【数学】吉林省长春市农安县2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 18页

吉林省长春市农安县2019-2020学年 高二下学期期末考试（理）‎ 说明：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎ 2．答卷前，务必将班级、姓名、座位号填在答题卡相应位置上.‎ ‎ 3．考试结束后，只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎2．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（　　）‎ A．18 种　　　　　B．24 种　　　　　C．45 种　　　　　D．90 种 ‎4．的二项展开式中的常数项为（　　）‎ A．20　　　　　　B．15　　　　　　C．10　　　　　　D．5‎ ‎5．已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎6．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为.比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）制”，则甲获胜的概率是（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎7．设随机变量，则等于（　　）‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　Ｄ．‎ ‎8．已知随机变量，若，则实数n的值为（　　）‎ A．4　　　　　　　B．6　　　　　　　C．8　　　　　　　D．24‎ ‎9．已知随机变量服从正态分布, 且, 则 （　　）‎ A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．‎ ‎10．下列关于回归分析的说法中错误的有（　　）个 ‎①.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．‎ ‎②.回归直线一定过样本中心（，）．‎ ‎③.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ ‎④.甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．‎ A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1‎ ‎11．设是一个离散型随机变量，其分布列为：则等于（　　）‎ ‎0‎ ‎1‎ A． B． C． D．‎ ‎12．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）‎ A．模型3的相关指数为0.50 B．模型2的相关指数为0.80‎ C．模型1的相关指数为0.98 D．模型4的相关指数为0.25‎ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）‎ 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13．在的展开式中，含项的系数是________.‎ ‎14．铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).‎ ‎15．已知变量线性相关，由观测数据算得样本的平均数，线性回归方程中的系数满足，则线性回归方程为___________.‎ ‎16．在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为 ‎__________．‎ 三.解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？‎ ‎（1）甲、乙、丙3人相邻 ‎（2）甲、乙、丙3人不相邻 ‎18．在9展开式中.‎ ‎（1）求常数项；‎ ‎（2）这个展开式中是否存在x2项？若不存在，说明理由；若存在，请求出来.‎ ‎19．已知展开式中的第三项的系数为，求：‎ ‎（1）含的项；‎ ‎（2）二项式系数最大的项 ‎20．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.‎ ‎（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；‎ ‎（2）求的分布列.‎ ‎21．某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．‎ ‎22．(本小题满分12分)衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 总计 ‎110‎ ‎ (1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？‎ 参考公式与临界值表：‎ K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考答案 ‎(选修2-3)‎ 一、单选题 ‎1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由排列组合及简单的计数原理得：不同选法的种数是56，得解．‎ ‎【详解】‎ 每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，‎ 每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题．‎ ‎2．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 因为， ‎ ‎ 所以，所以样本中心点的坐标为，‎ ‎ 代入回归直线方程得，解得，故选C.‎ ‎3．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（ ）‎ A．18 种 B．24 种 C．45 种 D．90 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据每人教两个班，且没有区分，先从6个班中选2个给一位教师，再从4个班中选2个给一位教师，然后剩余的2个班分配给剩下的教师即可.‎ ‎【详解】‎ 因为三名教师教六个班的课，每人教两个班，‎ 所以分配方案共有种，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查组合中的分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．的二项展开式中的常数项为（ ）‎ A．20 B．15 C．10 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到展开式的通项为，令，即可求得展开式的常数项.‎ ‎【详解】‎ 由题意，二项式展开式的通项为，‎ 令，可得展开式的常数项为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎5．已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由随机变量ξ的分布列的性质得：，由此能求出实数m．‎ ‎【详解】‎ ‎∵随机变量ξ的分布列为 解得实数 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为.比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）制”，则甲获胜的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立事件的概率求法，甲获胜，则打了五局，且第五局甲胜.‎ ‎【详解】‎ 由题意，前四局甲胜2局，第五局甲胜，‎ 所以甲获胜的概率是，‎ ‎ .‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立事件的概率求法，属于基础题.‎ ‎7．设随机变量，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由随机变量，根据独立重复试验的概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，随机变量，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项分布的概率的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．已知随机变量，若，则实数n的值为（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用二项分布的期望与方差公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意①，②，由①②可得，，‎ 所以，.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查已知二项分布的期望和方差求参数的问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.‎ ‎9．已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，由正态密度曲线的对称性得出 ‎，于是得出可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题可知，，‎ 由于，所以，，‎ 因此，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎10．下列关于回归分析的说法中错误的有（ ）个 ‎①.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．‎ ‎②.回归直线一定过样本中心（，）．‎ ‎③.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ ‎④.甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析: 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．‎ 详解：对于(1) 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故（1）错误；‎ 对于（2），回归直线一定过样本中心，（2）正确；‎ 对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，（3）正确；‎ 对于（4），越大，拟合效果越好，故（4）错误；‎ 故选C 点睛：本题主要考查线性相关指数的理解，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题．‎ ‎11．设是一个离散型随机变量，其分布列为：则等于( )‎ ‎0‎ ‎1‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分布列概率和为1，列出方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，‎ 可得，解得，（舍去）．‎ 当时，，此题无解．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散性随机变量的分布列的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎12．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）‎ A．模型3的相关指数为0.50 B．模型2的相关指数为0.80‎ C．模型1的相关指数为0.98 D．模型4的相关指数为0.25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相关指数的意义判断得解.‎ ‎【详解】‎ 相关指数越接近1，则模型的拟合效果更好，‎ 所以模型1的相关指数为0.98时，拟合效果最好.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查相关指数的意义性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在的展开式中，含项的系数是________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的项的系数即可.‎ ‎【详解】‎ 的展开式中，含项的系数即为的项的系数，也即.‎ 故答案为：15.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题.‎ ‎14．铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得三个年级的分配人数为2、1、1，再利用排列组合列式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得三个年级的分配人数为2、1、1，‎ 所以不同的分法有.‎ 故答案为36‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．已知变量线性相关，由观测数据算得样本的平均数，线性回归方程中的系数满足，则线性回归方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线过样本点的中心，可列出方程组，即可解得的值，从而写出回归直线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题知，点在回归直线上，则，‎ 又，‎ 所以，即回归直线方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归直线过样本点中心这一特征，考查了方程的思想，属于基础题.‎ ‎16．在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.‎ ‎【详解】‎ 从7个球里取3个球，共有 种可能的情况，‎ 全是红球的情况有，全是白球的情况有，‎ 将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，‎ 所以概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？‎ ‎（1）甲、乙、丙3人相邻 ‎（2）甲、乙、丙3人不相邻 ‎【答案】（1）720；（2）1440‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将甲、乙、丙3人看作一个整体，利用捆绑法求解；‎ ‎（2）可先排其余4人，再利用插空法排甲、乙、丙.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将甲、乙、丙3人看作一个整体，与其余4人全排列，有种排法，而甲、乙、丙3人有种排法，故共有=720种不同的排法；‎ ‎（2）可先排其余4人，然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中，故共有=1440种不同的排法.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查捆绑法和插空法解排列应用题，是基础题.‎ ‎18．在9展开式中.‎ ‎（1）求常数项；‎ ‎（2）这个展开式中是否存在x2项？若不存在，说明理由；若存在，请求出来.‎ ‎【答案】（1）常数项为 ‎（2）不存在，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出的通项：，令，即得解；‎ ‎（2）假设展开式中存在x2项，则，可得，与矛盾，即得解 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意：的通项公式为：‎ ‎ ‎ 令 ‎ 故常数项为：‎ ‎（2）这个展开式中是否不存在x2项，理由如下 假设展开式中存在x2项，则，‎ 与矛盾，故不存在 ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的通项的应用，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知展开式中的第三项的系数为，求：‎ ‎（1）含的项；‎ ‎（2）二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出二项展开式的通项，利用展开式中第三项的系数为求出的值，再令的指数为，求出参数的值，进而可求得展开中含的项；‎ ‎（2）利用二项式系数的对称性可求得二项式系数最大的项.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）展开式的通项为，‎ 由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，‎ ‎，解得，则展开式通项为，‎ 令，解得，因此，展开式中含的项为；‎ ‎（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项展开式中指定项的计算，同时也考查了二项式系数对称性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.‎ ‎（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；‎ ‎（2）求的分布列.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据相互独立事件同时发生的概率乘法公式即可得出结果；‎ ‎（2）随机变量的可能取值为、、、，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以，随机变量的分布列如下：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎21．某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得出随机变量的分布列；‎ ‎（2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括、，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，‎ ‎，，，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ ‎（2）记事件去执行任务的同学中有男有女，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用概率的加法公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎22．(本小题满分12分)衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 总计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？‎ 参考公式与临界值表：‎ K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解　(1)‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎(2)根据列联表中的数据，得到 K2＝≈7.486<10.828.‎ 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．‎