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- 2021-06-16 发布
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高三年级理科数学试卷
1.复数2i1+i（i是虚数单位）的虚部为（ ）
A.−1
B.i
C.1
D.2
2.已知集合A={−1,1,2,3},B={x∣lnx<1}，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
(1)
A.{−1,1}
B.{3}
C.{2,3}
D.{−1,3}
3.已知等差数列{an} 中 ,a3+a4−a5+a6=8, 则 S7=（ ）
A.8
B.21
C.28
D.35
4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图所示，一 与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）
(1)
A.15
B.625
C.725
D.825
5.若a=23,b=log23,c=log32，则实数a，b，c之间的大小关系为（ ）
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>a>c
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=（ ）
(1)
A. 1
B.12
C.22
D.32
7.图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为（ ）
(1)
A.2
B.83
C.43
D.23
8.从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（ ）
A.300种
B.240种
C.144种
D.96种
9.已知点O(0,0),A(−1,1)，若O为双曲线x2−y2=1的右焦点，P是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA→⋅FP→的取值范围为（ ）
A.(2−1,1)
B.(1,2)
C.(2−1,2)
D.(2,+∞)
10.给出下列四个命题：①若样本数据x1,x2,⋯,x10的方差为16，则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的方差为64；②”平面向量a→,b→夹角为锐角，则a→⋅b→>0”的逆命题为真命题；③命题”∀x∈(−∞,0)，均有ex>x+1”的否定是”∃x0∈(−∞,0)，使得ex0⩽x0+1”；④a=−1是直线x−ay+1=0与直线x+a2y−1=0平行的必要不充分条件．
其中正确的命题个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
11.斐波那契数列{an}满足：a1=1,a2=1,an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论错误的是（ ）
(1)
A.Sn+1=an+12+an+1⋅an
B.a1+a2+a3+⋯+an=an+2−1
C.a1+a3+a5+⋯+a2n−1=a2n−1
D.4(cn−cn−1)=πan−2⋅an+1
12.若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A，且(2,+∞)⊆A，则整数k的最大值是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
13.设非零向量a→,b→满足a→⊥(a→−b→)，且|b→|=2|a→|，则向量a→与b→的夹角为________．
14.若x5=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋅⋅⋅+a5(x−2)5,则a0=________.
15.已知曲线f(x)=ln(x+1)+12x2 在点 (1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则2sin2α+sinαcosα=________.
16.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB=22，则|AB|=____.
17.在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．若1tanA+1tanC=233
(1)求角B的值；
(2) 数列{an}满足an=2n|cos32nB|，前n项和为Sn，求S2n值.
18.根据国家环保部新修订的《 环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2019年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如右表：
(1)这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
①求图中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估 计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.
(2)将频率视为概率，对于2019年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望.
19.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2.
(1)求证：EA⊥EC；
(2)若异面直线AE和DC所成的角为π6，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.
20.如图，抛物线C1:y2=2px的焦点为F，准线为ℓ，ℓ交x轴于点A，并截圆x2+y2=4所得弦长为23，M为平面内动点，△MAF周长为6．
(1)求抛物线C1:y2=2px方程以及点M的轨迹C2的方程；
(2)“过轨迹C2的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线l”交轨迹C2于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则|AB||F1M|为定值，且定值是212=4”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线C2，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的焦点M，AB的长度与F1、M两点间距离的比值。试类比上述命题，写出一个关于抛物线C1:y2=2px的类似的正确命题，并加以证明。
(3)试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）。
21.已知函数f(x)=xlnx+a.
(1)若函数y=f(x) 在 x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值；
(2)设m>0，当x∈[m,2m]时，求f(x)的最小值；
(3)求证：∀n∈N+,e1+1n>(1+1n)e.
22.如图，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，圆C1，C2，C3的方程分别为ρ=4sinθ,ρ=4sin(θ+2π3)，ρ=4sin(θ−2π3)．
(1)若C1，C2相交于异于极点的点M，求点M的极坐标(ρ>0,0⩽θ<2π)；
(2)若直线l：0=α（p∈R）与C1，C3分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．
高三年级理科数学参考答案
1.【能力值】无
【知识点】(1)复数的乘除运算
【详解】(1)略
【答案】(1)C
2.【能力值】无
【知识点】(1)集合基本运算的Venn图示
【详解】(1)略
【答案】(1)D
3.【能力值】无
【知识点】(1)等差数列的前n项和
【详解】(1)略
【答案】(1)C
4.【能力值】无
【知识点】(1)古典概型
【详解】(1)略
【答案】(1)A
5.【能力值】无
【知识点】(1)指数函数及其性质、对数函数及其性质
【详解】(1)略
【答案】(1)A
6.【能力值】无
【知识点】(1)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
【详解】(1)略
【答案】(1)D
7.【能力值】无
【知识点】(1)棱锥的表面积与体积、棱柱的展开图
【详解】(1)略
【答案】(1)B
8.【能力值】无
【知识点】(1)计数杂题
【详解】(1)略
【答案】(1)B
9.【能力值】无
【知识点】(1)平面向量数量积的坐标运算、双曲线的简单几何性质
【详解】(1)略
【答案】(1)C
10.【能力值】无
【知识点】(1)命题的概念与真假判断
【详解】(1)略
【答案】(1)B
11.【能力值】无
【知识点】(1)数列的递推公式
【详解】(1)略
【答案】(1)C
12.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数研究函数的最值
【详解】(1)略
【答案】(1)B
13.【能力值】无
【知识点】(1)平面向量的数量积与垂直
【详解】(1)略
【答案】(1)π3
14.【能力值】无
【知识点】(1)二项式定理的应用
【详解】(1)略
【答案】(1)32
15.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程
【详解】(1)略
【答案】(1)2413
16.【能力值】无
【知识点】(1)抛物线中的弦长与面积
【详解】(1)略
【答案】(1)8
17.【能力值】无
【知识点】(1)正弦定理
(2)等比数列的前n项和
【详解】(1)由已知得
∴sinBsinAsinC=233， ……………………………………………………………2分
由b2=ac,sin2B=sinAsinC得，sinBsin2B=233，………4分
∴sinB=32，a，b，c成等比数列，∴B=π3. ……………………………6分
(2)an=2n|cos32nB|=2n|cosnπ2| ………………………………8分
∴S2n=0+22+0+24+…+0+22n=4(1−22n)1−4=22n+2−43，………12分
【答案】(1)B=π3
(2)22n+2−43
18.【能力值】无
【知识点】(1)频率分布直方图
(2)离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数字特征
【详解】(1)①a的值为0.004 ……3分
②2016年该居民区PM2.5年平均浓度为
12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）
因为42.5>35，所以2016年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. ……7分
(2)由题意，PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，
X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=C30⋅(0.1)3=0.001
P(X=1)=C31⋅0.9⋅(0.1)2=0.027,P(X=2)=C32⋅(0.9)2⋅0.1=0.243
P(X=3)=C33⋅(0.9)3=0.729
∴X的分布列为
E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
或E(X)=3×0.9=0.27 ……12分
【答案】(1)①0.004
②该居民区的环境需要改进
(2)；2.7或0.27
19.【能力值】无
【知识点】(1)略
(2)二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题
【详解】(1)略
(2)如图， 以点O为坐标原点，AB所在的直线为y轴，过点O与BC平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O−xyz.
由异面直线AE和DC所成的角为π6，AB//DC知∠BAE=π6， ∴∠BOE=π3，
∴E(32a,12a,0)，由题设可知C(0,a,a)，D(0,−a,a)，∴DE→=(32a,32a,−a)，CE→=(32a,−12a,−a).设平面DCE的一个法向量为p→=(x0,y0,z0)，
由DE→⋅p→=0，CE→⋅p→=0得z0=32x0，y0=0，取x0=2，得z0=3.
∴p→=(2,0,3).又平面AEB的一个法向量为q→=(0,0,1)，∴cos=217.
平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值217. …………13分
【答案】(1)∵平面ABCD垂直于圆O所在的平面，两平面的交线为AB，BC⊆平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC垂直于圆O所在的平面.又EA在圆O所在的平面内，
∴BC⊥EA.
∵∠AEB是直角，
∴BE⊥EA，
∴EA⊥平面EBC,
∴EA⊥EC. …………6分
(2)217
20.【能力值】无
【知识点】(1)轨迹与轨迹方程
(2)抛物线中的动态性质证明
(3)直线与抛物线的位置关系
【详解】(1)略
(2)略
(3)略
【答案】(1)略
(2)略
(3)略
21.【能力值】无
【知识点】(1)利用导数求函数的切线方程
(2)利用导数研究函数的最值
(3)利用导数研究函数的单调性
【详解】(1)略
(2)略
(3)略
【答案】(1)略
(2)略
(3)略
22.【能力值】无
【知识点】(1)极坐标与极坐标方程
(2)极坐标与极坐标方程
【详解】(1)由{ρ=4sinθρ=4sin(θ+2π3)(ρ>0,0⩽θ<2π)
∴sinθ=sin(θ+2π3)，∴θ=π6， ……3分
∴ρ=2，∴点M的极坐标为(2,π6). ……5分
(2)设A(ρA,α),B(ρB,α)
|AB|=|ρA−ρh|=|4sinα−4sin(α−2π3)∣
=43|sin(α+π6)|⩽43
∴AB的最大值为43.
【答案】(1)(2,π6)
(2)43
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