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- 2021-06-16 发布
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二项式定理的十一种考题解法
1.二项式定理:
,
2.基本概念:
①二项式展开式:右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数:共项,是关于与的齐次多项式
④通项:展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
3.注意关键点:
①项数:展开式中总共有项。
②顺序:注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项减到,是升幂排列。各项的次数和等于.
④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令
令
5.性质:
①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,···
②二项式系数和:令,则二项式系数的和为,
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令,则,
从而得到:
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。
如果二项式的幂指数
是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项:求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为,设第项系数最大,应有,从而解出来。
6.二项式定理的十一种考题的解法:
题型一:二项式定理的逆用;
例:
解:与已知的有一些差距,
练:
解:设,则
题型二:利用通项公式求的系数;
例:在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?
解:由条件知,即,,解得,由
,由题意,
则含有的项是第项,系数为。
练:求展开式中的系数?
解:,令,则
故的系数为。
题型三:利用通项公式求常数项;
例:求二项式的展开式中的常数项?
解:,令,得,所以
练:求二项式的展开式中的常数项?
解:,令,得,所以
练:若的二项展开式中第项为常数项,则
解:,令,得.
题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
例:求二项式展开式中的有理项?
解:,令,()得,
所以当时,,,
当时,,。
题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
例:若展开式中偶数项系数和为,求.
解:设展开式中各项系数依次设为
,则有①,,则有②
将①-②得:
有题意得,,。
练:若的展开式中,所有的奇数项的系数和为
,求它的中间项。
解:,,解得
所以中间两个项分别为,,
题型六:最大系数,最大项;
例:已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解:解出,当时,展开式中二项式系数最大的项是,当时,展开式中二项式系数最大的项是,。
练:在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
解:二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。
练:在的展开式中,只有第
项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
解:只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于
例:写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?
解:因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有的系数最小,系数最大。
例:若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?
解:由解出,假设项最大,
,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为,有
练:在的展开式中系数最大的项是多少?
解:假设项最大,
,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为
题型七:含有三项变两项;
例:求当的展开式中的一次项的系数?
解法①:,,当且仅当时,的展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为
它的系数为。
解法②:
故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.
练:求式子的常数项?
解:,设第项为常数项,则,得,, .
题型八:两个二项式相乘;
例:
解:
.
练:
解:
.
练:
解:
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;
例:
解:
题型十:赋值法;
例:设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若
,则等于多少?
解:若,有,,
令得,又,即解得,.
练:若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?
解:令,则的展开式中各项系数之和为,所以,则展开式的常数项为.
例:
解:
练:
解:
题型十一:整除性;
例:证明:能被64整除
证:
由于各项均能被64整除