陕西省汉中市2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 19页

‎2021届高二期中考试数学（文）试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合，然后求.‎ ‎【详解】因为，所以，选B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集.‎ ‎2.命题“存在，的否定是（ ）‎ A. 不存在，‎ B. 存，‎ C. 对任意的，‎ D. 对任意的，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　(　　)‎ A. B. C. - D. -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．‎ ‎【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．‎ ‎4.平面向量与的夹角为60°，且，，则（ ）‎ A. B. C. 19 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平方再开方的方法化简所求表达式，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量模的求法，考查平面向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则，，的大小关系为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的单调性判断的大小关系，由判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】由，，，则.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的单调性，考查对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎6.函数零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.‎ ‎【详解】依题意可知在上为增函数，且，，，所以函数零点在区间.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.‎ ‎7.甲、乙两班在我校举行“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 8 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给中位数和平均数，求得的值，根据等差中项和等比中项的性质求得的关系式，进而利用基本不等式求得所求表达式的最小值.‎ ‎【详解】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，，，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b 成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数、中位数的概念，考查等差中项、等比中项的性质，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.‎ ‎8.函数图像的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值对图像进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】由于函数的定义域为，，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，故排除D选项.而，排除C选项，，由于，所以，而，由此排除A选项.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎9.设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点得到椭圆中的c＝2，再根据离心率为，求出a＝4，进而得到b的值即可得到结论．‎ ‎【详解】因为抛物线4x2＝y，即x2y，的焦点为：（0，），‎ 由题得：椭圆的上焦点为（0，），即c＝‎ 又因为离心率为，‎ 所以：⇒a＝，b 椭圆方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的基本性质，注意抛物线的方程的标准形式及焦点位置，避免错选A．‎ ‎10.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）‎ A. 是互斥事件，不是对立事件 B. 是对立事件，不是互斥事件 C. 既是互斥事件，也是对立事件 D. 既不是互斥事件也不是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.‎ ‎【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A ‎【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.‎ ‎11.圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进而求得体积.‎ ‎【详解】设圆柱的底面直径为，高为，则，解得.故圆柱的底面直径为，高为，所以圆柱内最大球的直径为，半径为，其体积为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆柱侧面展开图有关计算，考查圆柱内的最大球的体积的求法，属于基础题.‎ ‎12.已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得．‎ ‎【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：‎ 因为：，所以，‎ 在三角形ADC中，，‎ 在三角形BDC中，，‎ ‎，，‎ ‎．设 结合二次函数的性质得到：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13.不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式右边化为零，然后利用分式不等式的解法，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由得，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎14.已知数列中，，，则数列的通项公式是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用累积法求得数列的通项公式，‎ ‎【详解】依题意，当时，所以 ‎，当时上式也符合，故数列的通项公式是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎15.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.‎ ‎【详解】依题意.所以方差为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，若存在实数，当时，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所以，，得 则，‎ 令，得，‎ 又，则的取值范围为。‎ 点睛：分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到 ‎，，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可。‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；‎ ‎（II）讨论在区间上的单调性．‎ ‎【答案】（Ⅰ），对称中心为；（Ⅱ）增区间；减区间 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）化简函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，根据和三角函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，函数 ‎，‎ 所以函数的最小正周期，‎ 令，即，即，解得 所以函数的对称中心为.‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，‎ 令，解得，‎ 令，解得，‎ 又因为，‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三家函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比中项的性质列方程，然后转化为的的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用裂项求和法、分组求和法求得数列的前n项和.‎ ‎【详解】（1）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．‎ 所以，整理得，解得.‎ 故.‎ ‎（2）由于，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法、分组求和法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M)的数据，其频率分布直方图如图．‎ ‎（1）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过‎900M的概率；‎ ‎（2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：‎ 套餐名称 月套餐费（单位：元）‎ 月套餐流量（单位：M）‎ A ‎20‎ ‎700‎ B ‎30‎ ‎1000‎ 流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含‎200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？‎ ‎【答案】(1)0.9；(2) 企业选择A套餐更经济 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）首先根据频率分布直方图小长方形的面积和也即频率之和为列方程，由此求得 的值.然后计算出流量不超过的概率.‎ ‎（2）分别计算选择套餐和套餐，每月使用流量的平均费用，由此确定该企业选择套餐更经济.‎ ‎【详解】（1）由题意知．‎ 所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过‎900M的概率为.‎ ‎（2）若该企业选择A套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，‎ 每月使用流量的平均费用为，‎ 若该企业选择B套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用为，‎ 所以该企业选择A套餐更经济．‎ ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识运用，考查利用频率分布直方图求解实际生活中的应用问题，属于基础题.‎ ‎20.如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD，，，．‎ ‎（1）求证：平面BDE；‎ ‎（2）当几何体ABCE的体积等于时，求四棱锥E-ABCD的侧面积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，证得，结合平面，证得，由此证得平面.‎ ‎（2）首先根据三棱锥的体积公式结合等体积法，利用几何体的体积为列方程，解方程求得的长，进而计算的的长，证得三角形为直角三角形，由此计算出四棱锥的侧面积.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接，，四边形为矩形，‎ 则直角梯形中，，，‎ ‎，即，‎ 又平面，平面，‎ ‎，‎ 又 平面,‎ ‎（2）由于平面，平面，所以平面平面，而，所以平面，所以，‎ ‎，‎ 解得，‎ 又，，，又，；而，所以，故三角形为直角三角形.‎ 所以四棱锥E-ABCD的侧面积为 ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积有关计算，考查四棱锥侧面积有关计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21.已知，若动点满足，设线段的中点为 ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足 ‎，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用代入法求出点的轨迹方程；‎ ‎（2）联立直线与圆方程求得再根据题目条件联立即可求得直线方程。‎ 解析：(1)因为，，且 所以，‎ 化简得，即 ①‎ 设，由中点坐标公式得，即 ②‎ 将②代入①得：‎ 所以点的轨迹方程为. ‎ ‎（2）由消去得 整理得 所以 由已知得 所以 即，即 所以 所以直线的方程为或 即或. ‎ 点睛：遇到这样的条件时，要想到阿波罗尼斯圆，计算得到点的轨迹方程是圆，联立直线与圆的方程，然后求得两根之和与两根之积，来表示两根之差，从而计算出结果。‎ ‎22.已知函数，‎ ‎（1）若，，判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 减函数，证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得的解析式，然后判断函数在递减，并利用单调性的定义，证明结论成立.‎ ‎（2）将原不等式等价转化为存在，使得，求得的取值范围，首先证得恒成立，然后对分成和两种情况分类讨论，结合求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1），且，‎ ‎，在上为减函数 证明：任取、，且，‎ ‎，即 在上为减函数.‎ ‎（2），‎ 对任意，存在，‎ 使得成立，‎ 即存，使得，‎ 当，为增函数或常函数，‎ 此时，‎ 则有恒成立 当时，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查存在性问题和恒成立问题组合而成的不等式的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎