内蒙古鄂尔多斯市2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷 15页

鄂尔多斯市2018——2019学年第一学期期中考试 高三年级理科数学试题 ‎（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．考试时间120分钟，卷面分数150分．‎ ‎2．答卷前，将密封线内相关内容填写清楚．‎ ‎3．不要在密封线内答题．‎ 一、选择题（共12题，每小题5分）‎ ‎1.集合，，若，则值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，选D.‎ ‎2.设命题，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将“任意”改成“存在”，大于改成小于等于即可.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知的否定为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两方面的变化：1.量词的符号，2.命题的结论.本题是一道容易题.‎ ‎3.在中，若 ，则=（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 余弦定理将各值代入 得 解得或(舍去)选A.‎ ‎4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求出扇形的半径为，再结合弧长公式求解即可.‎ ‎【详解】解：设扇形的半径为，‎ 由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得，‎ 由弧长公式可得：这个圆心角所对弧长是，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎5.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线x=对称 C. f(x+π)的一个零点为x= D. f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；‎ f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；‎ ‎∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；‎ 由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．‎ 故选D.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式可得，再利用公式计算即可.‎ ‎【详解】由已知，，即，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎7.函数 f（x）=lnx+2x-6的零点x0所在区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．‎ ‎【详解】∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0， ‎ ‎∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎8.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当 时，，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解 详解：的最小正周期是 是偶函数 ‎，‎ 当时，，‎ 则 故选 点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．‎ ‎9.设当时，函数取得最大值，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可确定，从而得到；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果.‎ ‎【详解】，其中 ‎，即 又 ‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.‎ ‎10.已知函数的图象（部分）如图所示，则，分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由最大值可确定振幅，由周期确定，由确定.‎ ‎【详解】由图可得，，，所以，，又，‎ 所以，，即，‎ 又，故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎11.设函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由函数f（x）＝得即 或所以 考点：分段函数和解不等式．‎ ‎12.已知，若关于方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知易知与根一共有4个，作出图象，数形结合即可得到答案.‎ ‎【详解】由，得或，由题意 与两个方程的根一共有4个，又的定义域为，所以 ‎，令，则，由得，‎ 由得或，故在单调递减，在上单调递 增，由图象变换作出图象如图所示 要使原方程有4个根，则，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.‎ 二、填空题（共4题，每小题5分）‎ ‎13.= ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用积分运算得，计算可得答案.‎ ‎【详解】因为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.函数的递减区间为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，或，由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.‎ 考点：对数函数性质、复合函数单调性.‎ ‎15.已知幂函数满足，则的解析式为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，结合可得或，代入解析式即可得到答案.‎ ‎【详解】由，得，即，故，解得 ‎，又，所以或，当或时，的解析式均为 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求幂函数的解析式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎16.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有.‎ 其中是“条件约束函数”的序号是__________（写出符合条件的全部序号）.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 对于①，取即可；‎ 对于②，因为时， ，所以不存在，使对一切实数均成立；‎ 对于③，因为，取即可；‎ 对于④，由于为奇函数，故，令得，故，即，所以，取即可.‎ 点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．‎ 三、简答题 ‎17.已知，函数，的内角所对的边长分别为.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据向量数量积坐标表示得，再根据二倍角公式及配角公式得，根据可解得，由正弦定理可得即得，最后根据直角三角形面积公式求面积（2）由得利用同角三角函数关系得，最后根据，利用两角和余弦公式展开得的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎（1）由，结合为三角形内角得而.由正弦定理得，所以.‎ ‎（2）由时，，∴，‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期为，对称轴方程为．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由倍角公式及辅助角公式可得，利用及可得到周期与对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）注意左右平移及横坐标伸缩变换均针对自变量x，由题意得到，求出所有减区间，再与求交集即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 所以函数的最小正周期为，‎ 令，得函数对称轴方程为．‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，‎ 所以，‎ 令，所以，‎ 又，所以在上的的单调递减区间为．‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数的性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、图象平移求解析式等知识，是一道中档题.‎ ‎19.在中,为上的点, 为上的点,且 .‎ ‎（1）求的长;‎ ‎（2）若,求的余弦值.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用．（1）中，在中可得 的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出．‎ 试题解析：（1）由题意可得，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得：．‎ 故的长为．‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 即 所以，‎ 所以．‎ 因为点在边上，所以，‎ 而，‎ 所以只能为钝角，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎20.‎ 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：f(x)≤2x-2．‎ ‎【答案】（I）a＝－1，b＝3. （II）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.‎ 由已知条件得即 解得a＝－1，b＝3. ‎ ‎(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.‎ 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 g′(x)＝－1－2x＋＝－. ‎ 当00；当x>1时，g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． ‎ 而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. ‎ 考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明．‎ 点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性．定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设.如果对任意，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， ‎ 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+）‎ ‎（2）a≤－2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1） f(x)的定义域为(0，+)，.‎ 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；‎ 当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；‎ 当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0；‎ x∈(，+)时，＜0， 故f(x)在（0，）单调增加，在（，+）单调减少.‎ ‎（2）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）单调减少.‎ 所以等价于 ‎≥4x1－4x2，，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.‎ 令g(x)=f(x)+4x，则+4＝.‎ 于是≤＝≤0.‎ 从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，‎ 即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1，x2∈(0，+) ，.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．‎ ‎（1）求直线的参数方程的标准式和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（为参数），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用条件，求得直线的参数方程，把曲线的方程为化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果.‎ 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得，，‎ ‎∴直线的参数方程为：‎ ‎∵，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程：，得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．‎