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  • 2021-06-16 发布

高中数学讲义微专题16 含参数函数的单调区间

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- 1 - 微专题 16 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中,所给函数往往是一个含参数的函数,且导函数含有参数,在分 析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧,便于更加 快速准确的分析含参数函数的单调区间。 一、基础知识: 1、导数解单调区间的步骤:利用导数求函数单调区间的方法,大致步骤可应用到解含参函数 的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令 解不等式→得到递增区间后取定义域 的补集(减区间)→单调性列出表格 2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式,而定义域对 的限制有时会简化含参不等 式的求解 3、求单调区间首先确定定义域,并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉,以简化 讨论的不等式 4、关于分类讨论的时机与分界点的确定 (1)分类时机:并不是所有含参问题均需要分类讨论,例如解不等式: ,其解集为 ,中间并没有进行分类讨论。思考:为什么?因为无论参数 为何值,均是将 移到 不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论,再例如解不等式 ,第一步移项得: (同样无论 为何值,均是这样变形),但是第二步不等式两边开方时发现 的不同取值会导 致不同结果,显然 是负数时,不等式恒成立,而 是正数时,需要开方进一步求解集,分类 讨论由此开始。体会:什么时候开始分类讨论?简而言之,当参数的不同取值对下一步的影 响不相同时,就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的, 而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果,就自然的进行分类讨论。(2)分界点的 确定:分类讨论一定是按参数的符号分类么?不一定。要想找好分界点,首先要明确参数在 问题中所扮演的角色。例如上面的不等式 , 所扮演的角色是被开方数,故能否开方 是进行下一步的关键,那自然想到按 的符号进行分类讨论。 (3)当参数取值为一个特定值时,可将其代入条件进行求解 (4)当参数 扮演多个角色时,则以其中一个为目标进行分类,在每一大类下再考虑其他角 色的情况以及是否要进行进一步的分类。  ' 0f x  x 0x a   ,a  a a 2 0x a  2x a a a a a 2x a a a a - 2 - 例如:解不等式: ,可得: 此时 扮演两个角 色,一个是 的系数,将决定解集是小大根之外还是小大根之间,另一个角色是决定 的大 小,进而要和 来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标,例如以 系数的 正负,进行分类。 ①当 时,此时不等式的解集为小大根之间,而由于 ,以此为前提 , 故小大根不存在问题,解集为 ②当 时,不等式变为 ③当 时,不等式解集为小大根之外,而 , 的大小由 的取值决 定,所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。(重视①③的对比) 时,不等式解集为 时,不等式化为 时,不等式解集为 希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界,若能领悟,其分类讨论不再是一个难点,而 是有线索可循了。 二、典型例题: 例 1:已知函数 ,求 的单调区间 解:定义域 令 ,所解不等式为 当 时,即解不等式 的单调区间为:   1 1 0ax x    1 2 1 0 , 1x a xa   a x 1x 2x x 0a  0a  1 20 1x x   1 ,1a     0a     1 0 ,1x x      0a  1 2 1 0, 1x xa   1 2,x x a 1 2 0 1x x a      1,1 ,a      1 2 1x x a    21 0 1x x    1 2 1x x a    1, 1,a         1 lnxf x xax    f x  0,x    1 1 1 lnf x xa x        ' 2 2 1 1 1axf x ax x ax       ' 0f x  1 0ax a   0a  11 0ax x a     f x - 3 - 当 时, 恒成立 为增函数: 例 2:已知函数 (1)若 的图像在 处的切线与直线 垂直,求实数 的值 (2)求函数 的单调区间 解:(1)由切线与 垂直可得: (2)思路:导函数 ,令 解单调增区间,得到含参不等式。分类 讨论时注意 扮演两个角色:一个是影响最高次项的符号,一个是影响方程的根 解: 令 即 ① (将 的范围分类后,要善于把每一类的范围作为已知条使用 件,在本题中使用 的条件使得 大小能够确定下来,避免了进一步的分类) 的单调区间为: ② 的单调区间为: x 10, a      1 ,a      'f x  +  f x   0a  1 0, 0ax a    ' 0f x   f x   3 2 33 1f x ax x a     f x 1x   1 13y x   a  f x 1 13y x    ' 1 3f    ' 23 6f x ax x   ' 1 3 6 3 1f a a         ' 23 6f x ax x   ' 0f x  a  ' 23 6f x ax x   ' 0f x  23 6 0ax x   3 2 0x ax   0a  1 2 20,x x a  2 1x x  a 0a  1 2,x x  f x x  ,0 20, a     2 ,a      'f x +    f x    0a  2 1x x   f x - 4 - 例 3:已知函数 ,求 的单调区间 解:定义域: ,令 ,可得: 即 当 时, 的单调区间为: 当 时, 为增函数 当 时, 恒成立 为增函数 例 4:讨论函数 的单调区间 解: 令 即 (注意定义域为 ,所以导函数分母恒正,去掉后简 化所解不等式) ① 时 (求解 需要除以 后开方,进而两个地方均需要分类讨论,先从 的 x 2, a     2 ,0a      0,  'f x +    f x      22lnf x x ax   f x  0,x    2 ' 2 2 22 axf x axx x     ' 0f x  22 2 0ax  2 1ax  0a  2 1 0, ax xa a         f x x 0, a a       ,a a       'f x    f x   0a    2lnf x x 0a    2 ' 2 2 22 0axf x axx x      f x     21 ln 1f x a x ax      2 ' 1 2 12a ax af x axx x       ' 0f x   2 22 1 0 2 1ax a ax a        0,+ 0a  2 1 2 ax a   x 2a 2a - 5 - 符号入手) 恒成立, 在 单调递增 ② 函数 为增函数 ③ 时 (下一步为开方出解集,按 的符号进行再分类) 当 即 时, 恒成立, 在 单调递减 当 即 时,解得: 的单调区间为: 小炼有话说:本题定义域为 ,故对单调区间既有促进作用又有制约作用:促进作用体 现在对所解不等式的简化,请大家养成一个良好习惯,当已知变量范围时,一边关注范围一 边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集,所以在 时,表格中自 变量的区间是从 处开始分析的 例 5:已知函数 ,讨论 的单调性 解:定义域为 令 即 考虑 (左边无法直接因式分解,考虑二次函数是否与 轴有交点) ① 时 恒成立,故 在 单调递增 ② 时 的解 10 02 aa a     ' 0f x   f x  0, 0a    ln 1f x x  0a  2 1 2 ax a   1 2 a a  1 02 a a   1a    ' 0f x   f x  0, 1 02 a a   1 0a   10 2 ax a     f x x 10, 2 a a      1,2 a a        'f x +   f x    0, 1 0a   0x     2 2 lnf x x a xx     f x  0,   2 ' 2 2 2 21 a x axf x x x x       ' 0f x  2 2 0x ax   2 8a   x 0 2 2 2 2a      2 2 0x ax    f x  0, 2 2a  2 2 0x ax   2 2 1 2 8 8,2 2 a a a ax x     1 2, 0x x  - 6 - 的解集为 的单调区间为: ③ 时 在 单调递增 小炼有话说:本题亮点在于②③的讨论,判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除 了解出根来判断符号之外,本题还可以利用韦达定理进行判断。 ,说明两根同号, 而 ,说明 的符号决定 的正负,从而在 的情况下进行再次分类讨论 例 6:已知函数 ,其中 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; ( 2) 求 的 单 调 区 间 . 解:(1) 切线方程为: ,即 (2) , 令 ,即解不等式: ① 当 时,解得: ,故 的单调区间为:  2 2 0x ax   2 28 80, ,2 2 a a a a                   f x x 2 80, 2 a a      2 28 8,2 2 a a a a        2 8 ,2 a a        'f x +    f x    2 2a   1 2, 0x x   0,x    ' 0f x   f x  0, 1 2 2x x  1 2x x a  a 1 2,x x 0    1ax af x e ax       1a   1a   y f x   1, 1f  f x   1 2xf x e x       ' 2 1 12xf x e x x          '1 3 , 1 2f e f e    3 2 1y e e x   2y ex e       ' 2 1 1 1 , 0ax x a xf x ae xx        ' 0f x     1 1 1 0a x a x      1a   1x    f x x  , 1   1,0  0,  'f x   + - 7 - ② 当 时 ,所以解得: 故 的单调区间为: ③ ,则 ,常值函数不具备单调性 ④ 时,解得: 或 故 的单调区间为: 例 7:已知函数 .求函数 的单调区间. 解: 令 ,即 , (参数 角色:① 的大小,② 是否在定义域内,以①为目标分类) ① 即 (此时 一定在定义域中,故不再分类) 不等式的解集为 或 的单调区间为: ↗ ↘ ↗  f x    1 0a   1 2 11, 01x x a    11 1x a     f x x  , 1   1,0 10, 1a     1 ,1a      'f x   +   f x     0a    1f x  0a  1x   1 1x a   f x x  , 1   1,0 10, 1a     1 ,1a      'f x    +  f x         21 ln 12f x x ax a x a R      f x      2 ' 1 1 1 1 1 x a x x x aaf x x a x x x             ' 0f x   1 0x x a    1 20, 1x x a    a 1 2,x x 2x  2 1 1 0x x a     1a    1a  1 0x    1x a    f x x  1,0   0, 1a    1 ,a    'f x     f x - 8 - ② 在 单调递增 ③ ,要根据 是否在 进行进一步分类 当 时, 不等式的解集为 或 的单调区间为: 当 时,则 ,不等式的解集为 , 的单调区间为: 小炼有话说: (1)在求单调区间时面临一个 的根是否在定义域中的问题,由此也可体会到定义 域对单调区间“双刃剑”的作用,一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简,另一 方面也圈住了单调区间,极值点所在的范围。 (2)体会参数起到多重作用时,是如何进行分类讨论的,以及在某个大前提下,参数讨论也 可进行些简化。 例 8:已知函数 ,求 的单调区间 解:定义域 令 ,即解不等式 ↗ ↘ ↗ ↘ ↗ 2 1 1x x a     ' 2 0f x x   f x  1,  2 1 0 1x x a     2x  1,0 1 0a    2 0,1x  0x   1 1x a      f x 0a  1 0x a   0x   f x  ' 0f x     2ln 2f x x ax a x     f x  | 0x x          2 ' 2 2 1 2 1 11 2 2 ax a x x axf x ax a xx x x              ' 0f x    2 1 1 0x ax   x   1, 1a     1 ,0a   0,  'f x     f x x  1,0  0,+  'f x    f x - 9 - (1)当 时,可得 ,则不等式的解为 的单调区间为: (2)当 时, ① 时,即 ,解得 或 的单调区间为: ② ,代入到 恒成立 为增函数 ③ ,解得: 或 的单调区间为: 例 9:设函数 ,求 的单调区间; 解: ,令 即 0a  1 0ax   1 2x   f x x 10, 2      1 ,2      'f x +   f x   0a  1 2 1 1,2x x a   1 2x x 1 1 22 aa     1 2x  10 x a    f x x 10, a     1 1, 2a     1 ,2      'f x     f x    1 2 2x x a       2 ' 2 1 0xf x x    f x 1 2 2 0x x a     1x a  10 2x   f x x 10, 2      1 1,2 a     1 ,a       'f x     f x       3 21 2 1 2 , 03f x ax ax a x a      f x  ' 2 4 1 2f x ax ax a     ' 0f x  2 4 1 2 0ax ax a       2 216 4 1 2 24 4 4 6 1a a a a a a a        - 10 - (1) 则 恒成立 在 上单调递增 (2) 或 ① 当 时,解得 , 单调区间为: ② 当 时,解得: 或 单调区间为: 例 10:已知函数 ,其中 ,试讨论 的单调性 思路: ,可令 ,则需解不等式 ,由于 的奇偶不同会导致解集不同,所以可对 分奇偶讨论 解: 令 解得 当 为奇数时, 为偶数,可解得: 的单调区间为: 10 0 6a      ' 0f x   f x R 0 0a    1 6a  2 24 24 4 622 a a a a ax a a        0a  2 26 62 2a a a axa a         f x x 26, 2 a a a        2 26 62 , 2a a a a a a          262 ,a a a         'f x     f x    1 6a  262 a ax a    262 a ax a     f x x 26, 2 a a a        2 26 62 , 2a a a a a a          262 ,a a a         'f x     f x      ,nf x nx x x R   , 2n N n   f x    ' 1 11n nf x n nx n x      ' 0f x  1 1nx   1n  n    ' 1 11n nf x n nx n x      ' 0f x  1 1nx   n 1n  1 1x    f x x  , 1   1,1  1,  'f x    - 11 - 当 为偶数时, 为奇数,可解得: 的单调区间为:  f x    n 1n  1x   f x x  ,1  1,  'f x    f x  

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