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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版二项式定理的十一种考题解法学案

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二项式定理的十一种考题解法 ‎1.二项式定理:‎ ‎,‎ ‎2.基本概念:‎ ‎①二项式展开式:右边的多项式叫做的二项展开式。‎ ‎②二项式系数:展开式中各项的系数.‎ ‎③项数:共项,是关于与的齐次多项式 ‎④通项:展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。‎ ‎3.注意关键点:‎ ‎①项数:展开式中总共有项。‎ ‎②顺序:注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。‎ ‎③指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项减到,是升幂排列。各项的次数和等于.‎ ‎④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。‎ ‎4.常用的结论:‎ 令 ‎ 令 ‎ ‎5.性质:‎ ‎①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,···‎ ‎②二项式系数和:令,则二项式系数的和为,‎ ‎ 变形式。‎ ‎③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:‎ 在二项式定理中,令,则,‎ 从而得到:‎ ‎④奇数项的系数和与偶数项的系数和:‎ ‎⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。‎ ‎ 如果二项式的幂指数 是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。‎ ‎⑥系数的最大项:求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为,设第项系数最大,应有,从而解出来。‎ ‎6.二项式定理的十一种考题的解法:‎ 题型一:二项式定理的逆用;‎ 例:‎ 解:与已知的有一些差距,‎ ‎ ‎ 练:‎ 解:设,则 题型二:利用通项公式求的系数;‎ 例:在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?‎ 解:由条件知,即,,解得,由 ‎,由题意,‎ 则含有的项是第项,系数为。‎ 练:求展开式中的系数?‎ 解:,令,则 故的系数为。‎ 题型三:利用通项公式求常数项;‎ 例:求二项式的展开式中的常数项?‎ 解:,令,得,所以 练:求二项式的展开式中的常数项?‎ 解:,令,得,所以 练:若的二项展开式中第项为常数项,则 解:,令,得.‎ 题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项;‎ 例:求二项式展开式中的有理项?‎ 解:,令,()得,‎ 所以当时,,,‎ 当时,,。‎ 题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;‎ 例:若展开式中偶数项系数和为,求.‎ 解:设展开式中各项系数依次设为 ‎ ,则有①,,则有②‎ ‎ 将①-②得:‎ ‎ 有题意得,,。‎ 练:若的展开式中,所有的奇数项的系数和为 ‎,求它的中间项。‎ 解:,,解得 ‎ 所以中间两个项分别为,,‎ 题型六:最大系数,最大项;‎ 例:已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?‎ 解:解出,当时,展开式中二项式系数最大的项是,当时,展开式中二项式系数最大的项是,。‎ 练:在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?‎ 解:二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。‎ 练:在的展开式中,只有第 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?‎ 解:只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于 例:写出在的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?‎ 解:因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有的系数最小,系数最大。‎ 例:若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?‎ 解:由解出,假设项最大,‎ ‎,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为,有 练:在的展开式中系数最大的项是多少?‎ 解:假设项最大,‎ ‎,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为 题型七:含有三项变两项;‎ 例:求当的展开式中的一次项的系数?‎ 解法①:,,当且仅当时,的展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为 它的系数为。‎ 解法②:‎ ‎ 故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.‎ 练:求式子的常数项?‎ 解:,设第项为常数项,则,得,, .‎ 题型八:两个二项式相乘;‎ 例:‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎.‎ 练:‎ 解:‎ ‎.‎ 练:‎ 解:‎ 题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;‎ 例:‎ 解:‎ 题型十:赋值法;‎ 例:设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若 ‎,则等于多少?‎ 解:若,有,,‎ ‎ 令得,又,即解得,.‎ 练:若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?‎ 解:令,则的展开式中各项系数之和为,所以,则展开式的常数项为.‎ 例:‎ 解:‎ ‎ ‎ 练:‎ 解:‎ 题型十一:整除性;‎ 例:证明:能被64整除 证:‎ 由于各项均能被64整除

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