• 707.67 KB
  • 2021-06-16 发布

高考文科数学专题复习练习3条件结构

  • 22页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎167‎ 条件结构 ‎8.(2015河南开封二模,文8,条件结构,选择题)给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:当x≤2时,由x2=x,得x=0,1,满足条件;‎ 当25时,由‎1‎x=x,得x=±1,不满足条件,‎ 故这样的x值有3个.‎ 答案:C ‎168‎ 循环结构 ‎6.(2015辽宁锦州二模,文6,循环结构,选择题)若如图所示的程序框图输出的S是30,则在判断框中M表示的“条件”应该是(  )‎ A.n≥3? B.n≥4?‎ C.n≥5? D.n≥6?‎ 解析:由程序框图知:第一次运行n=1,S=2;‎ 第二次运行n=2,S=2+22=6;‎ 第三次运行n=3,S=2+22+23=14;‎ 第四次运行n=4,S=2+22+23+24=30,‎ ‎∵输出S=30,∴条件应是n≥4?.‎ 答案:B ‎7.(2015辽宁锦州一模,文7,循环结构,选择题)执行下面的程序框图,若p=0.8,则输出的n=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析:如果输入的p=0.8,由循环变量n初值为1,那么:‎ 经过第一次循环得到S=‎1‎‎2‎,n=2,满足S<0.8,继续循环,‎ 经过第二次循环得到S=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎=0.75<0.8,n=3,‎ 第三次循环,S=0.75+0.125=0.875,此时不满足S<0.8,n=4,退出循环,‎ 此时输出n=4.‎ 答案:C ‎8.(2015辽宁沈阳一模,文8,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 解析:第一次运行:满足条件,S=1,k=1;‎ 第二次运行:满足条件,S=3,k=2;‎ 第三次运行:满足条件,S=11<100,k=3;满足判断框的条件,继续运行,‎ 第四次运行:S=1+2+8+211>100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环.‎ 故最后输出k的值为4.‎ 答案:A ‎13.(2015河南洛阳一模,文13,循环结构,填空题)执行如图的程序,则输出的结果等于     . ‎ 解析:执行程序框图,有i=1,S=0,‎ 第1次执行循环,有S=1,有i=3,‎ 第2次执行循环,S=1+3=4,有i=5,‎ 第3次执行循环,S=4+5=9,有i=7,‎ 第4次执行循环,S=9+7=16,‎ ‎…‎ 有i=99,‎ 第50次执行循环,S=1+3+5+7+…+99=‎1‎‎2‎×(1+99)×50=2 500,‎ 此时有i=101≥100,满足条件退出循环,输出S的值.‎ 答案:2 500‎ ‎6.(2015辽宁大连一模,文6,循环结构,选择题)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S为‎11‎‎12‎,则判断框中填写的内容可以是(  )‎ A.n=6 B.n<6‎ C.n≤6 D.n≤8‎ 解析:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2,‎ 满足条件,S=‎1‎‎2‎,n=4,‎ 满足条件,S=‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎=‎‎3‎‎4‎,n=6,‎ 满足条件,S=‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎4‎+‎1‎‎6‎=‎‎11‎‎12‎,n=8,‎ 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为‎11‎‎12‎,‎ 故判断框中填写的内容可以是n≤6.‎ 答案:C ‎9.(2015宁夏银川一中二模,文9,循环结构,选择题)运行如图所示的程序框图,则输出的结果S为(  )‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ 解析:框图首先给循环变量n赋值1,给累加变量S赋值0.执行S=0+cosπ‎3‎‎=‎‎1‎‎2‎;‎ 判断1<2 013,执行n=1+1=2,S=‎1‎‎2‎+cos‎2π‎3‎‎=‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎=0;‎ 判断2<2 013,执行n=2+1=3,S=0+cos‎3π‎3‎=-1;‎ 判断3<2 013,执行n=3+1=4,S=-1+cos‎4π‎3‎=-1-‎1‎‎2‎=-‎3‎‎2‎;‎ 判断4<2 013,执行n=4+1=5,S=-‎3‎‎2‎+cos‎5π‎3‎=-‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=-1;‎ 判断5<2 013,执行n=5+1=6,S=-1+cos‎6π‎3‎=-1+1=0;‎ 判断6<2 013,执行n=6+1=7,S=0+cos‎7π‎3‎‎=‎‎1‎‎2‎;‎ ‎…‎ 由此看出,算法在执行过程中,S的值以6为周期出现,而判断框中的条件是n<2 013,当n=2 012时满足判断框中的条件,此时n=2 012+1=2 013.‎ 所以程序共执行了335个周期又3次,所以输出的S值应是-1.‎ 答案:A ‎5.(2015河南六市联考一模,文5,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x值是(  )‎ A.3 B.4 C.6 D.8‎ 解析:执行程序框图,可得k=1,S=1,‎ 满足条件S<100,S=4,k=2;‎ 满足条件S<100,S=22,k=3;‎ 满足条件S<100,S=103,k=4;‎ 不满足条件S<100,退出循环,x=8,输出x的值为8.‎ 答案:D ‎3.(2015天津河北区一模,文3,循环结构,选择题)若某程序框图如图所示,则输出的p的值是(  )‎ A.22 B.27 C.31 D.56‎ 解析:第一次运行得:n=0,p=1,不满足p>20,则继续运行,‎ 第二次运行得:n=-1,p=2,不满足p>20,则继续运行,‎ 第三次运行得:n=-2,p=6,不满足p>20,则继续运行,‎ 第四次运行得:n=-3,p=15,不满足p>20,则继续运行,‎ 第五次运行得:n=-4,p=31,满足p>20,则停止运行,‎ 输出p=31.‎ 答案:C ‎6.(2015河南商丘一模,文6,循环结构,选择题)如图所示程序框图表示的程序所输出的结果是(  )‎ A.1 320 B.132 C.11 880 D.121‎ 解析:经第一次循环结果是s=1×12,i=11,‎ 经第二次循环结果是s=12×11,i=10,‎ 再进行第三次循环,结果是s=12×11×10=1 320,i=9,‎ 不满足判断框的条件,结束循环,输出1 320.‎ 答案:A ‎9.(2015河南中原名校联盟模拟,文9,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出S的值等于(  )‎ A.‎1‎‎2‎‎2 014‎ B.‎1‎‎2‎‎2 015‎ C.‎1‎‎2‎‎2 016‎ D.‎‎1‎‎2‎‎2 017‎ 解析:模拟执行程序框图,可得 第1次运行,S=‎1‎‎2‎,a=2,‎ 第2次运行,S=‎1‎‎2‎‎2‎,a=3,‎ 第3次运行,S=‎1‎‎2‎‎3‎,a=4,‎ 第4次运行,S=‎1‎‎2‎‎4‎,a=5,‎ ‎…‎ 第2 015次运行,S=‎1‎‎2‎‎2 015‎,a=2 016,‎ 刚好满足条件a>2 015,则退出循环,输出S的值为‎1‎‎2‎‎2 015‎.‎ 答案:B ‎172‎ 复数的有关概念 ‎2.(2015河南开封二模,文2,复数的有关概念,选择题)已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z为纯虚数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当a=1时,复数z=(a2-1)+(a-2)i=-i,是一个纯虚数.‎ 当复数z=(a2-1)+(a-2)i是一个纯虚数时,a2-1=0且a-2≠0,a=±1,故不能推出a=1.‎ 故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件,故选A.‎ 答案:A ‎3.(2015河南郑州一模,文3,复数的有关概念,选择题)设i是虚数单位,若复数m+‎10‎‎3+i(m∈R)是纯虚数,则m的值为(  )‎ A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ 解析:∵m+‎10‎‎3+i=m+‎10(3-i)‎‎(3+i)(3-i)‎=m+3-i为纯虚数,∴m+3=0,即m=-3.‎ 答案:A ‎173‎ 复数的几何意义 ‎2.(2015辽宁锦州一模,文2,复数的几何意义,选择题)复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,∴z=‎(1+i‎)‎‎2‎‎-1+i‎=‎2i‎-1+i=‎2i(-1-i)‎‎(-1+i)(-1-i)‎=‎‎2-2i‎2‎=1-i,故复数z对应点的坐标为(1,-1),位于第四象限.‎ 答案:D ‎2.(2015宁夏银川一中一模,文2,复数的几何意义,选择题)复数‎2i‎2-i所对应的点位于复平面内(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z=‎2i‎2-i‎=‎2i(2+i)‎‎(2-i)(2+i)‎=‎‎-2+4i‎5‎=-‎2‎‎5‎‎+‎‎4‎‎5‎i.‎ ‎∴复数‎2i‎2-i所对应的点‎-‎2‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎在第二象限.‎ 答案:B ‎174‎ 复数的代数运算 ‎2.(2015河南商丘二模,文2,复数的代数运算,选择题)已知‎1+‎‎2‎i‎2‎=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=(  )‎ A.-7 B.7 C.-4 D.4‎ 解析:‎1+‎‎2‎i‎2‎=1+‎4‎i‎+‎‎4‎i‎2‎=-3+‎4ii‎2‎=-3-4i=a+bi,‎ ‎∴a=-3,b=-4.∴a+b=-7.‎ 答案:A ‎2.(2015河南洛阳一模,文2,复数的代数运算,选择题)设i为虚数单位,复数z1=3-ai,z2=1+2i,若z‎1‎z‎2‎是纯虚数,则实数a的值为(  )‎ A.-‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.-6 D.6‎ 解析:∵z1=3-ai,z2=1+2i,‎ 由z‎1‎z‎2‎‎=‎3-ai‎1+2i=‎(3-ai)(1-2i)‎‎(1+2i)(1-2i)‎=‎3-2a‎5‎-‎‎6+a‎5‎i是纯虚数,得‎3-2a=0,‎‎6+a≠0,‎解得a=‎3‎‎2‎.‎ 答案:B ‎2.(2015辽宁鞍山一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数‎1‎‎-2+i的虚部是(  )‎ A.-‎1‎‎5‎i B.-‎1‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎i D.‎‎1‎‎5‎ 解析:∵‎1‎‎-2+i‎=‎‎-2-i‎(-2+i)(-2-i)‎=-‎2‎‎5‎‎-‎i‎5‎,‎ ‎∴复数‎1‎‎-2+i的虚部是-‎1‎‎5‎.‎ 答案:B ‎2.(2015辽宁大连一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z=1+i(i是虚数单位),则‎2‎z=(  )‎ A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 解析:‎2‎z‎=‎2‎‎1+i=‎‎2(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=1-i.‎ 答案:A ‎2.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数‎2‎‎+i‎1-‎2‎i=(  )‎ A.i B.-i C.2(‎2‎+i) D.1+i 解析:‎2‎‎+i‎1-‎2‎i‎=‎‎(‎2‎+i)(1+‎2‎i)‎‎(1-‎2‎i)(1+‎2‎i)‎=i.‎ 答案:A ‎2.(2015辽宁锦州二模,文2,复数的代数运算,选择题)复数z满足z·(1+2i)=4+3i,则z等于(  )‎ A.2-i B.2+i C.1+2i D.1-2i 解析:∵z·(1+2i)=4+3i,‎ ‎∴z‎=‎4+3i‎1+2i=‎(4+3i)(1-2i)‎‎(1+2i)(1-2i)‎=‎‎10-5i‎5‎=2-i,‎ ‎∴z=2+i.‎ 答案:B ‎2.(2015辽宁沈阳一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(  )‎ A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 解析:∵复数z满足z(1-i)=2i,‎ ‎∴z=‎2i‎1-i‎=‎‎2i(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=-1+i.‎ 答案:A ‎2.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文2,复数的代数运算,选择题)如果复数‎2-bi‎1+i(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b的值等于(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析:‎2-bi‎1+i‎=‎(2-bi)(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎=‎2-b-(2+b)i‎2‎=‎2-b‎2‎-‎‎2+b‎2‎i,由‎2-b‎2‎‎-‎‎2+b‎2‎=0,解得b=0.‎ 答案:A ‎1.(2015河南洛阳二模,文1,复数的代数运算,选择题)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则复数z的实部与虚部之和为(  )‎ A.0 B.1 C.2‎2‎ D.4‎ 解析:由zi=1+i,‎ 得z=‎1+ii‎=‎‎(1+i)(-i)‎‎-‎i‎2‎=1-i,‎ ‎∴复数z的实部与虚部分别为1和-1,和为0.‎ 答案:A ‎2.(2015河南商丘一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z满足(1-i)z=2i,则z的共轭复数z=(  )‎ A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 解析:由(1-i)z=2i,‎ 得z=‎2i‎1-i‎=‎2i(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎‎2i(1+i)‎‎2‎=-1+i,‎ ‎∴z=-1-i.‎ 答案:B ‎2.(2015辽宁丹东二模,文2,复数的代数运算,选择题)若复数m+i‎2-i为纯虚数,则实数m=(  )‎ A.2 B.-2 C.‎1‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ 解析:复数m+i‎2-i‎=‎(m+i)(2+i)‎‎(2-i)(2+i)‎=‎‎2m-1+(m+2)i‎5‎,‎ 复数m+i‎2-i为纯虚数,可得2m-1=0,解得m=‎1‎‎2‎.‎ 答案:C ‎2.(2015河南中原名校联盟模拟,文2,复数的代数运算,选择题)已知i是虚数单位,z是z=1+i的共轭复数,则zz‎2‎在复平面内对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵z=1+i,z=1-i,z2=(1+i)2=2i,‎ ‎∴zz‎2‎‎=‎1-i‎2i=‎-i(1-i)‎‎-i·2i=‎‎-1-i‎2‎,在复平面内对应的点‎-‎1‎‎2‎,-‎‎1‎‎2‎在第三象限.‎ 答案:C ‎178‎ 圆周角、弦切角及圆的切线 ‎22.(10分)(2015辽宁锦州二模,文22,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题)如图,圆M与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10.‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求CFDE.‎ 解:(1)根据弦切角定理,知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA,则ABDB‎=‎BCBA.‎ 故AB2=BC·BD=50,AB=5‎2‎.‎ ‎(2)根据切割线定理,知CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,两式相除,得CA‎2‎DA‎2‎‎=CBDB·‎CFDE.(*)‎ 由△ABC∽△DBA,‎ 得ACDA‎=ABDB=‎5‎‎2‎‎10‎=‎2‎‎2‎,CA‎2‎DA‎2‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 又CBDB‎=‎5‎‎10‎=‎‎1‎‎2‎,由(*)得CFDE=1.‎ ‎179‎ 圆内接四边形的判定及性质及圆的切线的性质与判定 ‎22.(10分)(2015宁夏银川一中二模,文22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.‎ ‎(1)求证:AC平分∠BAD;‎ ‎(2)求BC的长.‎ ‎(1)证明:连接OC,‎ 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.‎ 因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD.‎ 又因为AD⊥CD,所以OC∥AD.‎ 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD.‎ 所以AC平分∠BAD.‎ ‎(2)解:由(1)知BC‎=‎CE,所以BC=CE.‎ 连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,‎ 所以cos B=cos∠CED.‎ 所以DECE‎=‎CBAB,所以BC=2.‎ ‎22.(10分)(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文22,圆内接四边形的判定及性质.圆的切线的性质与判定,解答题)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.‎ ‎(1)求证:DE是圆O的切线;‎ ‎(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.‎ 证明:(1)连接BE,OE,‎ ‎∵AB是直径,∴∠AEB=90°.‎ ‎∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,‎ ‎∴△AEB∽△ABC,∴∠ABE=∠C.‎ ‎∵BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC.‎ ‎∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB.‎ ‎∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°.‎ ‎∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.‎ ‎(2)∵O,D分别为AB,BC的中点,‎ ‎∴DM=OD-OM=‎1‎‎2‎(AC-AB),‎ ‎∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)‎ ‎=‎1‎‎2‎(AC-AB)·(AC+AB)‎ ‎=‎1‎‎2‎(AC2-AB2)=‎1‎‎2‎BC2=DE·BC.‎ ‎∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.‎ ‎180‎ 与圆有关的比例线段 ‎22.(10分)(2015辽宁沈阳一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,已知AB是圆O的直径,C,D是圆O上的两个点,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.‎ ‎(1)求证:C是劣弧BD的中点;‎ ‎(2)求证:BF=FG.‎ 证明:(1)∵CF=FG,∴∠CGF=∠FCG.‎ ‎∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=∠ADB=π‎2‎.‎ ‎∵CE⊥AB,∴∠CEA=π‎2‎.‎ ‎∵∠CBA=π‎2‎-∠CAB,∠ACE=π‎2‎-∠CAB,‎ ‎∴∠CBA=∠ACE.‎ ‎∵∠CGF=∠DGA,∴∠DGA=∠ABC.‎ ‎∴π‎2‎-∠DGA=π‎2‎-∠ABC,∴∠CAB=∠DAC.‎ ‎∴C为劣弧BD的中点.‎ ‎(2)∵∠GBC=π‎2‎-∠CGB,∠FCB=π‎2‎-∠GCF,‎ ‎∴∠GBC=∠FCB,∴CF=FB.‎ 同理可证:CF=GF,∴BF=FG.‎ ‎22.(10分)(2015辽宁重点中学协作体模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,已知AB为☉O的直径,CE⊥AB于点H,与☉O交于点C,D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与☉O切于点F,BF与HD交于点G.‎ ‎(1)证明:EF=EG;‎ ‎(2)求GH的长.‎ ‎(1)证明:连接AF,OE,OF,则A,F,G,H四点共圆,‎ 由EF是切线知OF⊥EF,∠BAF=∠EFG,‎ ‎∵CE⊥AB于点H,AF⊥BF,∴∠FGE=∠BAF.‎ ‎∴∠FGE=∠EFG,∴EF=EG.‎ ‎(2)解:∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2,‎ ‎∴EF2=OH2+HE2-OF2=48.‎ ‎∴EF=EG=4‎3‎,∴GH=EH-EG=8-4‎3‎.‎ ‎22.(10分)(2015河南洛阳二模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,☉O1与☉O2相交于A,B两点,点P在线段BA延长线上,T是☉O2上一点,PT⊥O2T,过P的直线交☉O1于C,D两点.‎ ‎(1)求证:PTPC‎=‎PDPT;‎ ‎(2)若☉O1与☉O2的半径分别为4,3,其圆心距O1O2=5,PT=‎24‎‎2‎‎5‎,求PA的长.‎ ‎(1)证明:∵PT⊥O2T,∴PT是☉O2的切线.‎ ‎∴PT2=PA·PB.‎ ‎∵过点P的直线交☉O1于C,D两点,‎ ‎∴PC·PD=PA·PB.‎ ‎∴PT2=PC·PD,∴PTPC‎=‎PDPT.‎ ‎(2)解:连接O1A,O2A,‎ ‎∵☉O1与☉O2的半径分别为4,3,其圆心距O1O2=5,‎ ‎∴O1O‎2‎‎2‎=O1A2+O2A2.‎ ‎∴∠O1AO2=90°.‎ 设Rt△O1AO2斜边上的高为h,则h=‎3×4‎‎5‎‎=‎‎12‎‎5‎,AB=2h=‎24‎‎5‎,‎ ‎∵PT2=PA·PB,PT=‎24‎‎2‎‎5‎,‎ ‎∴PAPA+‎‎24‎‎5‎‎=‎‎24‎‎2‎‎5‎‎2‎.‎ ‎∴PA=‎24‎‎5‎.‎ ‎22.(10分)(2015河南郑州一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直于EP,垂足为F.‎ ‎(1)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(2)若AC=BD,AB=5,求弦DE的长.‎ ‎(1)证明:∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD.‎ 由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,‎ 又∵∠EGA=∠PGD,∴∠EGA=∠DBA.‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD.‎ 从而∠PFA=∠BDA.‎ 又AF⊥EP,∴∠PFA=90°,则∠BDA=90°,‎ 故AB为圆的直径.‎ ‎(2)解:连接BC,DC.‎ 由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,‎ 从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,‎ 于是∠DAB=∠CBA.‎ 又∵∠DCB=∠DAB,‎ ‎∴∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.‎ ‎∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∠DCE为直角.‎ ‎∴ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,‎ ‎∴DE=AB=5.‎ ‎22.(10分)(2015辽宁鞍山一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M,T(不与A,B重合),连接MC,MB,OT.‎ ‎(1)求证:M,T,C,O四点共圆;‎ ‎(2)求证:MD=2MC.‎ 证明:(1)因为MD与圆O相交于点T,设DN与圆O相切于点N,‎ 由切割线定理DN2=DT·DM,DN2=DB·DA,‎ 得DT·DM=DB·DA,设半径OB=r(r>0),‎ 因为BD=OB,且BC=OC=r‎2‎,‎ 则DB·DA=r·3r=3r2,DO·DC=2r·‎3r‎2‎=3r2,‎ 所以DT·DM=DO·DC.‎ 所以M,T,C,O四点共圆.‎ ‎(2)由(1)可知M,T,C,O四点共圆,‎ 所以∠DMC=∠DOT.‎ 因为∠DMB=‎1‎‎2‎∠TOD,所以∠DMB=∠CMB.‎ 所以MB是∠DMC的平分线,‎ 所以MDMC‎=‎DBBC=2,所以MD=2MC.‎ ‎22.(10分)(2015河南六市联考一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)选修4—1:几何证明选讲 如图所示,已知PA与☉O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CD∥AP,AD,BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.‎ ‎(1)求证:CE·EB=EF·EP;‎ ‎(2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的长.‎ ‎(1)证明:∵DE2=EF·EC,∠DEF=∠CED,‎ ‎∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.‎ 又∵弦CD∥AP,∴∠P=∠C.‎ ‎∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA.‎ ‎∴△EDF∽△EPA.‎ ‎∴EAEF‎=‎EPED,∴EA·ED=EF·EP.‎ 又∵EA·ED=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.‎ ‎(2)解:∵DE2=EF·EC,DE=3,EF=2.‎ ‎∴32=2EC,∴CE=‎9‎‎2‎.‎ ‎∵CE∶BE=3∶2,∴BE=3.‎ 由(1)可知,CE·EB=EF·EP,‎ ‎∴‎9‎‎2‎×3=2EP,解得EP=‎27‎‎4‎.‎ ‎∴BP=EP-EB=‎27‎‎4‎-3=‎15‎‎4‎.‎ ‎∵PA是☉O的切线,∴PA2=PB·PC.‎ ‎∴PA2=‎15‎‎4‎‎×‎‎27‎‎4‎‎+‎‎9‎‎2‎,解得PA=‎15‎‎3‎‎4‎.‎ ‎22.(10分)(2015河南开封定位模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,AB为☉O的直径,点D是☉O上的一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于F.GD是☉O的切线,且与EC的延长线相交于点G,连接AD,交CE于点P.‎ ‎(1)证明:△ACD∽△APC;‎ ‎(2)若GD=‎2‎+1,GC=1,求PE的长.‎ ‎(1)证明:∵AB为☉O的直径,CE⊥AB,∴AC‎=‎AE.‎ ‎∵点C是弧AD的中点,∴AC‎=CD=‎AE.‎ ‎∴∠ACE=∠ADC,∵∠CAP为公共角.‎ ‎∴△ACD∽△APC.‎ ‎(2)解:连接DE,‎ ‎∵GD是☉O的切线,∴∠GDC=∠CED.‎ ‎∵AC‎=CD=‎AE,∴∠GED=∠ADE=∠CDA.‎ ‎∴∠GPD=∠GDP,∴GP=GD=‎2‎+1.‎ ‎∵GD2=GC·GE,∴GE=3+2‎2‎.‎ ‎∴PE=GE-GP=2+‎2‎.‎ ‎22.(10分)(2015河南商丘一模,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,四边形ACED是圆内接四边形,延长AD与CE交于点B,且AD=DE,AB=2AC.‎ ‎(1)求证:BE=2AD;‎ ‎(2)当AC=2,BC=4时,求AD的长.‎ ‎(1)证明:∵四边形ACED为圆内接四边形,‎ ‎∴∠BDE=∠BCA.‎ 又∵∠DBE=∠CBA,∴△BDE∽△BCA.‎ 则ABAC‎=‎BEDE.‎ ‎∵AB=2AC,∴BE=2DE,‎ 结合AD=DE,可得BE=2AD.‎ ‎(2)解:根据题意,AB=2AC=4,‎ ‎∵BD·BA=BE·BC,‎ ‎∴(AB-AD)·BA=2AD·4,‎ 可得(4-AD)·4=2AD·4,解得AD=‎4‎‎3‎.‎ ‎22.(10分)(2015河南中原名校联盟模拟,文22,与圆有关的比例线段,解答题)如图,△ABC的顶点都在圆O上,点P在BC的延长线上,且PA与圆O切于点A.‎ ‎(1)若∠ACB=70°,求∠BAP的度数;‎ ‎(2)若ACAB‎=‎‎2‎‎5‎,求PCPB的值.‎ 解:(1)∵PA与圆O切于点A,∴∠CAP=∠ABC.‎ ‎∵∠ACP=∠ABC+∠BAC,‎ ‎∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP.‎ ‎∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°.‎ ‎∵∠ACB=70°,∴∠BAP=110°.‎ ‎(2)由(1)得∠CAP=∠ABC,‎ ‎∵∠APC=∠APC,∴△PAC∽△PBA.‎ ‎∴PCPA‎=‎ACAB,∴PA=AB·PCAC.‎ ‎∴PA2=AB‎2‎·PC‎2‎AC‎2‎.‎ 由切割线定理可得PA2=PB·PC,‎ ‎∴PB·PC=AB‎2‎·PC‎2‎AC‎2‎,‎ ‎∴PCPB‎=AC‎2‎AB‎2‎=‎‎4‎‎25‎.‎ ‎181‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎23.(2015河南六市联考一模,文23,极坐标与直角坐标的互化,解答题)平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x=t,‎y=‎3‎t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsin θ-3=0.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.‎ 解:(1)直线l的参数方程是x=t,‎y=‎3‎t(t为参数),化为普通方程得y=‎3‎x,‎ ‎∴在平面直角坐标系中,直线l经过坐标原点,倾斜角是π‎3‎,‎ 因此,直线l的极坐标方程是θ=π‎3‎(ρ∈R).‎ ‎(2)把θ=π‎3‎代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsin θ-3=0,得ρ2-‎3‎ρ-3=0,‎ ‎∴由一元二次方程根与系数的关系,得ρ1+ρ2=‎3‎,ρ1ρ2=-3,‎ ‎∴|AB|=|ρ1-ρ2|=‎(ρ‎1‎+ρ‎2‎‎)‎‎2‎-4‎ρ‎1‎ρ‎2‎‎=‎‎15‎.‎ ‎23.(2015河南商丘一模,文23,极坐标与直角坐标的互化,解答题)已知直线l经过点P‎1‎‎2‎‎,1‎,倾斜角α=π‎6‎,圆C的极坐标方程为ρ=‎2‎cosθ-‎π‎4‎.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)设l与圆C相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.‎ 解:(1)直线l的参数方程为x=‎1‎‎2‎+tcosπ‎6‎,‎y=1+tsinπ‎6‎,‎ 即x=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎t,‎y=1+‎1‎‎2‎t(t为参数).‎ 由ρ=‎2‎cosθ-‎π‎4‎,‎ 得ρ=cos θ+sin θ,‎ 所以ρ2=ρcos θ+ρsin θ.‎ 得x-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)把x=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎t,‎y=1+‎1‎‎2‎t代入x-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎,得t2+‎1‎‎2‎t-‎1‎‎4‎=0.‎ ‎|PA|·|PB|=|t1t2|=‎1‎‎4‎.‎ ‎182‎ 直角坐标方程与极坐标方程的互化 ‎23.(10分)(2015河南商丘二模,文23,直角坐标方程与极坐标方程的互化,解答题)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为ρsinθ-‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,曲线C的参数方程为x=2+2cosα,‎y=2sinα(α为参数).‎ ‎(1)写出直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.‎ 解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsinθ-‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴ρ‎3‎‎2‎sinθ-‎1‎‎2‎cosθ‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴‎3‎‎2‎y-‎1‎‎2‎x=‎1‎‎2‎.∴x-‎3‎y+1=0.‎ ‎(2)根据曲线C的参数方程为x=2+2cosα,‎y=2sinα(α为参数),得(x-2)2+y2=4.‎ 它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,‎ 圆心到直线的距离为d=‎3‎‎2‎,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为‎3‎‎2‎+2=‎7‎‎2‎.‎ ‎183‎ 曲线的极坐标方程的求解 ‎23.(2015辽宁锦州一模,文23,曲线的极坐标方程的求解,解答题)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=π‎6‎.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.‎ 解:(1)直线的参数方程为x=1+tcosπ‎6‎,‎y=1+tsinπ‎6‎,‎ 即x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=1+‎1‎‎2‎t.‎ ‎(2)把直线x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=1+‎1‎‎2‎t代入x2+y2=4,‎ 得‎1+‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎1+‎1‎‎2‎t‎2‎=4,t2+(‎3‎+1)t-2=0,t1t2=-2,‎ 则点P到A,B两点的距离之积为2.‎ ‎185‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎23.(2015辽宁锦州二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在极坐标系中,已知圆C的圆心C‎2‎‎,‎π‎4‎,半径r=‎3‎.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若α∈‎0,‎π‎4‎,直线l的参数方程为x=2+tcosα,‎y=2+tsinα(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.‎ 解:(1)∵C‎2‎‎,‎π‎4‎的直角坐标为(1,1),‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.‎ 化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.‎ ‎(2)将x=2+tcosα,‎y=2+tsinα代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,‎ 得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,‎ 即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.‎ ‎∴t1+t2=-2(cos α+sin α),t1t2=-1.‎ ‎∴|AB|=|t1-t2|=‎‎(t‎1‎+t‎2‎‎)‎‎2‎-4‎t‎1‎t‎2‎ ‎=2‎2+sin2α.‎ ‎∵α∈‎0,‎π‎4‎,∴2α∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎∴2‎2‎≤|AB|<2‎3‎,‎ 即弦长|AB|的取值范围是[2‎2‎,2‎3‎).‎ ‎23.(2015辽宁沈阳一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=4cosθ,‎y=4sinθ(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=π‎6‎.‎ ‎(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.‎ 解:(1)消去θ,得圆的标准方程为x2+y2=16.‎ 直线l的参数方程为x=1+tcosπ‎6‎,‎y=2+tsinπ‎6‎,‎ 即x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=2+‎1‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(2)把直线的方程x=1+‎3‎‎2‎t,‎y=2+‎1‎‎2‎t代入x2+y2=16,‎ 得‎1+‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎2+‎1‎‎2‎t‎2‎=16,‎ 即t2+(2+‎3‎)t-11=0.‎ 所以t1t2=-11,即|PA|·|PB|=11.‎ ‎23.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)已知曲线C1的参数方程为x=2+t,‎y=-1+mt(t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ‎4sinθ=1.‎ ‎(1)写出曲线C1,C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)若曲线C1和C2有且只有一个公共点,求实数m的值.‎ 解:(1)曲线C1的参数方程为x=2+t,‎y=-1+mt(t为参数),转化为直角坐标方程为:y=mx-2m-1.‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ‎4sinθ=1.‎ 转化为直角坐标方程为:x2+y2-4y=0(y≠0).‎ ‎(2)当曲线C1和C2有且只有一个公共点,‎ 即直线与圆相切时,d=‎|-2-2m-1|‎m‎2‎‎+1‎=2,‎ ‎∴m=-‎5‎‎12‎.‎ ‎∴当直线过(0,0)点时,-2m=1,∴m=-‎1‎‎2‎.‎ 综上所述,m=-‎5‎‎12‎或m=-‎1‎‎2‎.‎ ‎23.(2015河南开封二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为x=1+‎4‎‎5‎t,‎y=-1-‎3‎‎5‎t(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=‎2‎cosθ+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;‎ ‎(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.‎ 解:(1)直线I的参数方程为x=1+‎4‎‎5‎t,‎y=-1-‎3‎‎5‎t(t为参数),消去t,可得3x+4y+1=0.‎ 由于ρ=‎2‎cosθ+‎π‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎‎2‎cosθ-‎2‎‎2‎sinθ,‎ 即有ρ2=ρcos θ-ρsin θ,‎ 则有x2+y2-x+y=0,其圆心为‎1‎‎2‎‎,-‎‎1‎‎2‎,半径为r=‎2‎‎2‎,‎ 圆心到直线的距离d=‎3‎‎2‎‎-2+1‎‎9+16‎‎=‎‎1‎‎10‎,‎ 故弦长为2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎100‎‎=‎‎7‎‎5‎.‎ ‎(2)可设圆的参数方程为x=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎cosθ,‎y=-‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎sinθ(θ为参数),则设M‎1‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎cosθ,-‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎sinθ,‎ 则x+y=‎2‎‎2‎cos θ+‎2‎‎2‎sin θ=sinθ+‎π‎4‎,‎ 由于θ∈R,则x+y的最大值为1.‎ ‎23.(2015河南郑州一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2‎2‎cosθ+‎π‎4‎,直线l的参数方程为x=t,‎y=-1+2‎2‎t(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.‎ ‎(1)求圆心的极坐标;‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值.‎ 解:(1)由圆C的极坐标方程为ρ=2‎2‎cosθ+‎π‎4‎,‎ 化为ρ2=2‎2‎‎2‎‎2‎ρcosθ-‎2‎‎2‎ρsinθ,‎ 把x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入可得,圆C的普通方程为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.‎ ‎∴圆心坐标为(1,-1).‎ ‎∴圆心极坐标为‎2‎‎,‎‎7π‎4‎.‎ ‎(2)由直线l的参数方程x=t,‎y=-1+2‎2‎t(t为参数),把t=x代入y=-1+2‎2‎t可得直线l的普通方程为2‎2‎x-y-1=0,‎ ‎∴圆心到直线l的距离d=‎|2‎2‎+1-1|‎‎3‎‎=‎‎2‎‎2‎‎3‎.‎ ‎∴|AB|=2r‎2‎‎-‎d‎2‎=2‎2-‎‎8‎‎9‎‎=‎‎2‎‎10‎‎3‎,‎ 点P到直线AB距离的最大值为r+d=‎2‎‎+‎2‎‎2‎‎3‎=‎‎5‎‎2‎‎3‎,Smax=‎1‎‎2‎‎×‎2‎‎10‎‎3‎×‎5‎‎2‎‎3‎=‎‎10‎‎5‎‎9‎.‎ ‎23.(2015辽宁大连一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3+2cosθ,‎y=-4+2sinθ(θ为参数).‎ ‎(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.‎ 解:(1)圆C的参数方程为x=3+2cosθ,‎y=-4+2sinθ(θ为参数),‎ 所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4,‎ x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,‎ 化简可得,圆C的极坐标方程:ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.‎ ‎(2)点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=‎|2cosθ-2sinθ+9|‎‎2‎,‎ ‎△ABM的面积S=‎1‎‎2‎×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=‎2‎2‎sinπ‎4‎‎-θ+9‎,‎ 所以△ABM面积的最大值为9+2‎2‎.‎ ‎23.(2015宁夏银川一中二模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知C1:x=cosθ,‎y=sinθ(θ为参数),将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的‎2‎和2倍后得到曲线C2,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(‎2‎cos θ+sin θ)=4.‎ ‎(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程;‎ ‎(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最小,并求此最小值.‎ 解:(1)把C1:x=cosθ,‎y=sinθ(θ为参数)消去参数化为普通方程为x2+y2=1,‎ 故曲线C1的极坐标方程为ρ=1.‎ 再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为x‎2‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,即x‎2‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1.‎ 故曲线C2的参数方程为x=‎2‎cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数).‎ ‎(2)直线l:ρ(‎2‎cos θ+sin θ)=4,‎ 即‎2‎x+y-4=0,设点P(‎2‎cos θ,2sin θ),‎ 则点P到直线l的距离为d=‎‎|2cosθ+2sinθ-4|‎‎2+1‎ ‎=‎2‎‎2‎sinθ+‎π‎4‎-2‎‎3‎,‎ 故当sinθ+‎π‎4‎=1时,d取得最小值,‎ 此时θ=2kπ+π‎4‎,k∈Z,点P(1,‎2‎),‎ 故曲线C2上有一点P(1,‎2‎)满足到直线l的距离的最小值为‎4‎‎3‎‎3‎‎-‎‎2‎‎6‎‎3‎.‎ ‎23.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文23,参数方程与普通方程的互化,解答题)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,化为ρ2=2ρcos θ,可得直角坐标方程x2+y2=2x.‎ 直线l的参数方程是x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数),消去参数t可得x=‎3‎y+m.‎ ‎(2)把x=‎3‎‎2‎t+m,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数)代入方程x2+y2=2x,化为t2+(‎3‎m-‎3‎)t+m2-2m=0,‎ 由Δ>0,解得-10,∴m=1±‎2‎.‎ ‎186‎ 极坐标方程与参数方程的应用 ‎23.(2015河南开封定位模拟,文23,极坐标方程与参数方程的应用,解答题)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0.‎ ‎(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;‎ ‎(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.‎ 解:(1)将曲线ρ2-6ρcos θ+5=0化成直角坐标方程,得圆C:x2+y2-6x+5=0,‎ 直线l的参数方程为x=-1+tcosα,‎y=tsinα(t为参数),‎ 将其代入圆C方程,得(-1+tcos α)2+(tsin α)2-6(-1+tcos α)+5=0,‎ 整理,得t2-8tcos α+12=0.‎ ‎∵直线l与圆C有公共点,‎ ‎∴Δ≥0,即64cos2α-48≥0,‎ 可得cos α≤-‎3‎‎2‎或cos α≥‎3‎‎2‎.‎ 由α为直线的倾斜角,得α∈[0,π),‎ ‎∴α的取值范围为‎0,‎π‎6‎‎∪‎‎5π‎6‎‎,π.‎ ‎(2)由圆C:x2+y2-6x+5=0化成参数方程,‎ 得x=3+2cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数),‎ ‎∵M(x,y)为曲线C上任意一点,‎ ‎∴x+y=3+2cos θ+2sin θ=3+2‎2‎sinθ+‎π‎4‎,‎ ‎∵sinθ+‎π‎4‎∈[-1,1],‎ ‎∴2‎2‎sinθ+‎π‎4‎∈[-2‎2‎,2‎2‎],可得x+y的取值范围是[3-2‎2‎,3+2‎2‎].‎ ‎187‎ 含绝对值不等式的解法 ‎24.(2015辽宁锦州二模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.‎ ‎(1)若关于x的不等式g(x)≥0的解集为[-5,-1],求实数m的值;‎ ‎(2)若f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由题意可得-|x+3|+m≥0的解集为[-5,-1].‎ 由-|x+3|+m≥0,可得-m-3≤x≤m-3,‎ ‎∴‎-m-3=-5,‎m-3=-1,‎求得m=2.‎ ‎(2)由题意可得|x-2|≥-|x+3|+m恒成立,‎ 即m≤|x-2|+|x+3|.‎ 而|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,‎ ‎∴m≤5.‎ ‎24.(2015河南开封二模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)已知函数f(x)=|x-1|.‎ ‎(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;‎ ‎(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:f(ab)‎‎|a|‎>fba.‎ ‎(1)解:f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|‎ ‎=‎‎-3x-2,x<-3,‎‎4-x,-3≤x<‎1‎‎2‎,‎‎3x+2,x≥‎1‎‎2‎,‎ 当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-‎10‎‎3‎;‎ 当-3≤x<‎1‎‎2‎时,由-x+4≥8,解得x∈⌀;‎ 当x≥‎1‎‎2‎时,由3x+2≥8,解得x≥2.‎ 所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为xx≤-‎10‎‎3‎或x≥2‎.‎ ‎(2)证明:f(ab)‎‎|a|‎>fba等价于f(ab)>|a|fba,‎ 即|ab-1|>|a-b|,‎ 因为|a|<1,|b|<1,‎ 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0.‎ 所以|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立.‎ ‎24.(2015辽宁大连一模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若∀x∈R,f(x)≥t2-‎7‎‎2‎t恒成立,求实数t的取值范围.‎ 解:(1)函数f(x)=|2x+2|-|x-2|‎ ‎=‎‎-x-4,x<-1,‎‎3x,-1≤x<2,‎x+4,x≥2,‎ 当x<-1时,不等式-x-4>2,求得x<-6,‎ ‎∴x<-6.‎ 当-1≤x<2时,不等式3x>2,求得x>‎2‎‎3‎,‎ ‎∴‎2‎‎3‎2,求得x>-2,‎ ‎∴x≥2.‎ 综上所述,不等式的解集为xx>‎2‎‎3‎或x<-6‎.‎ ‎(2)由以上可得f(x)的最小值为f(-1)=-3,‎ 若∀x∈R,f(x)≥t2-‎7‎‎2‎t恒成立,只要-3≥t2-‎7‎‎2‎t,即2t2-7t+6≤0,求得‎3‎‎2‎≤t≤2.‎ ‎24.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文24,含绝对值不等式的解法,解答题)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,‎ 即4x2-4x+1>x2+4x+4.‎ 即3x2-8x-3>0,求得它的解集为xx<-‎1‎‎3‎,或x>3‎.‎ ‎(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|‎ ‎=‎‎-x+3,x<-2,‎‎-3x-1,-2≤x<‎1‎‎2‎,‎x-3,x>‎1‎‎2‎,‎ 故f(x)的最小值为f‎1‎‎2‎=-‎5‎‎2‎,‎ 根据∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,‎ 可得4m-2m2>-‎5‎‎2‎,即4m2-8m-5<0.‎ 求得-‎1‎‎2‎0;‎ ‎(2)若f(x)+3|x-4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.‎ 解:(1)当x≥4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得x>-5,所以x≥4时,不等式成立.‎ 当-‎1‎‎2‎≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得x>1,所以10,‎ 得x<-5,所以x<-5成立.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.‎ ‎(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|‎ ‎≥|2x+1-(2x-8)|=9,‎ 当-‎1‎‎2‎≤x≤4时等号成立,‎ 所以f(x)+3|x-4|的最小值为9,故m<9.‎ ‎24.(2015河南郑州一模,文24,含绝对值不等式的问题,解答题)已知函数f(x)=m-|x-1|-2|x+1|.‎ ‎(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)当m=5时,f(x)=‎‎3x+6,x<-1,‎‎-x+2,-1≤x≤1,‎‎4-3x,x>1,‎ 由f(x)>2可得x<-1,‎‎3x+6>2,‎①或‎-1≤x≤1,‎‎-x+2>2,‎②或x>1,‎‎4-3x>2.‎③‎ 解①得-‎4‎‎3‎2的解集为x∈‎-‎4‎‎3‎,0‎.‎ ‎(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1取得最小值2,‎ 因为f(x)=‎3x+1+m,x<-1,‎‎-x-3+m,-1≤x≤1,‎‎-3x+m-1,x>1,‎在x=-1处取得最大值m-2,‎ 所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,求得m≥4.‎ ‎190‎ 不等式的证明 ‎24.(2015河南开封定位模拟,文24,不等式的证明,解答题)已知a,b都是正实数,且a+b=1.‎ ‎(1)求证:‎1‎a‎+‎‎1‎b≥4;‎ ‎(2)求a+‎‎1‎a‎2‎‎+‎b+‎‎1‎b‎2‎的最小值.‎ ‎(1)证明:‎1‎a‎+‎1‎b=a+ba+‎a+bb=2+‎ba‎+‎ab ‎≥2+2ba‎·‎ab=4.‎ ‎(2)解:a+‎‎1‎a‎2‎‎+‎b+‎‎1‎b‎2‎≥2×a+‎1‎a+b+‎‎1‎b‎2‎‎4‎,‎ 即a+‎‎1‎a‎2‎‎+b+‎‎1‎b‎2‎≥‎‎1+‎‎1‎ab‎2‎‎2‎,‎ 又∵a+b‎2‎‎≥‎ab,得00,b>0.‎ ‎(1)若a+b=2,求‎1‎‎1+a‎+‎‎4‎‎1+b的最小值;‎ ‎(2)求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).‎ ‎(1)解:由于a+b=2,‎ 则‎1‎‎1+a‎+‎4‎‎1+b=‎‎1‎‎4‎‎1‎‎1+a‎+‎‎4‎‎1+b(1+a+1+b)‎ ‎=‎‎1‎‎4‎‎5+‎1+b‎1+a+‎‎4(1+a)‎‎1+b ‎≥‎1‎‎4‎‎5+2‎‎1+b‎1+a‎·‎‎4+4a‎1+b‎=‎‎9‎‎4‎,‎ 等号成立条件为‎1+b‎1+a‎=‎‎4(1+a)‎‎1+b,‎ 而a+b=2,所以a=‎1‎‎3‎,b=‎5‎‎3‎,‎ 因此当a=‎1‎‎3‎,b=‎5‎‎3‎时,‎1‎‎1+a‎+‎‎4‎‎1+b取得最小值,且为‎9‎‎4‎.‎ ‎(2)证明:由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2b2a,a2+b2≥2ab,‎ 三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1),‎ 所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).‎

相关文档