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- 2021-06-16 发布
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第十二节 函数与方程
1. 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2. 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
1. 考查具体函数的零点个数和零点的取值范围.
2. 利用函数零点求解参数的取值范围.
3. 考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想.
一、函数零点
1.定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.
4.对函数零点的认知:(1)并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)=.
(2)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
三、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布情况
根的分布(m<n<p为常数)
图象
满足的条件
x1<x2<m (两根都小于m)
m<x1<x2 (两根都大于m)
x1<m<x2 (一根大于m,一根小于m)
f(m)<0
x1,x2∈(m,n) (两根位于m,n之间)
m<x1<n<x2<p (两根分别位于m与n,n与p之间)
只有一根在m,n之间
或f(m)·f(n)<0
四、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
考向一 确定函数零点所在区间
例1.方程log3x+x=3的根所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2.函数f(x)=+ln的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与(2,3)
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
判断函数零点所在区间的方法:
判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处理,当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.
考向二 判断函数零点的个数
例1.函数f(x)=x-()的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数f(x)=x2-在x∈R上的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
判断函数零点个数的方法:
1.解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;
2.零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质;
3.数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
考向三 函数零点的应用
例1.已知函数g(x)=x+(x>0).若g(x)=m有实数根,求m的取值范围;
2.若函数f(x)=-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)
3. 已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路:
1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
3.数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.
思想方法 解决方程根问题的一大“利器”——数形结合
利用函数处理方程解的问题,方法如下:
1.方程f(x)=a在区间I上有解⇔a∈{y|y=f(x),x∈I},⇔y=f(x)与y=a的图象在区间I上有交点.
2.方程f(x)=a在区间I上有几个解⇔y=f(x)与y=a的图象在区间I上有几个交点.
一般地,在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时,常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题,从而可利用数形结合的方法给予直观解答.
☆答题模版1.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=()在x∈[0,4]上解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据f(x-1)=f(x+1)可得函数f(x)的周期为2,根据函数f(x)是偶函数以及f(x-1)=f(x+1)可得f(1-x)=f(1+x),所以这个函数的图象关于直线x=1对称.根据函数f(x)
在[0,1]上的解析式可以画出函数f(x)在[0,4]上的图象,结合图象可得函数f(x)=()在[0,4]上有4个解.
【答案】D
2.已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1)
【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,
观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0<a<1.
【答案】D
一、选择(本大题共6小题,每题5分,共30分)
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间为( )
A.(2,4) B.(3,4) C.(2,3) D.(2.5,3)
3.若函数f(x)=x2+mx+1有两个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.函数f(x)=log2x+x-4的零点所在的区间是( )
A.(,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
5.函数f(x)=+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内,那么下列命题中正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点
二、填空(本大题共4小题,每题5分,共20分)
7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
8.函数y=()有两个零点,则m的取值范围是________.
9.函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是________.
10.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是________.
第十二节 函数与方程
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为( )
A.(1,2) B.(2,3) C.不能确定 D.(1,2)或(2,3)都可以
3.函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为( )
A.0 B.1 C.3 D.2
4.函数f(x)=2x-cosx在[0,+∞)内 ( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
5.设函数f(x)的定义域为R,f(x)=且对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-mx-m恰有四个不同零点,则实数m的取值范围是( )
A.[0,] B.[0,) C.(0,] D.(0,]
6.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )
A.4 B.2 C.-4 D.与m有关
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.函数f(x)=的零点个数为________.
8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为________.
9.(2014·南宁模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题15分,共45分)
10.(15分) 若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
11.(15分) 已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
12.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
第十二节 函数与方程
考向一:例1.【解析】法一:方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f(2)=log32+2-3=log32-1<0,f(3)=log33+3-3=1>0且函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.∴函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).
法二:方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示.由图知方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).【答案】C
2.【解析】f(x)=+ln=-ln(x-1).当10,所以f(x)>0,故函数f(x)在(1,2)上没有零点.f(2)=1-ln 1=1,f(3)=-ln 2==,∵=2
eq
(2)≈2.828>e,∴8>e2,即ln 8>2,即f(3)<0,又f(4)=-ln 3<0,∴f(x)在(2,3)内存在一个零点.【答案】B 3.【解析】由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得00,所以f(x)=x-x在定义域内有唯一零点.【答案】B 2.【解析】注意到f(-1)×f(0)=×(-1)<0,因此函数f(x)在(-1,0)上必有零点.又f(2)=f(4)=0,因此函数f(x)的零点个数是3.【答案】C 3.【解析】令f(x)=-cos x=0,则=cos x,设函数y=和y=cos x,在同一坐标系下做出它们在[0,+∞)的图象,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.【答案】B
考向三:例1.【解析】法一:∵g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.故当g(x)=m有实数根时,m的取值范围为[2e,+∞).法二:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图:可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.故当g(x)=m有实数根时,m的取值范围为[2e,+∞).
2.【解析】令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分01两种情况,在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点,根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求.
【答案】A
3.【解析】在同一坐标系中作出f(x)=及y=k的图象,如图.
可知,当0或a<-1
10.【答案】(-2,0)
能力提升:1-6.BADBDA 7.【答案】2 8.【答案】 9.【答案】5
10.【解析】若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,
由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根,则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,
∴0<-a<4,即-40)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,∴f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
12.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.∴函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,∴b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0