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- 2021-06-16 发布
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独立性检验
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了
515
个成年人,其中吸烟者
220
人,不吸烟者
295
人,调查结果是:吸烟的
220
人中
37
人患
病
,
183
人不患
病
;不吸烟的
295
人中
21
人患
病
,
274
人不患
病
。
根据这些数据能否断定:患肺癌与
吸烟有关吗?
问题
:
患病
不患病
总计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
总计
58
457
515
问题
:
为了研究这个问题,我们将上述问题用下表表示:
列
2×2
联表
在不吸烟者中患病的比重是
在吸烟者中患病的比重是
7.12%
16.82%
上述结论能什么吸烟与患病有关吗?能有多大把握认为吸烟与患病有关呢?
患病
不患病
总计
吸烟
a
b
a+b
不吸烟
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
列出
2
×2
列联表
假设
H
0
:
吸烟和患病
之间没有关系
即
H
0
:
P(AB)
=
P(A)P(B)
其中
A
为某人吸烟,
B
为某人患病
设
n
=
a
+
b
+
c
+
d
则
P(A)
P(B)
故
P(AB)
吸烟且患病人数
吸烟但未患病人数
不吸烟但患病人数
不吸烟且未患病人数
怎样描述实际观测值与估计值的差异呢?
统计学中采用
即
独立性检验
第一步:
H
0
:
吸烟
和
患病
之间没有关系
通过数据和图表分析,得到结论是:
吸烟与患病有关
结论的可靠程度如何?
患病
不患病
总计
吸烟
a
b
a+b
不吸烟
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
第二步:列出
2
×2
列联表
用
χ
2
统计量研究这类问题的方法
步骤
第三步:引入一个随机变量:
卡方统计量
第四步:查对临界值表,作出判断。
P(
χ
≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P(
χ
≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.1%
把握认
为
A
与
B
无关
1%
把握认为
A
与
B
无关
99.9%
把握认
为
A
与
B
有关
99%
把握认
为
A
与
B
有关
90%
把握认
为
A
与
B
有关
10%
把握认为
A
与
B
无关
没有充分的依据显示
A
与
B
有关,但也不能显示
A
与
B
无关
例如
独立性检验
通过公式计算
患病
不患病
总计
吸烟
49
2099
2148
不吸烟
42
7775
7817
总计
91
9874
9965
H
0
:
吸烟
和
患病
之间没有关系
解
:
已知在 成立的情况下,
故有
99.9%
的把握认为
H
0
不成立,即有
99.9%
的把握认为
“
患病与吸烟有关系
”
。
即在 成立的情况下, 大于
10.828
概率非常小,近似为
0.001
现在的
=56.632
的观测值远大于
10.828
,出现这样的观测值的概率不超过
0.001
。
反证法原理与假设检验原理
反证法原理:
在一个已知假设下,如果
推出一个矛盾
,就
证明
了这个假设不成立。
假设检验原理:
在一个已知假设下,如果
一个与该假设矛盾的小概率事件发生
,
就
推断
这个假设不成立。
例
1.
在
500
人身上试验某种血清预防感冒作用,把他们一年中的感冒记录与另外
500
名未用血清的人的感冒记录作比较,结果如表所示。问:该种血清能否起到预防感冒的作用?
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1000
解:设
H
0
:感冒与是否使用该血清没有关系。
因当
H
0
成立时,
χ
2
≥6.635
的概率约为
0.01
,故有
99%
的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。
P(χ≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P(χ≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
有效
无效
合计
口服
58
40
98
注射
64
31
95
合计
122
71
193
解:设
H
0
:药的效果与给药方式没有关系。
因当
H
0
成立时,
χ
2
≥1.3896
的概率大于
15%
,故不能否定假设
H
0
,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。
<
2.072
例
2
:为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关,进行了相应的抽样调查,调查的结果列在表中,根据所选择的
193
个病人的数据,能否作出药的效果和给药方式有关的结论?
P(χ≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
例
3
:气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比,所得数据如表所示,问:它们的疗效有无差异?
有效
无效
合计
复方江剪刀草
184
61
245
胆黄片
91
9
100
合计
275
70
345
解:设
H
0
:两种中草药的治疗效果没有差异。
因当
H
0
成立时,
χ
2
≥10.828
的概率为
0.001
,故有
99.9%
的把握认为,两种药物的疗效有差异。