【数学】2018届一轮复习人教A版直接证明与间接证明学案 7页

‎　‎ ‎1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．‎ 知识点一　直接证明 ‎ ‎1．综合法 ‎(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论______，这种证明方法叫做综合法．‎ ‎(2)框图表示：→→→…→ ‎(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．‎ ‎2．分析法 ‎(1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的____‎ ‎，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．‎ ‎(2)框图表示：→→→…→.‎ 答案 ‎1．(1)推理论证　成立　2.(1)要证明的结论　充分条件 ‎1．判断正误 ‎(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ ‎(4)证明不等式＋<＋最合适的方法是分析法．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 答案：B ‎3．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．‎ 解析：由题意知，an＝，bn＝n，∴cn＝－n＝.显然，cn随着n的增大而减小，∴cn>cn＋1.‎ 答案：cn>cn＋1‎ 知识点二　间接证明 ‎ 反证法：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ 答案 不成立　矛盾 ‎4．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是(　　)‎ A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除 C．a，b中有一个不能被5整除 D．a，b中有一个能被5整除 解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b都不能被5整除．‎ 答案：A 热点一　分析法的应用 ‎ ‎【例1】　已知a>0，证明 －≥a＋－2.‎ ‎【证明】　要证 －≥a＋－2.‎ 只需证 ≥－(2－)．‎ 因为a>0，所以－(2－)>0，‎ 所以只需证2≥2，‎ 即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.‎ 因为a>0，a＋≥2显然成立(当且仅当a＝＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.‎ 已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.‎ 证明：∵m>0，∴1＋m>0.‎ 所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．‎ 热点二 综合法的应用 ‎ ‎【例2】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．‎ ‎(1)求a，b；‎ ‎(2)证明：f(x)≤g(x)．‎ ‎【解】　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得解得a＝0，b＝1.‎ ‎(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)‎ ‎＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．‎ h′(x)＝－x2＋x－1＝.‎ h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．‎ h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).‎ ‎【总结反思】‎ 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.‎ 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．‎ 证明：由题意得，‎ Sn＝na＋d.‎ 由c＝0，得bn＝＝a＋d.‎ 又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝0.‎ 因为d≠0，所以d＝‎2a.‎ 因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m‎2a.‎ 从而对于所有的k，n∈N*，‎ 有Snk＝(nk)‎2a＝n2k‎2a＝n2Sk.‎ 热点三 反证法的应用 ‎ 考向1　证明否定性命题 ‎【例3】　设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎【解】　(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3,‎2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．‎ 由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．‎ 综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列.‎ ‎【总结反思】‎ 反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ 解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，‎ 两式相减得an＋1＝an，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p