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  • 2021-06-16 发布

2021高考数学一轮复习课后限时集训49圆的方程文北师大版2

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课后限时集训49‎ 圆的方程 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(  )‎ A.x2+(y-2)2=1   B.x2+(y+2)2=1‎ C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1‎ A [设圆心为(0,a),‎ 则=1,‎ 解得a=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A.]‎ ‎2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2)∪ B. C.(-2,0) D. D [方程化简为+(y+a)2=1-a-表示圆,则1-a->0,解得-2<a<.]‎ ‎3.(2019·衡阳模拟)若实数x,y满足x2+y2=3,则的取值范围是(  )‎ A.(-,)‎ B.(-∞,-)∪(,+∞)‎ C.[-,]‎ D.(-∞,-]∪[,+∞)‎ C [的几何意义是点(x,y)与点(2,0)连线的斜率,设k=,即kx-y-2k=0,当直线kx-y-2k=0与圆相切时,k取得最值,此时=,解得k=±,所以的取值范围是[-,],故选C.]‎ ‎4.自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为(  )‎ A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0‎ C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0‎ D [由题意得,圆心C(3,-4),半径r=2,‎ - 5 -‎ ‎∵|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,‎ ‎∴|PO|2+r2=|PC|2,‎ ‎∴x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0.‎ ‎∴点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.]‎ ‎5.(2019·泰安模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=2均相切,则该圆的标准方程为(  )‎ A.(x-1)2+(y+2)2=4‎ B.(x-2)2+(y+2)2=2‎ C.(x-2)2+(y+2)2=4‎ D.(x-2)2+(y+2)2=4‎ C [设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线x+y=2的距离d==2,所以a=2,所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4,故选C.]‎ 二、填空题 ‎6.(2019·黄冈模拟)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k=________.‎ ‎-1 [圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0化为标准方程为 ‎(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1,则圆心坐标为(-k2,-1).‎ 由题意知直线y=x经过圆心,则有-k2=-1,解得k=±1,当k=1时,k4-4k+1<0,不合题意;k=-1时,k4-4k+1=6>0,符合题意.故k=-1.]‎ ‎7.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是________.‎ +1 [将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+1=+1.]‎ ‎8.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为________.‎ ‎(0,-1) [圆C的方程可化为+(y+1)2=-k2+1.所以,当k=0时圆C的面积最大,此时圆心C的坐标为(0,-1).]‎ 三、解答题 ‎9.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.‎ ‎(1)求直线CD的方程;‎ ‎(2)求圆P的方程.‎ ‎[解](1)由已知得直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).‎ - 5 -‎ 所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),‎ 即x+y-3=0.‎ ‎(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0. ①‎ 又直径|CD|=4,‎ 所以|PA|=2.‎ 所以(a+1)2+b2=40. ②‎ 由①②解得或 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),‎ 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.‎ ‎10.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2,高为3.‎ ‎(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;‎ ‎(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程.‎ ‎[解](1)由已知可知A(-3,0),B(3,0),C(,3),D(-,3),设圆心E(0,b).‎ 由|EB|=|EC|,‎ 得(0-3)2+(b-0)2=(0-)2+(b-3)2,‎ 解得b=1,r2=(0-3)2+(1-0)2=10,‎ 所以圆的方程为x2+(y-1)2=10.‎ ‎(2)设P(x,y),由已知得M(2x-5,2y-2),‎ 代入x2+(y-1)2=10,‎ 得(2x-5)2+(2y-3)2=10,‎ 化简得+=.‎ ‎1.已知a∈R,若方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则此圆的圆心坐标为(  )‎ A.(-2,-4)    B. C.(-2,-4)或 D.不确定 - 5 -‎ A [∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程化为x2+y2+4x+8y-5=0.配方,得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程化为x2+y2+x+2y+=0,此时方程不表示圆.故选A.]‎ ‎2.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1‎ C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1‎ B [圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆心C1为(-1,1),半径为1.易知点C1(-1,1)关于直线x-y-1=0对称的点为C2,设C2(a,b),则 解得所以C2(2,-2),所以圆C2的圆心为C2(2,-2),半径为1,所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.故选B.]‎ ‎3.已知圆心在直线y=x上的圆与直线x+y=0及x+y+4=0都相切,则圆的方程为________.‎ ‎(x+1)2+(y+1)2=2 [由题意设圆心坐标为(a,a),则有=,解得a=-1.‎ 所以圆心坐标为(-1,-1),半径r==.‎ 所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2.]‎ ‎4.如图,在等腰△ABC中,已知|AB|=|AC|,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),求点C的轨迹所包围的图形的面积.‎ ‎[解] 设C(x,y),则A(4-x,-y).‎ 由题意知|AB|=2|AD|,‎ 即|AB|2=4|AD|2,‎ ‎∴(-y-0)2+(4-x+1)2=4[(-y-0)2+(4-x-2)2],‎ 即y2+(x-5)2=4[y2+(x-2)2],‎ 整理得(x-1)2+y2=4.‎ 即点C的轨迹是以(1,0)为圆心,以2为半径的圆,其面积为4π.‎ - 5 -‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.‎ ‎(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]‎ ‎2.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.‎ ‎[解](1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,‎ ‎∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).‎ ‎(2)设M(x,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,‎ ‎∴由圆的性质知:MC1⊥MO,‎ ‎∴·=0.‎ 又∵=(3-x,-y),=(-x,-y),‎ ‎∴x2-3x+y2=0.‎ 易知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=mx,‎ 当直线l与圆C1相切时,‎ 圆心到直线l的距离d==2,‎ 解得m=±.‎ 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.‎ 当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).‎ 又∵直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,‎ ‎∴<x≤3.‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,‎ 其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.‎ - 5 -‎

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