2014版高中数学人教版a版选修4-5教学课件：第一讲 二 1 绝对值三角不等式 19页

1 ．绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 (1) 定理 1 ：如果 a ， b 是实数，则 | a ＋ b |≤| a | ＋ | b | ，当且仅当 时，等号成立． 几何解释：用向量 a ， b 分别替换 a ， b . ①当 a 与 b 不共线时，有 | a ＋ b| <| a | ＋ | b | ，其几何意义为： ． ②若 a ， b 共线，当 a 与 b 时， | a ＋ b | ＝ | a | ＋ | b | ，当 a 与 b 时， | a ＋ b |<| a | ＋ | b |. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理 1 的推广：如果 a ， b 是实数，则 || a | － | b ||≤| a ± b | ≤| a | ＋ | b |. ab ≥0 三角形的两边之和大于第三边 同向 反向 (2) 定理 2 ：如果 a ， b ， c 是实数，那么 | a － c |≤| a － b | ＋ | b － c |. 当且仅当 时，等号成立． 几何解释：在数轴上， a ， b ， c 所对应的点分别为 A ， B ， C ， 当点 B 在点 A ， C 之间时， | a － c | | a － b | ＋ | b － c |. 当点 B 不在点 A ， C 之间时：①点 B 在 A 或 C 上时， | a － c | | a － b | ＋ | b － c | ； ②点 B 不在 A ， C 上时， | a － c | | a － b | ＋ | b － c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值． ( a － b )( b － c )≥0 ＝ ＝ < 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式 || a | － | b ||| a ± b |≤| a | ＋ | b | ，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 1 ．设 a 、 b 是满足 ab <0 的实数，则下列不等式中正确的是 ( 　　 ) A ． | a ＋ b |>| a － b | 　　　　　 B ． | a ＋ b |<| a － b | C ． | a － b |<|| a | － | b || D ． | a － b |<| a | ＋ | b | 解析： ∵ ab <0 且 | a － b | 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab ， ∴ ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ 2 ab <| a － b | 2 . ∴ (| a | ＋ | b |) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ 2| ab | ＝ | a － b | 2 . 故 A 、 D 不正确． B 正确；又由定理 1 的推广知 C 不正确． 答案： B [ 例 2] 　 (1) 求函数 y ＝ | x － 3| － | x ＋ 1| 的最大值和最小值． (2) 设 a ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ x － a ( － 1≤ x ≤1) ． 若 | a |≤1 ，求 | f ( x )| 的最大值． [ 思路点拨 ] 　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [ 解 ] 　 (1) 法一： || x － 3| － | x ＋ 1|| ≤|( x － 3) － ( x ＋ 1)| ＝ 4 ， ∴－ 4≤| x － 3| － | x ＋ 1|≤4. ∴ y max ＝ 4 ， y min ＝－ 4. (1) 利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2) 求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 3 ．若 a ， b ∈ R ，且 | a |≤3 ， | b |≤2 则 | a ＋ b | 的最大值是 ________ ， 最小值是 ________ ． 解析： | a | － | b |≤| a ＋ b |≤| a | ＋ | b | ， ∴ 1 ＝ 3 － 2≤| a ＋ b |≤3 ＋ 2 ＝ 5. 答案： 5 　 1 4 ．求函数 f ( x ) ＝ | x － 1| ＋ | x ＋ 1| 的最小值． 解： ∵ | x － 1| ＋ | x ＋ 1| ＝ |1 － x | ＋ | x ＋ 1|≥ |1 － x ＋ x ＋ 1| ＝ 2 ， 当且仅当 (1 － x )(1 ＋ x )≥0 ， 即－ 1≤ x ≤1 时取等号． ∴当－ 1≤ x ≤1 时，函数 f ( x ) ＝ | x － 1| ＋ | x ＋ 1| 取得最小值 2. 5 ．若对任意实数，不等式 | x ＋ 1| － | x － 2|> a 恒成立，求 a 的 取值范围． 解： a <| x ＋ 1| － | x － 2| 对任意实数恒成立， ∴ a <[| x ＋ 1| － | x － 2|] min . ∵ || x ＋ 1| － | x － 2||≤|( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， ∴－ 3≤| x ＋ 1| － | x － 2|≤3. ∴ [| x ＋ 1| － | x － 2|] min ＝－ 3. ∴ a < － 3. 即 a 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 3) ．