安徽省黄山市黟县中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17页

www.ks5u.com 高一数学 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分计60分）‎ ‎1.若全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为全集，集合 ‎,‎ ‎,故选D.‎ ‎2.下列函数为同一函数的是　　‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过化解解析式，可得出选项A两函数解析式不同，不是同一函数．通过求定义域，可判断选项C，D错误.‎ 故选B．‎ ‎【详解】解：A．，，解析式不同，不是同一函数；B.与的解析式相同，定义域相同，是同一函数；C.的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】考查函数的三要素，判断两函数是否相同的方法：定义域和解析式是否都相同．‎ ‎3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)‎ A. － B. －‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－,故选A.‎ ‎4.设，，，则a，b，c的大小关系为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．‎ ‎【详解】解：，，，．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要利用对数的运算性质对数值的大小进行比较，是基础题．‎ ‎5.已知，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由 ‎．故选C.‎ 考点：本题考查对数和指数运算．‎ ‎6.下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以看出 ， ， 在定义域内都没有单调性.‎ 故选D．‎ ‎【详解】解：，和在定义域内都没有单调性．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】考查反比例函数，二次函数及函数的单调性，奇函数的定义．‎ ‎7.已知函数的图象如图所示，则函数的图象为　　‎ A ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象，可得a，b的范围，结合指数函数的性质，即可得函数的图象.‎ ‎【详解】解：通过函数的图象可知：，当时，可得，即．函数是递增函数；排除C，D．当时，可得，，，．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.‎ ‎8.设，则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数单调性，先得到，再由奇函数的定义，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数在上单调递减，所以，‎ 又函数奇函数，所以只需；‎ 当时，有，满足题意；‎ 当时，，不满足题意；‎ 当时，，满足题意；‎ 当时，，定义域为，不关于原点对称，所以函数非奇非偶，不满足题意；‎ 综上，满足题意的有和.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性确定参数的取值，熟记幂函数的单调性，以及函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎9.若偶函数在（-∞，-1）上是增函数,则下列关系式中成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为是偶函数,所以,又因为在（-∞，-1）上是增函数, ,所以有,即.‎ 故选A ‎10.若是不等式的一个解，则该不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，求出，再由对数函数的性质，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为是不等式的一个解，‎ 所以，因此，‎ 所以由可得：，‎ 即，解得：或，‎ 即不等式的解集为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查解对数型不等式，熟记对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎11.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数，‎ 所以当时，递减，即，当时，递减，即，‎ 且，解得，‎ 综上可知实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．‎ 考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.‎ 二、填空题（每题5分，计20分）‎ ‎13.设函数=，则= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ 答案：．‎ ‎14.函数的图象恒过定点,在幂函数的图象上，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意有：，‎ 因此满足，则 所以．‎ 故答案为3.‎ ‎15.已知的定义域为，则函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为的定义域为，‎ 因此求函数的定义域，只需满足，‎ 即，即，即，‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，熟记抽象函数定义域的求法即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 令，则由题意可得函数在区间上为增函数且，故有，由此解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，则由函数，在区间上为减函数，‎ 可得函数在区间上为增函数且，故有，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题；求复合函数的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.‎ 三、解答题 ‎17.计算化简 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；‎ ‎（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎18.设函数的定义域为，函数的值域为．‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）计算．‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的解析式，得到，求解，即可得出；由，结合二次函数与对数函数的性质，即可得出；‎ ‎（2）由（1）的结果，求出，再与集合求交集，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）为使有意义，只需，即，‎ 解得：，即；‎ 因为，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查求具体函数定义域，对数型复合函数的值域，以及补集与交集的混合运算，熟记对数函数性质，交集与补集的概念即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知在上是单调递减的一次函数，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求函数在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意，设，根据，得到，由对应系数相等，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为在上是单调递减的一次函数，‎ 所以设，‎ 又，所以，‎ 即，所以，解得：，‎ 因此；‎ ‎（2）由（1）可得：是开口向上，对称轴为的二次函数，‎ 当时，函数在上单调递增，所以；‎ 当，即时，函数在上单调递减，所以；‎ 当时，，函数在上单调递减，在 上单调递增，所以；‎ 综上，函数在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，以及二次函数的值域，利用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎20.函数是上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求的解析式并画出函数的图像；‎ ‎（2）求的根的个数.‎ ‎【答案】（1）；图像见详解；（2）见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得，根据已知解析式，得到，再由函数是奇函数，即可得出解析式；根据解析式作出图像即可；‎ ‎（2）由（1）的图像，得到与直线交点个数的情况，再由方程的根的个数，即是与直线的交点个数，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）若，则，因为当时，，‎ 所以，‎ 又函数是上的奇函数，所以，因此；‎ 易知，‎ 所以；‎ 画出其图像如下：‎ ‎（2）由（1）中图像可得：当或时，与直线有一个交点；‎ 当或时，与直线有两个交点；‎ 当时，与直线有三个交点；‎ 因为方程的根的个数，即是与直线的交点个数，‎ 因此，当或时，的根的个数为个；‎ 当或时，的根的个数为个；‎ 当时，的根的个数为个；‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及判定方程根的个数情况，熟记函数奇偶性的性质，以及数形结合的方法求解方程根的问题即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数f(x)＝ 为奇函数．‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；‎ ‎(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.‎ ‎【答案】(1) b＝0(2)见解析(3) (1，)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据，求得的值；‎ 由可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间 上是减函数；‎ 由题意可得，再根据函数在区间上是减函数，可得，且，由此求得的范围．‎ 解析：(1)∵函数为定义在上的奇函数，‎ ‎(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．‎ 证明设，‎ 则有，‎ 再根据，可得 ，，，‎ 即 函数在区间(1，＋∞)上是减函数．‎ ‎(3)由不等式 可得 f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，‎ 再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且 求得，故不等式的解集为(1，)．‎ 点睛：根据函数的奇偶性求得参数的值，在解答函数中的不等式的问题中，需要用到函数的单调性和奇偶性，如果条件中没有给出单调性或者奇偶性就先证得，然后利用单调性求得结果．‎ ‎22.已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．‎ ‎(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；‎ ‎(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1） ； （2）单调递增区间是，单调递减区间是； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．‎ 显然a＝0时不合题意，从而必有 解之即可.‎ ‎(2)由f(1)＝1，可得f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．求出定义域，利用复合函数单调性判断f(x)的单调区间；‎ ‎(3) 假设存在实数a使f(x)最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，由此可求a的值.‎ ‎【详解】(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．‎ 显然a＝0时不合题意，从而必有即 解得a＞.‎ 即a的取值范围是.‎ ‎(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．‎ 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数定义域为(－1,3)．‎ 令g(x)＝－x2＋2x＋3,则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．‎ ‎(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，‎ 因此应有解得a＝‎ 故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，单调性以及最值，属中档题.‎ ‎ ‎