴ yx 450450340330220 4 1 =×+×+×+×=∑ =i ii yx又 540050403020 4 1 22222 =+++=∑ =i ix 50 3 3545400 420450 2 =×− −=∴bˆ 10 93550 33 =×−=aˆ 10 9 50 3 +=∴ xyˆ 5410 96050 3 .ˆ =+×=y x ( ) ( ) ( ) { }50 200 52552 3251532 535 55253 ≤≤ ≤≤≥ ≤−≤≤ <<≤≤<< ≤≤≤ ≤≤≥ xx xx xxfx xxx xx xfx 的解集为综上所述，所求不等式 即得 化为时，不等式当 ，成立，即化为时，不等式当 即得 化为时，不等式当 f -x ( ) ( ) [ ]12 12 111 13232 22 ,− ≤≤− −+>−+> =+−−≥−+−= 的取值范围所以实数 解得 恒成立，则若 m m mmmmxf xxxxxf ( ) 32 −+−= xxxf ( ) 5≤xf ( ) 12 −+> mmxf 22．（本题 12 分）在直角坐标系 中，已知曲 线以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐 标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知点 M（4,0），直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积. 【解析】 （Ⅰ）由题意知，曲线 的普通方程为 ， ∴曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅱ）设点 ， 的极坐标分别为 ， ， 则由 可得 的极坐标为 ， 由 可得 的极坐标为 ． ∵ ，∴ ， xOy O x 2C 2 cos( ) 3 36 πρ θ − = 1C l 3 πθ = 1C O P 2C Q MPQ∆ 1C ( )2 21 1x y− + = 1C =2cosρ θ P Q 1 1( )ρ θ， 2 2( )ρ θ， 1 1 1 π={ 3 =2cos ， ， θ ρ θ P π1 3     ， 2 2 2 π= 3{ π2 cos =3 36 ， ， θ ρ θ −   Q π3 3 ，     1 2 θ θ= 1 2 2PQ ρ ρ= − = 322322 1 32 =××=∴ MPQS lM ∆ ，的距离为到直线又 ( ) ;: 11 22 1 =+− yxC