2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：5-2　平面向量的数量积及其应用（讲解部分） 21页

5.2 　平面向量的数量积及其应用 高考理数 考点一    平面向量的数量积 考点清单 考向基础 　　1.两向量夹角的定义和范围   2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件   3.平面向量的数量积 4.向量数量积的性质 设 a , b 都是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1) e · a = a · e = | a |·cos θ . (2)当 a 与 b 同向时, a · b =| a || b | ;当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b | . 特别地, a · a = | a | 2 . (3) | a · b | ≤ | a |·| b | . 5.坐标表示 若 a =( x , y ),则 a · a = a 2 =| a | 2 = x 2 + y 2 ,| a |=   . 考向突破 考向    平面向量数量积的计算 例 　如图所示,在△ ABC 中, D 是 BC 的中点, E , F 是 AD 上的两个三等分点,   ·   =4,   ·   =-1,则   ·   的值是 　　　     .   解析 　解法一:设   = a ,   = b , 根据题意有   整理得   于是   ·   =   =   . 解法二:设   = a ,   = b ,则   ·   =( a +3 b )·(- a +3 b )=9| b | 2 -| a | 2 =4,   ·   =( a + b )· (- a + b )=| b | 2 -| a | 2 =-1,解得| a | 2 =   ,| b | 2 =   ,则   ·   =( a +2 b )·(- a +2 b )=4| b | 2 -| a | 2 =   . 答案        考点二    平面向量数量积的应用 考向基础 1.向量数量积的应用 已知 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ). (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件, a ⊥ b ⇔ a · b =0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 =0 . (2)求解夹角问题,常利用夹角公式: cos θ =   =   (其中 θ 为 a 与 b 的夹角). (3)求线段长度问题,常利用向量的模长公式:| a |=   =   或|   |=   . 2.向量中常用的结论 在△ ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 所对的边分别为 a , b , c . (1)在   = λ   的条件下,存在 λ 使得 I 为△ ABC 的内心; a   + b   + c   =0 ⇔ P 为△ ABC 的内心. (2)|   |=|   |=|   | ⇔ P 为△ ABC 的外心. (3)   +   +   =0 ⇔ G 为△ ABC 的重心. (4)   ·   =   ·   =   ·   ⇔ P 为△ ABC 的垂心. 考向突破 考向一    平面向量的长度、夹角问题 例1 　(1)(2018全国名校大联考,10)设向量 a , b , c 满足| a |=|b|=2, a · b =-2,< a - c , b - c >=60 ° ,则| c |的最大值等于   (　　) A.4　　　　    B.2　　　　    C.   　　　　    D.1 (2)已知 a , b 均为单位向量,若| a -2 b |=   ,则 a 与 b 的夹角为 　　　     . 解析 　(1)因为| a |=| b |=2, a · b =-2,所以cos< a , b >=   =-   ,所以< a , b >=120 ° . 如图所示,设   = a ,   = b ,   = c ,则   = a - c ,   = b - c ,∠ AOB =120 ° ,故∠ ACB = 60 ° ,因为∠ AOB +∠ ACB =180 ° ,所以 A , O , B , C 四点共圆.不妨设为圆 M .   因为   = b - a ,所以   = a 2 -2 a · b + b 2 =12. 所以|   |=2   ,由正弦定理可得,△ AOB 的外接圆即圆 M 的直径为   =4. 所以,当 OC 为圆 M 的直径时,| c |取得最大值4.故选A. (2)由| a -2 b |=   ,得| a -2 b | 2 =3, 得 a 2 -4 a · b +4 b 2 =3, 即1-4 a · b +4=3, 所以 a · b =   , 所以cos< a , b >=   =   , 即< a , b >=   . 答案 　(1)A　(2)   考向二    数量积的综合应用 例2     (2018湖北武汉调研,6)设 A 、 B 、 C 是半径为1的圆 O 上的三点,且   ⊥   ,则(   -   )·(   -   )的最大值是       (　　) A.1+   　　　　    B.1-   　　　　     C.   -1　　　　    D.1 解析 　解法一:∵   ⊥   ,|   |=|   |=1, ∴|   +   |=   =   . 设(   +   )与   的夹角为 θ , 则(   -   )·(   -   )=   -(   +   )·   +   ·   =1-   cos θ , 又∵ θ ∈[0,π],∴cos θ ∈[-1,1], ∴(   -   )·(   -   )=1-   cos θ ∈[1-   ,1+   ], ∴(   -   )·(   -   )的最大值为   +1,故选A. 解法二:以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴, OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐 标系(取   的方向为 x 轴正方向,   的方向为 y 轴正方向),则 A (1,0), B (0,1).设 C (cos θ ,sin θ )( θ ∈[0,2π)),∴   -   =(cos θ -1,sin θ ),   -   =(cos θ ,sin θ -1), ∴(   -   )·(   -   )=cos θ (cos θ -1)+sin θ (sin θ -1)=cos 2 θ +sin 2 θ -(sin θ +cos θ ) =1-   sin   ,∵ θ ∈[0,2π),∴sin   ∈[-1,1],∴(   -   )·(   -   )的 最大值为   +1,故选A. 答案     A 方法1      求向量长度的方法 向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法: (1)| a |=   ; (2)| a ± b |=   ; (3)若 a =( x , y ),则| a |=   ; (4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长; (5)通过解方程(组)求解. 方法技巧 例1　 (1)(2019陕西部分学校4月联考,6)平面向量 a , b 满足| a |=4,| b |=2, a + b 在 a 方向上的投影为5,则| a -2 b |为   (　　) A.2　　　　    B.4　　　　    C.8　　　　    D.16 (2)已知在直角梯形 ABCD 中, AB = AD =2 CD =2, AB ∥ CD ,∠ ADC =90 ° ,若点 M 在线段 AC 上,则|   +   |的取值范围为 　　　　　　     . 解题导引   解析 　(1)由题意知| a + b |cos< a + b , a >=| a + b |·   =   =   =5, ∴ a · b =4,∴( a -2 b ) 2 = a 2 -4 a · b +4 b 2 =4 2 -4 × 4+4 × 2 2 =16,∴| a -2 b |=4,故选B. (2)建立如图所示的平面直角坐标系,   则 A (0,0), B (2,0), C (1,2), D (0,2),设   = λ   (0 ≤ λ ≤ 1),则 M ( λ ,2 λ ),故   =(- λ , 2 -2 λ ),   =(2- λ ,-2 λ ),则   +   =(2-2 λ ,2-4 λ ),|   +   |=   =   ,当 λ =0时,|   +   |取得最大值2   ,当 λ =   时,|   +   |取得 最小值   ,∴|   +   |∈   . 答案 　(1)B　(2)   方法2      求向量夹角问题的方法 1.当 a , b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求得 a · b 及| a |,| b |或得出它们之间 的关系. 2.若已知 a 与 b 的坐标,则可直接利用公式cos θ =   求解,平面 向量 a 与 b 的夹角 θ ∈[0,π]. 3.转化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解. 例2 　(1)若 e 1 , e 2 是平面内夹角为60 ° 的两个单位向量,则向量 a =2 e 1 + e 2 , b =-3 e 1 +2 e 2 的夹角为   (　　) A.30 ° 　　　　    B.60 ° 　　　　    C.90 ° 　　　　    D.120 ° (2)(2019河南开封一模,14)已知向量 a =(1,   ), b =(3, m ),且 b 在 a 方向上的投影 为-3,则向量 a 与 b 的夹角为 　　　     . 解析 　(1) e 1 · e 2 =| e 1 || e 2 |cos 60 ° =   , a · b =(2 e 1 + e 2 )·(-3 e 1 +2 e 2 )=-6   +2   + e 1 · e 2 =-   ,| a | =   =   =   =   ,| b |=   =   =   =   ,所以 a , b 的夹角的余弦值为cos< a , b >=   =   =-   ,所以< a , b >=120 ° .选D. (2)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , ∵向量 a =(1,   ), b =(3, m ),∴| a |=2, a · b =3+   m . ∵ b 在 a 方向上的投影为-3,∴   =   =-3, 解得 m =-3   ,则 b =(3,-3   ),则| b |=6,则cos θ =   =   =-   ,∵0 ≤ θ ≤ π,∴ θ =   . 答案 　(1)D　(2)   方法3      数形结合的方法和方程与函数的思想方法 向量既有大小又有方向,具有数和形的特征.在解题时要注意利用数形结合 的方法.若题设中有动点,将涉及变量的值或范围问题,应重视函数的思想 方法.在求值问题中应重视方程的思想方法. 例3     (2019四川攀枝花一模,11)在四边形 ABCD 中,已知 M 是 AB 边上的点, 且 MA = MB = MC = MD =1,∠ CMD =120 ° ,若点 N 在线段 CD (端点 C , D 除外)上运 动,则   ·   的取值范围是(　　) A.[-1,0)　　　　    B.   　　　　    C.[-1,1)　　　　    D.   解析 　连接 MN .由题意得   ·   =(   -   )·(   -   )=   -   =|   | 2 -1. 在△ MCN 中, MC =1,∠ MCN =30 ° ,∴ MN 2 =1 2 + NC 2 -2 × NC × 1 ×   = NC 2 -   NC + 1,∴ MN 2 -1= NC 2 -   NC =   -   .由 MC = MD =1,∠ CMD =120 ° ,可得 CD =   ,又点 N 在线段 CD (端点 C , D 除外)上运动,∴0< NC <   . ∴-   ≤ MN 2 -1<0,即   ·   的取值范围是   .故选B. 答案     B