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- 2021-06-16 发布
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圆锥曲线中的热点问题
1.
圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题
(
以所求式子或参数为函数值
)
,或者利用式子的几何意义求解
.
2.
定点、定值问题
(1)
定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题
.
若得到了直线方程的点斜式:
y
-
y
0
=
k
(
x
-
x
0
)
,则直线必过定点
(
x
0
,
y
0
)
;若得到了直线方程的斜截式:
y
=
kx
+
m
,则直线必过定点
(0
,
m
).
【
考点梳理
】
(2)
定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题
.
3.
存在性问题的解题步骤:
(1)
先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程
(
组
)
或不等式
(
组
).
(2)
解此方程
(
组
)
或不等式
(
组
)
,若有解则存在,若无解则不存在
.
(3)
得出结论
.
【例
1
】
如图所示,设抛物线
y
2
=
2
px
(
p
>
0)
的焦点为
F
,抛物线上的点
A
到
y
轴的距离等于
|
AF
|
-
1.
(1)
求
p
的值;
(2)
若直线
AF
交抛物线于另一点
B
,过
B
与
x
轴平行的直线和过
F
与
AB
垂直的直线交于点
N
,
AN
与
x
轴交于点
M
,求
M
的横坐标的取值范围
.
题型一、圆锥曲线中的最值、范围
【
题型突破
】
求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:
(1)
几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义
,
则考虑利用图形性质数形结合求解
.
(2)
代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系
,
或者不等关系
,
或者已知参数与新参数之间的等量关系等
,
则利用代数法求参数的范围
.
【
类题通法
】
【
对点训练
】
题型二、
圆锥曲线中的定值
问题
1.
求定值问题常见的方法有两种:
(
1)
从特殊入手
,
求出定值
,
再证明这个值与变量无关
.
(2)
直接推理、计算
,
并在计算推理的过程中消去变量
,
从而得到定值
.
2
.
定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题
,
然后证明与参数无关
,
这类问题选择消元的方向是非常关键的
.
【
类题通法
】
【
对点训练
】
题型三、
圆锥曲线
中的定点问题
1.
动直线
l
过定点问题
.
设动直线方程
(
斜率存在
)
为
y
=
kx
+
t
,
由题设条件将
t
用
k
表示为
t
=
mk
,
得
y
=
k
(
x
+
m
)
,
故动直线过定点
(
-
m
,
0).
2
.
动曲线
C
过定点问题
.
引入参变量建立曲线
C
的方程
,
再根据其对参变量恒成立
,
令其系数等于零
,
得出定点
.
【
类题通法
】
【
对点训练
】
题型四、圆锥曲线中的存在性问题
1.
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种
.
若探究条件
,
则可先假设条件成立
,
再验证结论是否成立
,
成立则存在
,
不成立则不存在;若探究结论
,
则应先求出结论的表达式
,
再针对其表达式进行讨论
,
往往涉及对参数的讨论
.
2
.
求解步骤:假设满足条件的元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在
,
用待定系数法设出
,
列出关于待定系数的方程组
,若方程组有实数解,则元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在,否则,元素
(
点、直线、曲线或参数
)
不存在
.
【
类题通法
】
【
对点训练
】
【
解析
】(1)
∵
直线
2
x
-
y
+
2
=
0
与
y
轴的交点为
(0
,
2)
,
∴
F
(0
,
2)
,则抛物线
C
的方程为
x
2
=
8
y
,准线
l
:
y
=-
2.
设过
D
作
DG
⊥
l
于
G
,则
|
DF
|
+
|
DE
|
=
|
DG
|
+
|
DE
|
,
当
E
,
D
,
G
三点共线时,
|
DF
|
+
|
DE
|
取最小值
2
+
3
=
5.
(2)
假设存在,抛物线
x
2
=
2
py
与直线
y
=
2
x
+
2
联立方程组得:
x
2
-
4
px
-
4
p
=
0
,
设
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
,
Δ
=
(4
p
)
2
+
16
p
=
16(
p
2
+
p
)>0
,则
x
1
+
x
2
=
4
p
,
x
1
x
2
=-
4
p
,
∴
Q
(2
p
,
2
p
).
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