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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与解三角形学案

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专题二 三角函数、平面向量 高考解答题专讲(二) 三角函数与解三角形 一、三角变换与三角函数的性质 ‎1.三角函数的恒等变形的通性通法是:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等.‎ ‎2.研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质,首先要将函数解析式化为标准形式,再结合图形求解.‎ ‎【例1】 (2017·黄冈中学模拟)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求当x∈时,函数g(x)的最大值.‎ ‎[解] (1)由题意知f(x)=sin2ωx+1+cos2ωx ‎=2sin+1,‎ ‎∵T=π,=π,∴ω=1,‎ ‎∴f(x)=2sin+1,‎ 令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈ ,得 +kπ≤x≤+kπ,k∈ .‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈ .‎ ‎(2)∵g(x)=2sin+1‎ ‎=2sin+1,‎ 当x∈时,-≤2x-≤,‎ ‎∴当2x-=,即x=时,g(x)max=2×1+1=3.‎ 解答此类题目思路是“一化二求”,即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)的形式,再研究其各种性质或求值.‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1.(2017·潍坊一模)已知函数f(x)=4sin·cosωx在x=处取得最值,其中ω∈(0,2).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若α为锐角,g(α)=-,求cosα.‎ ‎[解] (1)f(x)=4sin·cosωx ‎=2sinωx·cosωx-2cos2ωx ‎=(sin2ωx-cos2ωx)- ‎=2sin-,‎ ‎∵f(x)在x=处取得最值,∴2ω·-=kπ+,k∈ ,∴ω=2k+,k∈ ,∵ω∈(0,2),‎ 即0<2k+<2,∴-AD,所以AD=3.‎ ‎(2)在△ABD中,=,又由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,所以sin∠ADB=,‎ 则sin∠ADC=sin(π-∠ADB)=sin∠ADB=.‎ 因为∠ADB=∠DAC+∠C=+∠C,所以cos∠C=.‎ 在Rt△ADC中,cos∠C=,‎ 则tan∠C===,‎ 所以AC=3.‎ 则△ABC的面积S=AB·AC·sin∠BAC=×3×3×=6.‎

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