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- 2021-06-16 发布
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第五章 数系的扩充与复数的引入
2.1
复数的加法与减法
知识回顾
复数的几何意义是什么?
复数 与 平面向量 =(
a,b
)
或 点 (
a,b
)一一对应
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则?
设
Z
1
=a+bi
,
Z
2
=c+di (a
、
b
、
c
、
d∈R)
是任意两个复数,那么它们的和
:
(
a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
注
:
(
1
)
复数的加法运算法则是一种规定。当
b=0
,
d=0
时与实数加法法则保持一致
(
2
)很明显,两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
复数的加法法则:
新课讲授
1.
计算
已知
Z
1
=a+bi,Z
2
=c+di
,若
Z
1
+Z
2
是纯虚数,则有( )
A.a-c=0
且
b-d≠0
B. a-c=0
且
b+d≠0
C. a+c=0
且
b-d≠0
D.a+c=0
且
b+d≠0
D
练习
证:
设
Z
1
=a
1
+b
1
i
,
Z
2
=a
2
+b
2
i
,
Z
3
=a
3
+b
3
i (a
1
,
a
2
,
a
3
,
b
1
,
b
2
,
b
3
∈R)
则
Z
1
+Z
2
=
(
a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i
,
Z
2
+Z
1
=
(
a
2
+a
1
)+(b
2
+b
1
)i
显然
Z
1
+Z
2
=Z
2
+Z
1
同理可得
(Z
1
+Z
2
)+Z
3
=Z
1
+(Z
2
+Z
3
)
点评
:实数加法运算的交换律、结合律在复数集
C
中依然成立。
探究
?
复数的加法满足交换律,结合律吗?
Z
1
+Z
2
=Z
2
+Z
1
(Z
1
+Z
2
)+Z
3
=Z
1
+(Z
2
+Z
3
)
复数的加法满足交换律、结合律,即对任意
Z
1
∈C
,
Z
2
∈C
,
Z
3
∈C
y
x
O
设 及 分别与复数 及复数 对应,则
∴
向量 就是与复数
对应的向量
.
探究?
复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗?
复数的加法可按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义
思考?
复数是否有减法?
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
设
Z
1
=a+bi
,
Z
2
=c+di (a
、
b
、
c
、
d∈R)
是任
意两个复数,那么它们的差:
思考?
如何理解复数的减法?
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足
(
c+di
)
+
(
x+yi
)
= a+bi
的复数
x+yi
叫做复数
a+bi
减去复数
c+di
的
差
,记作 (
a+bi
)
-
(
c+di
)
事实上,由复数相等的定义,有:
c+x=a
,
d+y=b
由此,得
x=a
-
c
,
y=b
-
d
所以
x+yi=(a
-
c)+(b
-
d)i
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
设 及 分别与复数 及复数 对应,则
,
y
x
O
复数减法的几何意义
:
1
、
|z
1
|= |z
2
|
平行四边形
OABC
是
2
、
| z
1
+ z
2
|
=
| z
1
- z
2
|
平行四边形
OABC
是
3
、
|z
1
|= |z
2
|
,
| z
1
+ z
2
|
=
| z
1
- z
2
|
平行四边形
OABC
是
z
1
z
2
z
1
+z
2
o
z
2
-z
1
A
B
C
菱形
矩形
正方形
复数加减法的几何意义
例
1
:设
z
1
= x+2i,z
2
= 3-yi(x,y∈R),
且
z
1
+z
2
= 5 - 6i,
求
z
1
-z
2
解:∵
z
1
=x+2i
,
z
2
=3-yi
,
z
1
+z
2
=5-6i
∴(3+x)+(2-y)i=5-6i
∴z
1
- z
2
= (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
3+x=5,
2-y=-6.
∴
x=2
y=8
∴
例
2
、计算
(
2
-
3
i
)
+
(
-8
-
3
i
)
-
(
3
-
4
i
)
解:
(
2
-
3
i
)
+
(
-8
-
3
i
)
-
(
3
-
4
i
)
=
(
2
-
8
-
3
)
+
(
-
3
-
3
+4
)
i
= -9
-
2
i
.
练习
2
、计算:(
1
)
(
-
3
-
4i)+(2+i)
-
(1
-
5i)=___________
(
2
)
(
3
-
2i)
-
(2+i)
-
(________)=1+6i
3
、已知
x∈R
,
y
为纯虚数,且(
2x
-
1)+i=y
-
(3
-
y)i
则
x=_______ y=_______
-
2+2i
-
9i
-
4i
分析:依题意设
y=ai
(
a∈R
),则原式变为:
(
2x
-
1)+i=(a
-
3)i +ai
2
=
-
a+( a
-
3)i
-
由复数相等得
2x
-
1=
-
a
a
-
3=1
x=
y=
4i
练习
4
、已知复数
Z
1
=
-
2+i
,
Z
2
=4
-
2i
,试求
Z
1
+Z
2
对应
的点关于虚轴对称点的复数。
分析:先求出
Z
1
+Z
2
=2
-
i
,所以
Z
1
+Z
2
在复平面内对
应的点是
(2
, -
1)
,其关于虚轴的对称点为
(
-
2
, -
1)
,故所求复数是-
2
-
i
答案:-
2
-
i