【数学】2018届一轮复习人教A版空间点、直线、平面之间的位置关系学案 12页

‎　‎ ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义．‎ ‎2．了解可以作为推理依据的公理和定理．‎ ‎3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ 知识点一　平面的基本性质 ‎ ‎1．公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ ‎2．公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．‎ ‎3．公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎4．公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；‎ 推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；‎ 推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．‎ 答案 ‎1．两点　2.不在一条直线上　3.一个 ‎4．相交　平行 ‎1．判断正误 ‎(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　)‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)‎ ‎(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)‎ A．点A　　　　　　　 B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.‎ 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.‎ 根据公理3可知，M在γ与β的交线上．‎ 同理可知，点C也在γ与β的交线上．‎ 答案：D 知识点二　直线与直线的位置关系 ‎ ‎1．两直线位置关系的分类 ‎2．异面直线所成的角 ‎(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎(2)范围：____________.‎ ‎3．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．‎ 答案 ‎1．平行　相交　任何 ‎2．(1)锐角(或直角)　(2)　3.相等或互补 ‎3．判断正误 ‎(1)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.(　　)‎ ‎(2)两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．(　　)‎ ‎(3)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎4．(人教A必修②P52B1(2)改编)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________．‎ 解析：‎ 取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN綊AD綊 BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角．又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，∴∠MB′B＝∠QBM.而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，∴∠MHB＝90°.‎ 答案：90°‎ 热点一　平面的基本性质 ‎ ‎【例1】　下列命题：‎ ‎①空间不同三点确定一个平面；‎ ‎②有三个公共点的两个平面必重合；‎ ‎③空间两两相交的三条直线确定一个平面；‎ ‎④三角形是平面图形；‎ ‎⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；‎ ‎⑥垂直于同一直线的两直线平行；‎ ‎⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；‎ ‎⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确的命题是________．‎ ‎【解析】　‎ 由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．‎ 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．‎ ‎【答案】　④‎ ‎【总结反思】‎ 对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证.‎ 以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：‎ ‎①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．‎ 答案：B 热点二 共点、共线、共面问题 ‎ ‎【例2】　已知在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别为D‎1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A‎1C1∩EF＝Q.‎ 求证：(1)D，B，F，E四点共面；‎ ‎(2)若A‎1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；‎ ‎(3)DE，BF，CC1三线交于一点．‎ ‎【证明】　(1)如图所示．‎ 因为EF是△D1B‎1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．‎ ‎(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A‎1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A‎1C∩β＝R，所以R∈A‎1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．‎ ‎(3)∵EF∥BD且EF