高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型 5页

第十二章概率与统计 ‎12.2古典概型与几何概型 专题1‎ 古典概型的概率 ‎■(2015辽宁鞍山一模,古典概型的概率,填空题,理15)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为　　　　　. ‎ 解析:总的基本事件数为C‎10‎‎4‎=210,‎ 恰有两只成双的取法是C‎5‎‎1‎‎·C‎4‎‎2‎·C‎2‎‎1‎·‎C‎2‎‎1‎=120.‎ 故从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率P=‎120‎‎210‎‎=‎‎4‎‎7‎.‎ 答案:‎‎4‎‎7‎ 专题3‎ 几何概型在不同测度中的概率 ‎■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理7)不等式组‎-2≤x≤2,‎‎0≤y≤4‎表示的点集记为A,不等式组x-y+2≥0,‎y≥‎x‎2‎表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为(　　)‎ A.‎9‎‎32‎ B.‎7‎‎32‎ C.‎9‎‎16‎ D.‎‎7‎‎16‎ 解析:分别画出点集A,B.如图,‎ A对应的区域面积为4×4=16,B对应的区域面积如图阴影部分,为‎-1‎‎2‎‎ ‎(x+2-x2)dx=‎1‎‎2‎x‎2‎‎+2x-‎‎1‎‎3‎x‎3‎‎-1‎‎2‎‎=‎‎9‎‎2‎.‎ 由几何概型公式得,在A中任取一点P,则P∈B的概率为‎9‎‎2‎‎16‎‎=‎‎9‎‎32‎.‎ 答案:A ‎12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎■(2015沈阳一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为‎1‎‎3‎,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.‎ ‎(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;‎ ‎(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票数之和X的分布列及数学期望.‎ 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”.‎ ‎∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为‎1‎‎3‎,且三人投票相互没有影响,‎ ‎∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率:‎ P(A)=C‎3‎‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎2‎‎3‎‎+C‎3‎‎3‎‎1‎‎3‎‎3‎=‎‎7‎‎27‎.‎ ‎(2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0,1,2,3,‎ P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎1‎‎3‎‎3‎‎=‎‎1‎‎27‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎2‎‎3‎‎1‎‎3‎‎2‎‎=‎‎6‎‎27‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎‎1‎‎3‎‎=‎‎12‎‎27‎,‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎2‎‎3‎‎3‎‎=‎‎8‎‎27‎,‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎27‎ ‎2‎‎9‎ ‎4‎‎9‎ ‎8‎‎27‎ EX=0×‎1‎‎27‎+1×‎2‎‎9‎+2×‎4‎‎9‎+3×‎8‎‎27‎=2.‎ ‎■(2015辽宁大连二十四中高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图:‎ ‎(1)求出表中M,p及图中a的值;‎ ‎(2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在[25,30)区间的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在[20,25)区间的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在[15,20)区间的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在[10,15)区间的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列与数学期望E(X).‎ 分组 频数 频率 ‎[10,15)‎ ‎5‎ ‎0.25‎ ‎[15,20)‎ ‎12‎ n ‎[20,25)‎ m p ‎[25,30)‎ ‎1‎ ‎0.05‎ 合计 M ‎1‎ 解:(1)由题可知‎5‎M=0.25,‎12‎M=n,mM=p,‎ 又5+12+m+1=M,‎ 解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,‎ 则[15,20)组的频率与组距之比a为0.12.‎ ‎(2)两人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元,200元,400元,600元,则 P(X=0)=C‎5‎‎2‎‎+C‎12‎‎2‎+‎C‎2‎‎2‎C‎20‎‎2‎‎=‎10+66+1‎‎190‎=‎‎77‎‎190‎,‎ P(X=200)=C‎5‎‎1‎C‎12‎‎1‎‎+C‎12‎‎1‎C‎2‎‎1‎+‎C‎2‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎86‎‎190‎,‎ P(X=400)=C‎5‎‎1‎C‎2‎‎1‎‎+‎C‎1‎‎1‎C‎12‎‎1‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎22‎‎190‎,‎ P(X=600)=C‎5‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎5‎‎190‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎600‎ P ‎77‎‎190‎ ‎86‎‎190‎ ‎22‎‎190‎ ‎5‎‎190‎ EX=0×‎77‎‎190‎+200×‎86‎‎190‎+400×‎22‎‎190‎+600×‎5‎‎190‎‎=‎‎2 900‎‎19‎.‎ ‎■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的500名市民中,随机抽取100名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下:‎ 频率分布表 分组(单位:岁)‎ 频数 频率 ‎[20,25)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎[25,30)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎[30,35)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ ‎[35,40)‎ ‎30‎ ‎②‎ ‎[40,45)‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.000‎ ‎(1)频率分布表中的①②位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图统计这500名志愿者的平均年龄;‎ ‎(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加宣传活动,再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人.记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ 频率分布直方图 解:(1)由题意知频率分布表中的①位置应填数字为100-5-20-30-10=35.‎ ‎②位置应填数字为‎30‎‎100‎=0.30.‎ 补全频率分布直方图,如图所示.‎ 频率分布直方图 平均年龄估值为 ‎1‎‎2‎‎(45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1)=33.5(岁).‎ ‎(2)由表知,抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,故X的可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)=C‎15‎‎2‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎21‎‎38‎,‎ P(X=1)=C‎5‎‎1‎C‎15‎‎1‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎15‎‎38‎,‎ P(X=2)=C‎5‎‎2‎C‎20‎‎2‎‎=‎‎1‎‎19‎.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎21‎‎38‎ ‎15‎‎38‎ ‎1‎‎19‎ EX=0×‎21‎‎38‎+1×‎15‎‎38‎+2×‎1‎‎19‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎■(2015辽宁鞍山一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为‎4‎‎5‎‎,‎2‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎,他们考核所得的等次相互独立.‎ ‎(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;‎ ‎(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.‎ 解:(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,‎ 则事件A,B,C相互独立,A‎·B·‎C与事件E是对立事件.‎ 则P(E)=1-P(A‎·B·‎C)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-‎1‎‎5‎‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎3‎=‎‎44‎‎45‎.‎ ‎(2)ξ的可能取值为‎3‎‎2‎,2,‎5‎‎2‎,3.‎ ‎∵Pξ=‎‎3‎‎2‎=P(A‎·B·‎C)=‎1‎‎45‎,‎ P(ξ=2)=P(A·B‎·‎C)+P(A·B·C)+P(A‎·‎B·C)=‎8‎‎45‎,‎ Pξ=‎‎5‎‎2‎=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=‎20‎‎45‎,‎ P(ξ=3)=P(A·B·C)=‎16‎‎45‎.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎3‎‎2‎ ‎2‎ ‎5‎‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎45‎ ‎8‎‎45‎ ‎20‎‎45‎ ‎16‎‎45‎ ‎∴Eξ=‎3‎‎2‎‎×‎‎1‎‎45‎+2×‎8‎‎45‎‎+‎5‎‎2‎×‎‎20‎‎45‎+3×‎16‎‎45‎‎=‎‎77‎‎30‎.‎ 专题3‎ 均值与方差在决策中的应用 ‎■(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,均值与方差在决策中的应用,解答题,理18)“十一黄金周”期间,某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的A地到B地有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为‎2‎‎3‎;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到堵塞的概率依次为‎3‎‎4‎‎,‎‎3‎‎5‎.‎ ‎(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率;‎ ‎(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.‎ 解:(1)设走L1路线,最多遇到1次堵塞为A事件,‎ 则P(A)=C‎3‎‎0‎‎×‎1‎‎3‎‎3‎+C‎2‎‎1‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎3‎‎2‎=‎‎7‎‎27‎,‎ 故走L1路线,最多遇到1次堵塞的概率为‎7‎‎27‎.‎ ‎(2)设走L2路线,遇到堵塞的次数为X,则X的可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)=‎1-‎‎3‎‎4‎‎×‎1-‎‎3‎‎5‎=‎‎1‎‎10‎,‎ P(X=1)=‎3‎‎4‎‎×‎1-‎‎3‎‎5‎+‎1-‎‎3‎‎4‎×‎3‎‎5‎=‎‎9‎‎20‎,‎ P(X=2)=‎3‎‎4‎‎×‎3‎‎5‎=‎‎9‎‎20‎,‎ 则EX=‎1‎‎10‎×0+‎9‎‎20‎×1+‎9‎‎20‎×2=‎27‎‎20‎.‎ 设走L1路线,遇到堵塞的次数为Y,则Y服从二项分布,Y~B‎3,‎‎2‎‎3‎,则EY=3×‎2‎‎3‎=2.‎ 由于EX