高中数学选修2-1公开课课件2_2_2椭圆方程及几何性质 69页

椭圆方程及几何性质 基础知识梳理 1 ．椭圆的定义 (1) 平面内一点 P 与两定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹， 即 若常数等于 | F 1 F 2 | ，则轨迹是 . 若常数小于 | F 1 F 2 | ，则轨迹 ． 注意： 一定要注意椭圆定义中限制 条件“大于 | F 1 F 2 |” 是否满足． | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a >| F 1 F 2 | 线段 F 1 F 2 不存在 (2) 平面内点 M 与定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离 d 的比是常数 e (0< e <1) 的点的轨迹，即 定点 F 为椭圆的 ，定直线 l 为椭 圆的 ． 该焦点对应的准线 焦点 2 ．椭圆中的几何量 (1) 长轴 | A 1 A 2 | ＝ ，短轴 | B 1 B 2 | ＝ ， 焦距 | F 1 F 2 | ＝ ，且满足 . 2 a 2 b a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 2 c 3 ．椭圆的几何性质 条件 { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a ， (2 a >| F 1 F 2 |)} { M | ＝ ＝ e (0< e <1)} 标准方 程及 图形 ( a > b >0) ( a > b >0) 顶点 轴 对称轴： ，长轴长： ， 短轴长： 焦点 准线 方程 A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) ， B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) ， B 1 ( － b, 0) ， B 2 ( b, 0) x 轴、 y 轴 | A 1 A 2 | ＝ 2 a | B 1 B 2 | ＝ 2 b F 1 ( － c, 0) ， F 2 ( c, 0) F 1 (0 ，－ c ) ， F 2 (0 ， c ) 焦半径 焦距 离心率 通径 | MF 1 | ＝ a ＋ ex 0 ， | MF 2 | ＝ a － ex 0 | MF 1 | ＝ a ＋ ey 0 ， | MF 2 | ＝ a － ey 0 | F 1 F 2 | ＝ 2 c ( c >0) ， c 2 ＝ a 2 － b 2 e ＝ (0< e <1) 强化训练 1 ． (2009 年陕西 )“ m > n >0” 是“方程 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ________ 条件． 答案：充要 2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过 P ( － 5,4) ，则椭圆的方程为 ________ ． 3 ． (08 年浙江 ) 已知 F 1 、 F 2 为椭圆 ＝ 1(5> b >0) 的两个焦点，过 F 1 的直线交椭圆于 A ， B 点，若 | F 2 A | ＋ | F 2 B | ＝ 12 ，则 | AB | ＝ ________. 解： 由椭圆定义知 | AF 1 | ＋ | AF 2 | ＝ 2 a ， | BF 1 | ＋ | BF 2 | ＝ 2 a ，所以 | AF 1 | ＋ | BF 1 | ＋ | AF 2 | ＋ | BF 2 | ＝ 4 a ，即 | AB | ＋ | AF 2 | ＋ | BF 2 | ＝ 4 a ，∴ | AB | ＝ 4 a － (| F 2 A | ＋ | F 2 B |) ＝ 4×5 － 12 ＝ 8. 4 （ 2010 全国卷）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ， 且 BF=2FD ，则 C 的离心率为 . 5 （ 2010 湖北） : 已知椭圆 的两焦点分别为 , 点 满足 , 则 | |+| | 的取值范围为 _______ ，直线 与椭圆 C 的公 共点个数 _____ 。 利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题． 椭圆的定义及应用 考点一 例 1 (09 北京 ) 椭圆 ＝ 1 的焦点为 F 1 、 F 2 ， 点 P 在椭圆上．若 | PF 1 | ＝ 4 ，则 | PF 2 | ＝ __ ； ∠ F 1 PF 2 的大小为 ____ ． 【 答案 】 　 2 　 120° 【 点评 】 　椭圆的定义具有鲜明的特 点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出 现时，才会出现椭圆的定义，因此，能 不能应用定义，也就应注意条件中是否 出现椭圆上的点与焦点的连线这种条 件． 椭圆中的最值问题 考点二 例 2 ： 求椭圆 上的动点 P 到其中 一个焦点 F 的距离的最大值和最小值。 x y P F 练习 1 ： 已知 A(-1,1),B(1,0) 点 P 在椭圆 上运动，求 PA+2PB 的最小值。 练习 2 ： 求 PA-PB 的范围。 练习 3 ： 求 PA+PB 的最大值。 练习 4 ： 求椭圆 上 的动点 P 到直线 的距离的最小值。 例 3 ： 设 P 是椭圆 在第一象限的点， A(2,0) 、 B(0,1) ， O 为原点，求四边形 OAPB 的面积的最大值 。 x y A O P B 练习 （ 2008 全国卷 ）设椭圆 中心在坐标原点，点 是 它的两个顶点，直线 与 相交于点 ，与椭圆相交于 两点。 （ Ⅰ ）若 ，求 的值； （ Ⅱ ）求四边形 面积的最大值． 。 小结：椭圆中最值问题的求解策略： 总方针：建立目标函数（或目标不等式） 具体方法 ： （ 1 ）转化成二次函数的最值问题。 （ 2 ）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。 （ 3 ）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。 （ 4 ）利用基本不等式放缩求最值。 椭圆标准方程的求法 (1) 定义法； (2) 待定系数法．若已知焦点的位置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为 Ax 2 ＋ By 2 ＝ 1 ，其中 A ， B 为不相等的正常数或由已知条件设 椭圆系 ( 如 ＝ λ ， λ >0) 来求解，以 避免讨论和繁琐的计算． 椭圆的标准方程 考点三 例 4 (2) 由题意，可知直线 l 的斜率存在，设 直线斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1) ，则有 M (0 ， k ) ． 设 Q ( x 1 ， y 1 ) ，由于 Q 、 F 、 M 三点共 线，且根据题意得 ( x 1 ， y 1 － k ) ＝ ±2( x 1 ＋ 1 ， y 1 ) ， 据题意得 ( x 1 ， y 1 － k ) ＝ ±2( x 1 ＋ 1 ， y 1 ) ， 解得 k ＝ 0 ， k ＝ ±4 ， 所以直线 l 的斜率为 0 或 ±4. 【 点评 】 　求椭圆的方程，关键在于 寻找到能求 a 2 ， b 2 的关系式或条件， 观察图形，由条件转化是常用到的解 题办法． 练习 1(09 年广东 ) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，椭圆 G 上一点到 F 1 和 F 2 的距离之和为 12. 圆 C k ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 kx － 4 y － 21 ＝ 0( k ∈R) 的圆心为点 A k . (1) 求椭圆 G 的方程； (2) 求△ A k F 1 F 2 的面积； (3) 问是否存在圆 C k 包围椭圆 G ？请说明理由． (3)∵ 椭圆 G 与圆心 A k 所在直线 y ＝ 2 均关于 y 轴对称． ∴ 不妨考虑 k ≥0 的情形，此时，圆心 A k ( － k, 2) 到椭圆 G 的右顶点 N (6,0) 的距离为 ∴点 N (6,0) 总在圆外；若 k <0 ， 由 ( － 6) 2 ＋ 0 － 12 k － 0 － 2 ＝ 15 － 12 k >0 ， 可知点 ( － 6,0) 在圆 C k 外． 所以任何圆 C k 都不能包围椭圆． 练习 2 、（ 2010 安徽理数）已知椭圆 E 经过点 A(2,3) ，对称轴为坐标轴，焦点在 x 轴上，离心率 0.5 。 (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程； (Ⅱ) 求角 F 1 AF 2 的角平分线所在直线的方程； (Ⅲ) 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 。 1 ．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式 Δ 来判断直线和椭圆相交、相切或相离． 2 ．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础． 直线与椭圆的关系 考点四 本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类： ①直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦 半径等； ②直线不过椭圆焦点． 处理的办法也分为两种： ①设而不求 ( 点差法，涉及中点）； ②直线与椭圆联立方程组，运用韦达定理处理． 例 5 设 F 1 、 F 2 为椭圆 C ： ＝ 1( a > b >0) 的左、右两个焦点，若椭圆 C 上点 A (1 ， ) 到 F 1 、 F 2 两点的距离之和等于 4. (1) 求出椭圆 C 的方程和焦点坐标； (2) 过点 P (0 ， ) 的直线与椭圆交于两点 M 、 N ，若以 M 、 N 为直径的圆通过原 点，求直线 MN 的方程． 【 解 】 　 (1) 椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F 1 、 F 2 两点的距离之和是 4 ，得 2 a ＝ 4 ，即 a ＝ 2. 总结： 直线与椭圆相交往往是联立方程 组，利用韦达定理等知识，但某些条件 的转化应用往往是解题的突破口和关 键，如本题中向量数量积的应用，这就 要求解题过程中对条件的分析要准确， 与其它知识点的转化要熟练． 练习 1 ．已知 F 1 ， F 2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，且∠ F 1 PF 2 ＝ 60°. (1) 求椭圆的离心率的范围； (2) 求证：△ F 1 PF 2 的面积与椭圆的长轴无关． 练习 2 (1) 求椭圆的方程； (2) 若直线 AB 过椭圆的焦点 F (0 ， c )( c 为半 焦距 ) ，求直线 AB 的斜率 k 的值； (3) 试问：△ AOB 的面积是否为定值？如 果是，请给予证明；如果不是，请说明 理由． 征服畏惧、 建立自信的最快 最确实的方法， 就是去做你害怕的事， 直到你获得 成功的经验。 试卷 18 题 主要问题有两类， 第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何 性质， 第二类根据椭圆的几何性质，综合其 他知识求椭圆方程或者研究其他问 题，这一类利用性质是关键． 椭圆的几何性质 考点五 例 6 (1) 求椭圆 C 的方程． (2) 椭圆 C 上任一动点 M ( x 0 ， y 0 ) 关于直线 y ＝ 2 x 的对称点为 M 1 ( x 1 ， y 1 ) ，求 3 x 1 － 4 y 1 的 取值范围． ∴3 x 1 － 4 y 1 ＝－ 5 x 0 . ∵ 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆 C ： ＝ 1 上，∴－ 2≤ x 0 ≤2 ， ∴ － 10≤ － 5 x 0 ≤10. 即 3 x 1 － 4 y 1 的取值范围为 [ － 10,10] ． 总结：椭圆的几何性质如离心率题， 范围问题都是常考的内容，本题中是 利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转 化的，这是解决有关范围问题常用的 一个方法，但并不是惟一的方法，题 目设置的条件不同，采用的方法也会 随之不同，因此，需要在平时总结不 同的题型，以便归纳规律和方法． 练习： (2010 年苏、锡、常、镇调研 ) 已知中心在原点 O ，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，点 A 、 B 分别是椭圆 C 的长轴、短轴的端点，点 O 到直线 AB 的距离为 . (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 已知点 E (3,0) ，设点 P 、 Q 是椭圆 C 的两个 动点，满足 EP ⊥ EQ ，求 的取值范 围． 规律方法总结 1 ．椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义． 在第一定义中，描述椭圆为“到两定点的距离之和等于定长的点的集合 ( 轨迹 )” ，其中限制条件为“两定点间距离小于定长”，这个定义中的条件是常考内容； 在第二定义中，描述椭圆为“到定点和定直线的距离之比等于常数 e (0< e <1) 的点的轨迹”，其中定点和定直线被称为椭圆的焦点和相应 准线．两种定义形式各有侧重，前者对从圆到椭圆的过渡起到一定作用，容易形成距离之和为定值的“焦点三角形”；后者的作用是将两种不同性质的距离 ( 到定点的距离，到定直线的距离 ) 进行了转化 ( 特别提示：“化斜为直”的应用 ) ．因此，在解题中凡涉及点到焦点距离时，可先想到用定义来解决，往往有事半功倍之效． 2 ．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理 解椭圆中的几何量 a 、 b 、 c 、 e 、 等之间的关系 ( 如 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ， a > b >0 ， e ＝ 等 ) 及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点在 x 轴或 y 轴上，则标准方程惟一；若无法确定焦点位置，则需考虑两种形式． 3 ．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法 ( 先定性、再定型、后定参 ) ． 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ＝ 1( m >0 ， n >0) ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax 2 ＋ By 2 ＝ 1( A >0 ， B >0) ，这种形式在解题中简便． 4 ．熟练掌握常用基本方法的同 时，注意体会解题过程，并优化解 题思维，特别是化简的过程需仔细 揣摩．