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- 2021-06-16 发布
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167
条件结构
8.(2015河南开封二模,文8,条件结构,选择题)给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:当x≤2时,由x2=x,得x=0,1,满足条件;
当25时,由1x=x,得x=±1,不满足条件,
故这样的x值有3个.
答案:C
168
循环结构
6.(2015辽宁锦州二模,文6,循环结构,选择题)若如图所示的程序框图输出的S是30,则在判断框中M表示的“条件”应该是( )
A.n≥3? B.n≥4?
C.n≥5? D.n≥6?
解析:由程序框图知:第一次运行n=1,S=2;
第二次运行n=2,S=2+22=6;
第三次运行n=3,S=2+22+23=14;
第四次运行n=4,S=2+22+23+24=30,
∵输出S=30,∴条件应是n≥4?.
答案:B
7.(2015辽宁锦州一模,文7,循环结构,选择题)执行下面的程序框图,若p=0.8,则输出的n=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:如果输入的p=0.8,由循环变量n初值为1,那么:
经过第一次循环得到S=12,n=2,满足S<0.8,继续循环,
经过第二次循环得到S=12+14=0.75<0.8,n=3,
第三次循环,S=0.75+0.125=0.875,此时不满足S<0.8,n=4,退出循环,
此时输出n=4.
答案:C
8.(2015辽宁沈阳一模,文8,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:第一次运行:满足条件,S=1,k=1;
第二次运行:满足条件,S=3,k=2;
第三次运行:满足条件,S=11<100,k=3;满足判断框的条件,继续运行,
第四次运行:S=1+2+8+211>100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环.
故最后输出k的值为4.
答案:A
13.(2015河南洛阳一模,文13,循环结构,填空题)执行如图的程序,则输出的结果等于 .
解析:执行程序框图,有i=1,S=0,
第1次执行循环,有S=1,有i=3,
第2次执行循环,S=1+3=4,有i=5,
第3次执行循环,S=4+5=9,有i=7,
第4次执行循环,S=9+7=16,
…
有i=99,
第50次执行循环,S=1+3+5+7+…+99=12×(1+99)×50=2 500,
此时有i=101≥100,满足条件退出循环,输出S的值.
答案:2 500
6.(2015辽宁大连一模,文6,循环结构,选择题)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S为1112,则判断框中填写的内容可以是( )
A.n=6 B.n<6
C.n≤6 D.n≤8
解析:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2,
满足条件,S=12,n=4,
满足条件,S=12+14=34,n=6,
满足条件,S=12+14+16=1112,n=8,
由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为1112,
故判断框中填写的内容可以是n≤6.
答案:C
9.(2015宁夏银川一中二模,文9,循环结构,选择题)运行如图所示的程序框图,则输出的结果S为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析:框图首先给循环变量n赋值1,给累加变量S赋值0.执行S=0+cosπ3=12;
判断1<2 013,执行n=1+1=2,S=12+cos2π3=12-12=0;
判断2<2 013,执行n=2+1=3,S=0+cos3π3=-1;
判断3<2 013,执行n=3+1=4,S=-1+cos4π3=-1-12=-32;
判断4<2 013,执行n=4+1=5,S=-32+cos5π3=-32+12=-1;
判断5<2 013,执行n=5+1=6,S=-1+cos6π3=-1+1=0;
判断6<2 013,执行n=6+1=7,S=0+cos7π3=12;
…
由此看出,算法在执行过程中,S的值以6为周期出现,而判断框中的条件是n<2 013,当n=2 012时满足判断框中的条件,此时n=2 012+1=2 013.
所以程序共执行了335个周期又3次,所以输出的S值应是-1.
答案:A
5.(2015河南六市联考一模,文5,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x值是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
解析:执行程序框图,可得k=1,S=1,
满足条件S<100,S=4,k=2;
满足条件S<100,S=22,k=3;
满足条件S<100,S=103,k=4;
不满足条件S<100,退出循环,x=8,输出x的值为8.
答案:D
3.(2015天津河北区一模,文3,循环结构,选择题)若某程序框图如图所示,则输出的p的值是( )
A.22 B.27 C.31 D.56
解析:第一次运行得:n=0,p=1,不满足p>20,则继续运行,
第二次运行得:n=-1,p=2,不满足p>20,则继续运行,
第三次运行得:n=-2,p=6,不满足p>20,则继续运行,
第四次运行得:n=-3,p=15,不满足p>20,则继续运行,
第五次运行得:n=-4,p=31,满足p>20,则停止运行,
输出p=31.
答案:C
6.(2015河南商丘一模,文6,循环结构,选择题)如图所示程序框图表示的程序所输出的结果是( )
A.1 320 B.132 C.11 880 D.121
解析:经第一次循环结果是s=1×12,i=11,
经第二次循环结果是s=12×11,i=10,
再进行第三次循环,结果是s=12×11×10=1 320,i=9,
不满足判断框的条件,结束循环,输出1 320.
答案:A
9.(2015河南中原名校联盟模拟,文9,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出S的值等于( )
A.122 014 B.122 015 C.122 016 D.122 017
解析:模拟执行程序框图,可得
第1次运行,S=12,a=2,
第2次运行,S=122,a=3,
第3次运行,S=123,a=4,
第4次运行,S=124,a=5,
…
第2 015次运行,S=122 015,a=2 016,
刚好满足条件a>2 015,则退出循环,输出S的值为122 015.
答案:B
172
复数的有关概念
2.(2015河南开封二模,文2,复数的有关概念,选择题)已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:当a=1时,复数z=(a2-1)+(a-2)i=-i,是一个纯虚数.
当复数z=(a2-1)+(a-2)i是一个纯虚数时,a2-1=0且a-2≠0,a=±1,故不能推出a=1.
故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件,故选A.
答案:A
3.(2015河南郑州一模,文3,复数的有关概念,选择题)设i是虚数单位,若复数m+103+i(m∈R)是纯虚数,则m的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:∵m+103+i=m+10(3-i)(3+i)(3-i)=m+3-i为纯虚数,∴m+3=0,即m=-3.
答案:A
173
复数的几何意义
2.(2015辽宁锦州一模,文2,复数的几何意义,选择题)复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,∴z=(1+i)2-1+i=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2-2i2=1-i,故复数z对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限.
答案:D
2.(2015宁夏银川一中一模,文2,复数的几何意义,选择题)复数2i2-i所对应的点位于复平面内( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-2+4i5=-25+45i.
∴复数2i2-i所对应的点-25,45在第二象限.
答案:B
174
复数的代数运算
2.(2015河南商丘二模,文2,复数的代数运算,选择题)已知1+2i2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=( )
A.-7 B.7 C.-4 D.4
解析:1+2i2=1+4i+4i2=-3+4ii2=-3-4i=a+bi,
∴a=-3,b=-4.∴a+b=-7.
答案:A
2.(2015河南洛阳一模,文2,复数的代数运算,选择题)设i为虚数单位,复数z1=3-ai,z2=1+2i,若z1z2是纯虚数,则实数a的值为( )
A.-32 B.32 C.-6 D.6
解析:∵z1=3-ai,z2=1+2i,
由z1z2=3-ai1+2i=(3-ai)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=3-2a5-6+a5i是纯虚数,得3-2a=0,6+a≠0,解得a=32.
答案:B
2.(2015辽宁鞍山一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数1-2+i的虚部是( )
A.-15i B.-15 C.15i D.15
解析:∵1-2+i=-2-i(-2+i)(-2-i)=-25-i5,
∴复数1-2+i的虚部是-15.
答案:B
2.(2015辽宁大连一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z=1+i(i是虚数单位),则2z=( )
A.1-i B.1+i
C.-1-i D.-1+i
解析:2z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.
答案:A
2.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数2+i1-2i=( )
A.i B.-i
C.2(2+i) D.1+i
解析:2+i1-2i=(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=i.
答案:A
2.(2015辽宁锦州二模,文2,复数的代数运算,选择题)复数z满足z·(1+2i)=4+3i,则z等于( )
A.2-i B.2+i
C.1+2i D.1-2i
解析:∵z·(1+2i)=4+3i,
∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i,
∴z=2+i.
答案:B
2.(2015辽宁沈阳一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )
A.-1+i B.-1-i
C.1+i D.1-i
解析:∵复数z满足z(1-i)=2i,
∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i.
答案:A
2.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文2,复数的代数运算,选择题)如果复数2-bi1+i(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:2-bi1+i=(2-bi)(1-i)(1+i)(1-i)=2-b-(2+b)i2=2-b2-2+b2i,由2-b2-2+b2=0,解得b=0.
答案:A
1.(2015河南洛阳二模,文1,复数的代数运算,选择题)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则复数z的实部与虚部之和为( )
A.0 B.1 C.22 D.4
解析:由zi=1+i,
得z=1+ii=(1+i)(-i)-i2=1-i,
∴复数z的实部与虚部分别为1和-1,和为0.
答案:A
2.(2015河南商丘一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z满足(1-i)z=2i,则z的共轭复数z=( )
A.-1+i B.-1-i
C.1+i D.1-i
解析:由(1-i)z=2i,
得z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i(1+i)2=-1+i,
∴z=-1-i.
答案:B
2.(2015辽宁丹东二模,文2,复数的代数运算,选择题)若复数m+i2-i为纯虚数,则实数m=( )
A.2 B.-2 C.12 D.-12
解析:复数m+i2-i=(m+i)(2+i)(2-i)(2+i)=2m-1+(m+2)i5,
复数m+i2-i为纯虚数,可得2m-1=0,解得m=12.
答案:C
2.(2015河南中原名校联盟模拟,文2,复数的代数运算,选择题)已知i是虚数单位,z是z=1+i的共轭复数,则zz2在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵z=1+i,z=1-i,z2=(1+i)2=2i,
∴zz2=1-i2i=-i(1-i)-i·2i=-1-i2,在复平面内对应的点-12,-12在第三象限.
答案:C
178
圆周角、弦切角及圆的切线
22.(10分)(2015辽宁锦州二模,文22,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题)如图,圆M与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10.
(1)求AB的长;
(2)求CFDE.
解:(1)根据弦切角定理,知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA,则ABDB=BCBA.
故AB2=BC·BD=50,AB=52.
(2)根据切割线定理,知CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,两式相除,得CA2DA2=CBDB·CFDE.(*)
由△ABC∽△DBA,
得ACDA=ABDB=5210=22,CA2DA2=12,
又CBDB=510=12,由(*)得CFDE=1.
179
圆内接四边形的判定及性质及圆的切线的性质与判定
22.(10分)(2015宁夏银川一中二模,文22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)求BC的长.
(1)证明:连接OC,
因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.
因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD.
又因为AD⊥CD,所以OC∥AD.
所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD.
所以AC平分∠BAD.
(2)解:由(1)知BC=CE,所以BC=CE.
连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,
所以cos B=cos∠CED.
所以DECE=CBAB,所以BC=2.
22.(10分)(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.
(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.
证明:(1)连接BE,OE,
∵AB是直径,∴∠AEB=90°.
∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,
∴△AEB∽△ABC,∴∠ABE=∠C.
∵BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC.
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB.
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°.
∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.
(2)∵O,D分别为AB,BC的中点,
∴DM=OD-OM=12(AC-AB),
∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)
=12(AC-AB)·(AC+AB)
=12(AC2-AB2)=12BC2=DE·BC.
∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.
180
与圆有关的比例线段
22.(10分)(2015辽宁沈阳一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,已知AB是圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
(1)求证:C是劣弧BD的中点;
(2)求证:BF=FG.
证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.
∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=π2.
∵CE⊥AB,∴∠CEA=π2.
∵∠CBA=π2-∠CAB,∠ACE=π2-∠CAB,
∴∠CBA=∠ACE.
∵∠CGF=∠DGA,∴∠DGA=∠ABC.
∴π2-∠DGA=π2-∠ABC,∴∠CAB=∠DAC.
∴C为劣弧BD的中点.
(2)∵∠GBC=π2-∠CGB,∠FCB=π2-∠GCF,
∴∠GBC=∠FCB,∴CF=FB.
同理可证:CF=GF,∴BF=FG.
22.(10分)(2015辽宁重点中学协作体模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,已知AB为☉O的直径,CE⊥AB于点H,与☉O交于点C,D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与☉O切于点F,BF与HD交于点G.
(1)证明:EF=EG;
(2)求GH的长.
(1)证明:连接AF,OE,OF,则A,F,G,H四点共圆,
由EF是切线知OF⊥EF,∠BAF=∠EFG,
∵CE⊥AB于点H,AF⊥BF,∴∠FGE=∠BAF.
∴∠FGE=∠EFG,∴EF=EG.
(2)解:∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2,
∴EF2=OH2+HE2-OF2=48.
∴EF=EG=43,∴GH=EH-EG=8-43.
22.(10分)(2015河南洛阳二模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,☉O1与☉O2相交于A,B两点,点P在线段BA延长线上,T是☉O2上一点,PT⊥O2T,过P的直线交☉O1于C,D两点.
(1)求证:PTPC=PDPT;
(2)若☉O1与☉O2的半径分别为4,3,其圆心距O1O2=5,PT=2425,求PA的长.
(1)证明:∵PT⊥O2T,∴PT是☉O2的切线.
∴PT2=PA·PB.
∵过点P的直线交☉O1于C,D两点,
∴PC·PD=PA·PB.
∴PT2=PC·PD,∴PTPC=PDPT.
(2)解:连接O1A,O2A,
∵☉O1与☉O2的半径分别为4,3,其圆心距O1O2=5,
∴O1O22=O1A2+O2A2.
∴∠O1AO2=90°.
设Rt△O1AO2斜边上的高为h,则h=3×45=125,AB=2h=245,
∵PT2=PA·PB,PT=2425,
∴PAPA+245=24252.
∴PA=245.
22.(10分)(2015河南郑州一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直于EP,垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,AB=5,求弦DE的长.
(1)证明:∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,
又∵∠EGA=∠PGD,∴∠EGA=∠DBA.
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD.
从而∠PFA=∠BDA.
又AF⊥EP,∴∠PFA=90°,则∠BDA=90°,
故AB为圆的直径.
(2)解:连接BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,
于是∠DAB=∠CBA.
又∵∠DCB=∠DAB,
∴∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∠DCE为直角.
∴ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,
∴DE=AB=5.
22.(10分)(2015辽宁鞍山一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M,T(不与A,B重合),连接MC,MB,OT.
(1)求证:M,T,C,O四点共圆;
(2)求证:MD=2MC.
证明:(1)因为MD与圆O相交于点T,设DN与圆O相切于点N,
由切割线定理DN2=DT·DM,DN2=DB·DA,
得DT·DM=DB·DA,设半径OB=r(r>0),
因为BD=OB,且BC=OC=r2,
则DB·DA=r·3r=3r2,DO·DC=2r·3r2=3r2,
所以DT·DM=DO·DC.
所以M,T,C,O四点共圆.
(2)由(1)可知M,T,C,O四点共圆,
所以∠DMC=∠DOT.
因为∠DMB=12∠TOD,所以∠DMB=∠CMB.
所以MB是∠DMC的平分线,
所以MDMC=DBBC=2,所以MD=2MC.
22.(10分)(2015河南六市联考一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知PA与☉O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CD∥AP,AD,BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.
(1)求证:CE·EB=EF·EP;
(2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的长.
(1)证明:∵DE2=EF·EC,∠DEF=∠CED,
∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.
又∵弦CD∥AP,∴∠P=∠C.
∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA.
∴△EDF∽△EPA.
∴EAEF=EPED,∴EA·ED=EF·EP.
又∵EA·ED=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.
(2)解:∵DE2=EF·EC,DE=3,EF=2.
∴32=2EC,∴CE=92.
∵CE∶BE=3∶2,∴BE=3.
由(1)可知,CE·EB=EF·EP,
∴92×3=2EP,解得EP=274.
∴BP=EP-EB=274-3=154.
∵PA是☉O的切线,∴PA2=PB·PC.
∴PA2=154×274+92,解得PA=1534.
22.(10分)(2015河南开封定位模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,AB为☉O的直径,点D是☉O上的一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于F.GD是☉O的切线,且与EC的延长线相交于点G,连接AD,交CE于点P.
(1)证明:△ACD∽△APC;
(2)若GD=2+1,GC=1,求PE的长.
(1)证明:∵AB为☉O的直径,CE⊥AB,∴AC=AE.
∵点C是弧AD的中点,∴AC=CD=AE.
∴∠ACE=∠ADC,∵∠CAP为公共角.
∴△ACD∽△APC.
(2)解:连接DE,
∵GD是☉O的切线,∴∠GDC=∠CED.
∵AC=CD=AE,∴∠GED=∠ADE=∠CDA.
∴∠GPD=∠GDP,∴GP=GD=2+1.
∵GD2=GC·GE,∴GE=3+22.
∴PE=GE-GP=2+2.
22.(10分)(2015河南商丘一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,四边形ACED是圆内接四边形,延长AD与CE交于点B,且AD=DE,AB=2AC.
(1)求证:BE=2AD;
(2)当AC=2,BC=4时,求AD的长.
(1)证明:∵四边形ACED为圆内接四边形,
∴∠BDE=∠BCA.
又∵∠DBE=∠CBA,∴△BDE∽△BCA.
则ABAC=BEDE.
∵AB=2AC,∴BE=2DE,
结合AD=DE,可得BE=2AD.
(2)解:根据题意,AB=2AC=4,
∵BD·BA=BE·BC,
∴(AB-AD)·BA=2AD·4,
可得(4-AD)·4=2AD·4,解得AD=43.
22.(10分)(2015河南中原名校联盟模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,△ABC的顶点都在圆O上,点P在BC的延长线上,且PA与圆O切于点A.
(1)若∠ACB=70°,求∠BAP的度数;
(2)若ACAB=25,求PCPB的值.
解:(1)∵PA与圆O切于点A,∴∠CAP=∠ABC.
∵∠ACP=∠ABC+∠BAC,
∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP.
∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°.
∵∠ACB=70°,∴∠BAP=110°.
(2)由(1)得∠CAP=∠ABC,
∵∠APC=∠APC,∴△PAC∽△PBA.
∴PCPA=ACAB,∴PA=AB·PCAC.
∴PA2=AB2·PC2AC2.
由切割线定理可得PA2=PB·PC,
∴PB·PC=AB2·PC2AC2,
∴PCPB=AC2AB2=425.
181
极坐标与直角坐标的互化
23.(2015河南六市联考一模,文23,极坐标与直角坐标的互化,解答题)平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x=t,y=3t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsin θ-3=0.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
解:(1)直线l的参数方程是x=t,y=3t(t为参数),化为普通方程得y=3x,
∴在平面直角坐标系中,直线l经过坐标原点,倾斜角是π3,
因此,直线l的极坐标方程是θ=π3(ρ∈R).
(2)把θ=π3代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsin θ-3=0,得ρ2-3ρ-3=0,
∴由一元二次方程根与系数的关系,得ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=-3,
∴|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=15.
23.(2015河南商丘一模,文23,极坐标与直角坐标的互化,解答题)已知直线l经过点P12,1,倾斜角α=π6,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ-π4.
(1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程;
(2)设l与圆C相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.
解:(1)直线l的参数方程为x=12+tcosπ6,y=1+tsinπ6,
即x=12+32t,y=1+12t(t为参数).
由ρ=2cosθ-π4,
得ρ=cos θ+sin θ,
所以ρ2=ρcos θ+ρsin θ.
得x-122+y-122=12.
(2)把x=12+32t,y=1+12t代入x-122+y-122=12,得t2+12t-14=0.
|PA|·|PB|=|t1t2|=14.
182
直角坐标方程与极坐标方程的互化
23.(10分)(2015河南商丘二模,文23,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为ρsinθ-π6=12,曲线C的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数).
(1)写出直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsinθ-π6=12,
∴ρ32sinθ-12cosθ=12.
∴32y-12x=12.∴x-3y+1=0.
(2)根据曲线C的参数方程为x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数),得(x-2)2+y2=4.
它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,
圆心到直线的距离为d=32,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为32+2=72.
183
曲线的极坐标方程的求解
23.(2015辽宁锦州一模,文23,曲线的极坐标方程的求解,解答题)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=π6.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.
解:(1)直线的参数方程为x=1+tcosπ6,y=1+tsinπ6,
即x=1+32t,y=1+12t.
(2)把直线x=1+32t,y=1+12t代入x2+y2=4,
得1+32t2+1+12t2=4,t2+(3+1)t-2=0,t1t2=-2,
则点P到A,B两点的距离之积为2.
185
参数方程与普通方程的互化
23.(2015辽宁锦州二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在极坐标系中,已知圆C的圆心C2,π4,半径r=3.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若α∈0,π4,直线l的参数方程为x=2+tcosα,y=2+tsinα(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.
解:(1)∵C2,π4的直角坐标为(1,1),
∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.
(2)将x=2+tcosα,y=2+tsinα代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,
得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,
即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.
∴t1+t2=-2(cos α+sin α),t1t2=-1.
∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2
=22+sin2α.
∵α∈0,π4,∴2α∈0,π2.
∴22≤|AB|<23,
即弦长|AB|的取值范围是[22,23).
23.(2015辽宁沈阳一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=π6.
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
解:(1)消去θ,得圆的标准方程为x2+y2=16.
直线l的参数方程为x=1+tcosπ6,y=2+tsinπ6,
即x=1+32t,y=2+12t(t为参数).
(2)把直线的方程x=1+32t,y=2+12t代入x2+y2=16,
得1+32t2+2+12t2=16,
即t2+(2+3)t-11=0.
所以t1t2=-11,即|PA|·|PB|=11.
23.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)已知曲线C1的参数方程为x=2+t,y=-1+mt(t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ4sinθ=1.
(1)写出曲线C1,C2的直角坐标方程.
(2)若曲线C1和C2有且只有一个公共点,求实数m的值.
解:(1)曲线C1的参数方程为x=2+t,y=-1+mt(t为参数),转化为直角坐标方程为:y=mx-2m-1.
曲线C2的极坐标方程为ρ4sinθ=1.
转化为直角坐标方程为:x2+y2-4y=0(y≠0).
(2)当曲线C1和C2有且只有一个公共点,
即直线与圆相切时,d=|-2-2m-1|m2+1=2,
∴m=-512.
∴当直线过(0,0)点时,-2m=1,∴m=-12.
综上所述,m=-512或m=-12.
23.(2015河南开封二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为x=1+45t,y=-1-35t(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+π4.
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
解:(1)直线I的参数方程为x=1+45t,y=-1-35t(t为参数),消去t,可得3x+4y+1=0.
由于ρ=2cosθ+π4=222cosθ-22sinθ,
即有ρ2=ρcos θ-ρsin θ,
则有x2+y2-x+y=0,其圆心为12,-12,半径为r=22,
圆心到直线的距离d=32-2+19+16=110,
故弦长为2r2-d2=212-1100=75.
(2)可设圆的参数方程为x=12+22cosθ,y=-12+22sinθ(θ为参数),则设M12+22cosθ,-12+22sinθ,
则x+y=22cos θ+22sin θ=sinθ+π4,
由于θ∈R,则x+y的最大值为1.
23.(2015河南郑州一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=22cosθ+π4,直线l的参数方程为x=t,y=-1+22t(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
解:(1)由圆C的极坐标方程为ρ=22cosθ+π4,
化为ρ2=2222ρcosθ-22ρsinθ,
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得,圆C的普通方程为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
∴圆心坐标为(1,-1).
∴圆心极坐标为2,7π4.
(2)由直线l的参数方程x=t,y=-1+22t(t为参数),把t=x代入y=-1+22t可得直线l的普通方程为22x-y-1=0,
∴圆心到直线l的距离d=|22+1-1|3=223.
∴|AB|=2r2-d2=22-89=2103,
点P到直线AB距离的最大值为r+d=2+223=523,Smax=12×2103×523=1059.
23.(2015辽宁大连一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3+2cosθ,y=-4+2sinθ(θ为参数).
(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.
解:(1)圆C的参数方程为x=3+2cosθ,y=-4+2sinθ(θ为参数),
所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,
x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,
化简可得,圆C的极坐标方程:ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.
(2)点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=|2cosθ-2sinθ+9|2,
△ABM的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=22sinπ4-θ+9,
所以△ABM面积的最大值为9+22.
23.(2015宁夏银川一中二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知C1:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线C2,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(2cos θ+sin θ)=4.
(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;
(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.
解:(1)把C1:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数)消去参数化为普通方程为x2+y2=1,
故曲线C1的极坐标方程为ρ=1.
再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为x22+y22=1,即x22+y24=1.
故曲线C2的参数方程为x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数).
(2)直线l:ρ(2cos θ+sin θ)=4,
即2x+y-4=0,设点P(2cos θ,2sin θ),
则点P到直线l的距离为d=|2cosθ+2sinθ-4|2+1
=22sinθ+π4-23,
故当sinθ+π4=1时,d取得最小值,
此时θ=2kπ+π4,k∈Z,点P(1,2),
故曲线C2上有一点P(1,2)满足到直线l的距离的最小值为433-263.
23.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=32t+m,y=12t(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.
解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,化为ρ2=2ρcos θ,可得直角坐标方程x2+y2=2x.
直线l的参数方程是x=32t+m,y=12t(t为参数),消去参数t可得x=3y+m.
(2)把x=32t+m,y=12t(t为参数)代入方程x2+y2=2x,化为t2+(3m-3)t+m2-2m=0,
由Δ>0,解得-10,∴m=1±2.
186
极坐标方程与参数方程的应用
23.(2015河南开封定位模拟,文23,极坐标方程与参数方程的应用,解答题)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0.
(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;
(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
解:(1)将曲线ρ2-6ρcos θ+5=0化成直角坐标方程,得圆C:x2+y2-6x+5=0,
直线l的参数方程为x=-1+tcosα,y=tsinα(t为参数),
将其代入圆C方程,得(-1+tcos α)2+(tsin α)2-6(-1+tcos α)+5=0,
整理,得t2-8tcos α+12=0.
∵直线l与圆C有公共点,
∴Δ≥0,即64cos2α-48≥0,
可得cos α≤-32或cos α≥32.
由α为直线的倾斜角,得α∈[0,π),
∴α的取值范围为0,π6∪5π6,π.
(2)由圆C:x2+y2-6x+5=0化成参数方程,
得x=3+2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),
∵M(x,y)为曲线C上任意一点,
∴x+y=3+2cos θ+2sin θ=3+22sinθ+π4,
∵sinθ+π4∈[-1,1],
∴22sinθ+π4∈[-22,22],可得x+y的取值范围是[3-22,3+22].
187
含绝对值不等式的解法
24.(2015辽宁锦州二模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)若关于x的不等式g(x)≥0的解集为[-5,-1],求实数m的值;
(2)若f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意可得-|x+3|+m≥0的解集为[-5,-1].
由-|x+3|+m≥0,可得-m-3≤x≤m-3,
∴-m-3=-5,m-3=-1,求得m=2.
(2)由题意可得|x-2|≥-|x+3|+m恒成立,
即m≤|x-2|+|x+3|.
而|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,
∴m≤5.
24.(2015河南开封二模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:f(ab)|a|>fba.
(1)解:f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|
=-3x-2,x<-3,4-x,-3≤x<12,3x+2,x≥12,
当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-103;
当-3≤x<12时,由-x+4≥8,解得x∈⌀;
当x≥12时,由3x+2≥8,解得x≥2.
所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为xx≤-103或x≥2.
(2)证明:f(ab)|a|>fba等价于f(ab)>|a|fba,
即|ab-1|>|a-b|,
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0.
所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立.
24.(2015辽宁大连一模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)若∀x∈R,f(x)≥t2-72t恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)函数f(x)=|2x+2|-|x-2|
=-x-4,x<-1,3x,-1≤x<2,x+4,x≥2,
当x<-1时,不等式-x-4>2,求得x<-6,
∴x<-6.
当-1≤x<2时,不等式3x>2,求得x>23,
∴232,求得x>-2,
∴x≥2.
综上所述,不等式的解集为xx>23或x<-6.
(2)由以上可得f(x)的最小值为f(-1)=-3,
若∀x∈R,f(x)≥t2-72t恒成立,只要-3≥t2-72t,即2t2-7t+6≤0,求得32≤t≤2.
24.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,
即4x2-4x+1>x2+4x+4.
即3x2-8x-3>0,求得它的解集为xx<-13,或x>3.
(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|
=-x+3,x<-2,-3x-1,-2≤x<12,x-3,x>12,
故f(x)的最小值为f12=-52,
根据∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,
可得4m-2m2>-52,即4m2-8m-5<0.
求得-120;
(2)若f(x)+3|x-4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.
解:(1)当x≥4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得x>-5,所以x≥4时,不等式成立.
当-12≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所以10,
得x<-5,所以x<-5成立.
综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.
(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|
≥|2x+1-(2x-8)|=9,
当-12≤x≤4时等号成立,
所以f(x)+3|x-4|的最小值为9,故m<9.
24.(2015河南郑州一模,文24,含绝对值不等式的问题,解答题)已知函数f(x)=m-|x-1|-2|x+1|.
(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=5时,f(x)=3x+6,x<-1,-x+2,-1≤x≤1,4-3x,x>1,
由f(x)>2可得x<-1,3x+6>2,①或-1≤x≤1,-x+2>2,②或x>1,4-3x>2.③
解①得-432的解集为x∈-43,0.
(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1取得最小值2,
因为f(x)=3x+1+m,x<-1,-x-3+m,-1≤x≤1,-3x+m-1,x>1,在x=-1处取得最大值m-2,
所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,求得m≥4.
190
不等式的证明
24.(2015河南开封定位模拟,文24,不等式的证明,解答题)已知a,b都是正实数,且a+b=1.
(1)求证:1a+1b≥4;
(2)求a+1a2+b+1b2的最小值.
(1)证明:1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab
≥2+2ba·ab=4.
(2)解:a+1a2+b+1b2≥2×a+1a+b+1b24,
即a+1a2+b+1b2≥1+1ab22,
又∵a+b2≥ab,得00,b>0.
(1)若a+b=2,求11+a+41+b的最小值;
(2)求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
(1)解:由于a+b=2,
则11+a+41+b=1411+a+41+b(1+a+1+b)
=145+1+b1+a+4(1+a)1+b
≥145+21+b1+a·4+4a1+b=94,
等号成立条件为1+b1+a=4(1+a)1+b,
而a+b=2,所以a=13,b=53,
因此当a=13,b=53时,11+a+41+b取得最小值,且为94.
(2)证明:由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2b2a,a2+b2≥2ab,
三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1),
所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
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