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- 2021-06-16 发布
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含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为
不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。
(一)、公式法:即利用 与 的解集求解。
主要知识:
1、绝对值的几何意义: 是指数轴上点 到原点的距离; 是指数轴上 ,
两点间的距离.。
2、 与 型的不等式的解法。
当 时,不等式 的解集是
不等式 的解集是 ;
当 时,不等式 的解集是
不等式 的解集是 ;
3. 与 型的不等式的解法。
把 看作一个整体时,可化为 与 型的不等式来求解。
当 时,不等式 的解集是
不等式 的解集是 ;
当 时,不等式 的解集是
不等式 的解集是 ;
例 1 解不等式
分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“ ”
看着一个整体。答案为 。(解略)
(二)、定义法:即利用 去掉绝对值再解。
例 2。解不等式 。
分析:由绝对值的意义知, a≥0, a≤0。
解:原不等式等价于 <0 x(x+2)<0 -2<x<0。
ax > ax <
x x 21 xx − 1x 2x
ax > ax <
0>a >x { }axaxx −<> 或,
ax < { }axax <<−
0 { }Rxx ∈
ax < ∅
cbax >+ cbax <+
bax + ax < ax >
0>c cbax >+ { }cbaxcbaxx −<+>+ 或,
cbax <+ { }cbaxcx <+<−
0+ { }Rxx ∈
cbxa <+ ∅
32 <−x
2−x
{ }51 <<− xx
( 0),
0( 0),
( 0).
a a
a a
a a
>
= =
− <
2 2
x x
x x
>+ +
a a= ⇔ a a= − ⇔
2
x
x + ⇔ ⇔
(三)、平方法:解 型不等式。
例 3、解不等式 。
解:原不等式
(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-4)(x-2)<0 。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。
例 4 解不等式 。
分析:由 , ,得 和 。 和 把实数集合分成三个区间,
即 , , ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。
解:当 x<-2 时,得 , 解得:
当-2≤x≤1 时,得 , 解得:
当 时,得 解得:
综上,原不等式的解集为 。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;
(2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意
边界值。
三、几何法:即转化为几何知识求解。
例 5 对任何实数 ,若不等式 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( )
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3
分析:设 ,则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 ,于是题转
化为求 的最小值。
解: 、 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 - 的几何意义
为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B)。
( ) ( )f x g x>
1 2 3x x− > −
⇔ 2 2( 1) (2 3)x x− > − ⇔ 2 2(2 3) ( 1) 0x x− − − <
⇔ ⇔ ⇔ 4 23 x< <
1 2 5x x− + + <
01 =−x 02 =+x 1=x 2=x 2− 1
2−x
2
( 1) ( 2) 5
x
x x
< −
− − − + < 23 −<<− x
2 1,
( 1) ( 2) 5
x
x x
− ≤ ≤
− − + + < 12 ≤≤− x
1>x 1,
( 1) ( 2) 5.
x
x x
>
− + + < 21 << x
{ }23 <<− xx
x 1 2x x k+ − − >
1 2y x x= + − − mink y<
y
1x + 2x − 1x + 2x −
四、典型题型
1、解关于 的不等式
解:原不等式等价于 ,
即
∴ 原不等式的解集为
2、解关于 的不等式
解:原不等式等价于
3、解关于 的不等式
解:原不等式可化为
∴
即
解得:
∴ 原不等式的解集为
4、解关于 的不等式
解:⑴ 当 时,即 ,因 ,故原不等式的解集是空
集。
⑵ 当 时,即 ,原不等式等价于
解得:
综上,当 时,原不等式解集为空集;当 时,不等式解集为
x 10832 <−+ xx
108310 2 <−+<− xx
<−+
−>−+
1083
1083
2
2
xx
xx ⇒
<<−
−<−>
36
21
x
xx 或
)3,1()2,6( −−−
x 232
1 >−x
<−
≠−
2
132
032
x
x
⇒
<<
≠
4
7
4
5
2
3
x
x
x 212 +<− xx
22 )2()12( +<− xx
0)2()12( 22 <+−− xx
0)13)(3( <+− xx
33
1 <<− x
)3,3
1(−
x 1212 −<− mx )( Rm∈
012 ≤−m 2
1≤m 012 ≥−x
012 >−m 2
1>m
1212)12( −<−<−− mxm
mxm <<−1
2
1≤m 2
1>m
{ }mxmx <<−1
5、解关于 的不等式
解:当 时,得 ,无解
当 ,得 ,解得:
当 时,得 ,解得:
综上所述,原不等式的解集为 ,
6、解关于 的不等式
(答案: )
解:
五、巩固练习
1、设函数 = ;若 ,则 的取值范围
是 .
2、已知 ,若关于 的方程 有实根,则 的取值范围
是 .
3、不等式 的实数解为 .
4、解下列不等式
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ;
⑷ ; ⑸ ; ⑹ ( )
5、若不等式 的解集为 ,则实数 等于 ( )
6、若 ,则 的解集是( )
x 1312 ++<−− xxx
3−x
++<−−
>
1312
2
1
xxx
x
2
1>x
4
3(− )2
1
x 521 ≥++− xx
),2[]3,( +∞−−∞
)2(,312)( −++−= fxxxf 则 2)( ≤xf x
a∈R x 2 1 04x x a a+ + − + = a
12
1 ≥+
+
x
x
4 3 2 1x x− > + | 2 | | 1|x x− < + | 2 1| | 2 | 4x x+ + − >
4 | 2 3| 7x< − ≤ 241 <−−x aax <−2 a R∈
62 <+ax ( )1,2− a
.A 8 .B 2 .C 4− .D 8−
x R∈ ( )( )1 1 0x x− + >
且 且
7、 对任意实数 , 恒成立,则 的取值范围是 ;
对任意实数 , 恒成立,则 的取值范围是 ;
若关于 的不等式 的解集不是空集,则 的取值范围是 ;
8、不等式 的解集为( )
9、解不等式:
10、方程 的解集为 ,不等式 的解集是 ;
12、不等式 的解集是( )
11、不等式 的解集是
12、 已知不等式 的解集为 ,求 的值
13、解关于 的不等式:①解关于 的不等式 ;②
14、不等式 的解集为( ).
15、 设集合 , ,则 等于 ( )
16、不等式 的解集是 .
17、设全集 ,解关于 的不等式:
(参考答案)
1、 6 ; ; 2、
3、
.A { }0 1x x≤ < .B { 0x x < 1}x ≠ − .C { }1 1x x− < < .D { 1x x < 1}x ≠ −
( )1 x | 1| | 2 |x x a+ + − > a
( )2 x | 1| | 3|x x a− − + < a
( )3 x | 4 | | 3|x x a− + + < a
xx 3102 ≤−
.A { }| 2 10x x≤ ≤ .B { }| 2 5x x− ≤ ≤ .C { }| 2 5x x≤ ≤ .D { }| 10 5x x≤ ≤
221 >−+− xx
xx
x
xx
x
3
2
3
2
22 +
+=+
+
x
x
x
x
−>− 22
x 0)21( >− x
.A )2
1,(−∞ .B )2
1,0()0,( −∞ .C ),2
1( +∞ .D )2
1,0(
3 5 2 9x≤ − <
.A ( ) ( ), 2 7,−∞ − +∞ .B [ ]1,4 .C [ ] [ ]2,1 4,7− .D ( ] [ )2,1 4,7−
ax ≤− 2 )0( >a { }cxRx <<−∈ 1| ca 2+
x x 31 <−mx ax <−+ 132 )( Ra ∈
1 | 1| 3x< + <
.A (0,2) .B ( 2,0) (2,4)− .C ( 4,0)− .D ( 4, 2) (0,2)− − { }2 2,A x x x R= − ≤ ∈ { }21,2 ≤≤−−== xxyyB ( )RC A B
.A R .B { }, 0x x R x∈ ≠ .C { }0 .D ∅
2 1 1x x− − <
U R= x 1 1 0x a− + − > ( )x R∈
∅ ]4,0[
)2
3,2()2,( −−−−∞
4、⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
⑹ 当 时, ;当 时,不等式的解集为
5、C 6、D 7、⑴ ; ⑵ ; ⑶ ;
8、C 9、 10、 ;
11、D 12、 15
13、① 当 时, ;当 时, ;当 时,
② 当 ,即 时,不等式的解集为 ;
当 ,即 时,不等式的解集为 ;
14、D 15、B 16、 ,
17、当 ,即 时,不等式的解集为 ;
当 ,即 时,不等式的解集为 ;
当 ,即 时,不等式的解集为 ;
>< 23
1 xxx 或
>
2
1xx
>−< 12
1 xxx 或
≤<−<≤− 52
7
2
12 xxx 或 { }7315 <<−<<− xxx 或
0>a { }axax 22 <<− 0≤a ∅
3a 7>a
><
2
5
2
1 xaxx 或 { }023 >≤<− xxx 或
{ }02 <> xxx 或
0=m Rx∈ 0>m mxm
42 <<− 0+a 1−>a
−<<− 122
axax
01≤+a 1−≤a ∅
0( )2
01 >− a 1< 2或
01 =− a 1=a { }1≠xx
01 <− a 1>a R