【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第5讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用学案 17页

第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 一、知识梳理 ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ x ‎－ － － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)‎ 常用结论 ‎1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ 个单位长度．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．‎ 二、习题改编 ‎1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：A ‎2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 ．‎ 解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.‎ 答案：y＝6－cos x 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)‎ ‎(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)‎ ‎(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)搞不清ω的值对图象变换的影响；‎ ‎(2)确定不了函数解析式中φ的值．‎ ‎1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝ ．‎ 解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.‎ 答案：2sin ‎2．(2020·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝ ．‎ 解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝－.所以f(x)＝2sin.‎ 答案：2sin ‎　　　　　　五点法作图及图象变换(典例迁移)‎ ‎ 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．‎ ‎【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a ‎＝2sin＋1＋a的最大值为2，‎ 所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：‎ x ‎0‎ π ‎2x＋ π ‎2π f(x)＝2sin ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ 画图如下：‎ ‎【迁移探究1】　(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移 个单位得到y＝f(x)的图象．‎ 解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．‎ 答案： ‎【迁移探究2】　(变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．‎ 解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，‎ 又因为m>0，所以m的最小值为.‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)‎ 的图象的两种作法 五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象 图象变 换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”‎ ‎[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．‎ ‎1．(2020·广州市调研测试)由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　)‎ A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：选A.由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin ‎＝2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin，选A.‎ ‎2．(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为 ，g的值为 ．‎ 解析：由题知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，‎ 将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，‎ 可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，‎ 再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，‎ 则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.‎ 答案：π　3‎ ‎　　　　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)‎ ‎ (2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin ‎【解析】　根据题图有A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin ‎＝sin 2x.故选C.‎ ‎【答案】　C 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，‎ 则A＝，b＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；‎ ‎②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：‎ ‎“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．‎ ‎1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝ ．‎ 解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.‎ 所以A＝2，‎ 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，‎ 所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ 答案：2sin ‎2．(2020·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝ ．‎ 解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.‎ 答案：－ ‎　　　　　　三角函数模型的简单应用(师生共研)‎ ‎ (2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，‎ 半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.‎ ‎(1)求t＝时，A，B两点间的距离；‎ ‎(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．‎ ‎【解】　(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.‎ 又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，‎ 即A，B两点间的距离为.‎ ‎(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，‎ 所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，‎ 即函数关系式为y＝cos(t＞0)，‎ 当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.‎ 三角函数模型在实际应用中体现的两个方面 ‎(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；‎ ‎(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．‎ ‎　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h ‎)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为 ℃.‎ 解析：因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，又0≤t<24，‎ 所以≤t＋<，‎ 所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ 答案：4‎ 思想方法系列7　数形结合思想在三角函数中的应用 ‎ (2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[0，2)　　　　　　　 B．[0，2]‎ C．[1，＋1] D．[1，＋1)‎ ‎【解析】　关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m可化为sin 2x＋cos 2x＝m－1，即sin＝.‎ 易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥.‎ 令2x＋＝t，即sin t＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2.‎ 作出y＝sin t的图象，如图所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，‎ 所以－≤＜，‎ 故0≤m＜2.故选A.‎ ‎【答案】　A 本题是将方程根的问题转化为函数y＝sin与y＝的图象的交点，利用数形结合进行求解，可提升学生的直观想象能力．　‎ ‎　函数f(x)＝3sin x－logx的零点的个数是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选D.函数f(x)零点个数即为y＝3sin x与y＝logx的交点个数，如图，函数y＝3sin x与y＝logx有5个交点．‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)‎ 解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.‎ ‎2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　 B. C．1 D． 解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．A＝1 B．A＝3‎ C．ω＝ D．ω＝ 解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.‎ ‎4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝cos，‎ y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B.‎ ‎5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x ‎)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)‎ A．－2 B．－ C. D． 2‎ 解析：选C.因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，得g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f＝2sin ＝，故选C.‎ ‎6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ．‎ 解析：y＝sin xy＝‎ siny＝sin.‎ 答案：y＝sin ‎7．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f(x)的单调递增区间为 ．‎ 解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 答案：2　(k∈Z)‎ ‎8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝ ．‎ 解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，‎ 所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 所以ω＝8k＋(k∈Z)，‎ 因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，‎ 所以－≤，即ω≤12，‎ 令k＝0，得ω＝.‎ 答案： ‎9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．‎ 解：连接MP(图略)．‎ 依题意，有A＝2，＝3，‎ 又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.‎ 当x＝4时，y＝2sin＝3，‎ 所以M(4，3)．又P(8，0)，‎ 所以|MP|＝＝5.‎ 即M，P两点相距5 km.‎ ‎10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．‎ ‎(1)求函数h(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若g＝，求h(α)的值．‎ 解：(1)由已知可得g(x)＝sin，‎ 则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)由g＝得sin＝‎ sin＝，‎ 所以sin＝－，即h(α)＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)‎ A．(0，0) B．(1，0)‎ C. D． 解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D.‎ ‎2．(2020·沈阳市质量监测(一))设函数f(x)＝sin，‎ 则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①函数y＝f(x)的减区间为(k∈Z)；‎ ‎②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到；‎ ‎③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝；‎ ‎④若x∈，则f(x)的取值范围是.‎ 解析：对于①，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，①正确；对于②，y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，②错误；对于③，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，③错误；对于④，若x∈，则2x－∈，故f(x)∈，④正确．‎ 答案：①④‎ ‎3．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，‎ 所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，‎ 即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．‎ 解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 因为－≤φ＜，所以k＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f＝sin＝sin＝.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象，‎ 所以g(x)＝f＝sin ‎＝sin.‎ 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎