【数学】2019届一轮复习人教A版定积分与微积分基本定理学案 18页

第 12 讲　定积分与微积分基本定理 板块一　知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点 1　定积分的概念 在 ∫b a f(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] 叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积 式． 考点 2　定积分的性质 (1)∫b a kf(x)dx＝k∫b a f(x)dx(k 为常数)． (2)∫b a [f1(x)±f2(x)]dx＝∫b a f1(x)dx±∫b a f2(x)dx. (3)∫b a f(x)dx＝∫c a f(x)dx＋∫b c f(x)dx(其中 a＜c＜b)． 考点 3　微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 ∫b a f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱 布尼茨公式． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ba，即 ∫b a f(x)dx＝F(x)|ba＝F(b) －F(a)． [必会结论] 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若 f(x)为偶函数，则 ∫a -a f(x)dx＝2∫a 0 f(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数，则 ∫a -a f(x)dx＝0. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则∫b a f(x)dx＝∫b a f(t)dt.(　　) (2)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正， 则 ∫b a f(x)dx>0. (　　) (3)若 ∫b a f(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的 图形一定在 x 轴下方．(　　) (4)微积分基本定理中的 F(x)是唯一的．(　　) (5)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是∫1 0 (x2－x)dx.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．[课本改编] ∫1 -1 (x－1)dx＝(　　) A．2 B．－2 C.1 3 D.1 2 答案　B 解析　∫1 -1 (x－1)dx＝ ( x2 2 －x)| 1－1 ＝ ( 1 2 －1)－ ( 1 2 ＋1)＝－2. 3．[课本改编] ∫0 (sinx－acosx)dx＝2，则实数 a 等于(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　A 解析　由题知(－cosx－asinx) Error!＝1－a＝2，a＝－1.故选 A. 4．[2018·陕西模拟]定积分∫1 0 (2x＋ex)dx 的值为(　　) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1 答案　C 解析　∫1 0 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.故选 C. 5．[2018·南昌一模]若 ∫a 1(2x＋1 x)dx＝3＋ln 2(a＞1)，则 a 的值是 (　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　A 解析　由题意可知 ∫a 1(2x＋1 x)dx＝(x2＋ln x)|a1＝a2＋ln a－1＝3＋ ln 2，解得 a＝2. 6．[2018·衡阳一模]如图，阴影部分的面积是(　　) A．32 B．16 C.32 3 D.8 3 答案　C 解析　由题意得，阴影部分的面积 S＝∫1 -3 (3－x2－2x)dx＝ (3x－1 3x3－x2 )| 1－3＝32 3 . 板块二　典例探究·考向突破 考向 　定积分的计算 例　1　计算下列定积分： (1)∫2 1 2 x dx； (2)∫2 0 |1－x|dx； (3)∫1 0 1－(x－1)2dx. 解　(1)因为(ln x)′＝1 x ，所以 ∫2 1 2 x dx＝2∫2 1 1 x dx＝2ln x|21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2. (2)若 1－x≥0，则 x≤1， 若 1－x＜0，则 x＞1，于是 ∫2 0 |1－x|dx＝∫1 0 (1－x)dx＋∫2 1 (x－1)dx ＝ (x－1 2x2 )|10＋ ( x2 2 －x)|21＝1. (3)根据定积分的几何意义，可知 ∫1 0 1－(x－1)2dx 表示的是圆(x－ 1)2＋y2＝1 的面积的1 4 ，故 ∫1 0 1－(x－1)2dx＝π 4 . 触类旁通 求定积分时应注意的几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可 加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积 分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错； (5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分； (6)若 f(x)为奇函数，则∫a－af(x)dx＝0； (7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 【变式训练 1】　计算下列定积分： (1)∫1 0 1－x2dx； (2)∫π 0 cosxdx； (3)∫3 1(2x－1 x2)dx. 解　(1)y＝ 1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0. ∴∫1 0 1－x2dx 几何意义为1 4 个圆的面积． ∴∫1 0 1－x2dx＝π 4 . (2)因为(sinx)′＝cosx， 所以 ∫π 0 cosxdx＝sinx|π0＝sinπ－sin0＝0. (3)因为(x2)′＝2x， ( 1 x )′＝－1 x2 ，所以 ∫3 1(2x－1 x2)dx＝∫3 1 2xdx＋ ∫3 1(－1 x2)dx＝x2|31＋1 x|31＝22 3 . 考向 　利用定积分求图形的面积 命题角度 1　求曲线围成平面图形的面积 例　2　[2018·金版创新]曲线 y＝sinx 与 y＝ 2 π x 围成的封闭图形 的面积为(　　) A．1－π 4 B．2－π 2 C.π 2 D．2＋π 2 答案　B 解析　当 x＝π 2 时，sinπ 2 ＝1，2 π ×π 2 ＝1，故已知的两曲线在第一象 限的交点坐标为 ( π 2 ，1)，根据对称性，已知的两曲线在第三象限的交 点坐标为 (－π 2 ，－1)，故两曲线所围成的封闭图形的面积为 2∫0 (sinx－2 πx)dx＝2(－cosx－x2 π)Error!＝2[－π 4 －(－1) ]＝2－π 2 . 命题角度 2　已知曲线围成的面积求参数 例　3　[2018·合肥模拟]由曲线 f(x)＝ x与 y 轴及直线 y＝m(m＞ 0)围成的图形的面积为8 3 ，则 m 的值为(　　) A．2 B．3 C．1 D．8 答案　A 解析　S＝∫m2 0 (m－ x)dx＝ (mx－2 3x)Error!＝m3－2 3 m3＝8 3 ，解得 m ＝2. 命题角度 3　与概率的交汇问题 例　4　[2014·辽宁高考]正方形的四个顶点 A(－1，－1)，B(1，－ 1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线 y＝－x2 和 y＝x2 上，如图所示．若 将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概 率是________． 答案　2 3 解析　由几何概型的概率计算公式可知，所求概率 P＝ S 阴影 S 正方形＝ 2 (1－x2)dx 22 ＝ 8 3 4 ＝2 3 . 触类旁通 定积分解决有关图形面积的问题 (1)对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图 形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被 积区间． (2)已知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般 是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由 已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值． (3)与概率相交汇问题．解决此类问题应先利用定积分求出相应 平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算． 考向 　定积分在物理中的应用 例　5　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车， 以速度 v(t)＝7－3t＋ 25 1＋t (t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．在 此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 11 3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 答案　C 解 析 　 由 v(t) ＝ 0 ， 得 t ＝ 4. 故 刹 车 距 离 为 s ＝ ∫4 0 v(t)dt ＝ ∫4 0 (7－3t＋ 25 1＋t)dt＝ [－3 2t2＋7t＋25ln (1＋t) ]|40＝4＋25ln 5. 触类旁通 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝ v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝∫b a v(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向 从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝∫b a F(x)dx. 【变式训练 2】　设力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向 从 x＝1 运动到 x＝10，已知 F(x)＝x2＋1 且和 x 轴正向相同，求力 F(x) 对质点 M 所做的功． 解　W＝∫ 101 F(x)dx＝∫ 101 (x2＋1)dx＝ ( 1 3x3＋x)|101 ＝342.∴力对质 点 M 所做的功为 342 J. 核心规律 1.求定积分的方法 (1)定义法． (2)利用微积分基本定理求定积分． (3)利用定积分的几何意义求定积分． 2.求曲边多边形面积的步骤 (1)画图． (2)确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 满分策略 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负， 而定积分的结果可以为负． 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变 得简捷． 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列 4——平面图形的上下边界搞错致误 [2018·昆明模拟]如图，由两条曲线 y＝－x2，y＝－1 4 x2，及直线 y ＝－1 所围成的平面图形的面积为______． 错因分析　本题易出现的错误是： (1)误认为线段 CA，BD 是平面图形的下边界而得到错误答案； (2)被积函数搞错致误． 解析　由Error!得交点 A(－1，－1)，B(1，－1)． 由Error!得交点 C(－2，－1)，D(2，－1)． 所以所求面积 S＝2 [∫1 0 (－1 4x2＋x2 )dx＋ ∫2 1 (－1 4x2＋1)dx]＝4 3 . 答案　4 3 答题启示　(1)当平面图形的上(下)边界是不同的函数的图象时， 可在交点处做 x 轴的垂线，从而确定积分上、下限，分段求面积. (2)被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减 去下边界的函数解析式. 跟踪训练 [2018·贵州六校联考]求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1 3 x 所围成图 形的面积． 解　由Error!得交点 A(1,1)． 由Error!得交点 B(3，－1)． 故所求面积 S＝∫1 0( x＋1 3x)dx＋∫3 1(2－x＋1 3x)dx ＝ ( 2 3x＋1 6x2 )|10＋ (2x－1 3x2 )|31＝2 3 ＋1 6 ＋4 3 ＝13 6 . 板块四　模拟演练·提能增分 [A 级　基础达标] 1．[2018·郑州质检]已知 t 是常数，若∫t 0 (2x－2)dx＝8，则 t＝(　　) A．1 B．－2 C．－2 或 4 D．4 答案　D 解析　由∫t 0 (2x－2)dx＝8 得，(x2－2x)|t0＝t2－2t＝8，解得 t＝4 或 t＝－2(舍去)． 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在 第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为 v＝gt(g 为常数)，则 电视塔高为(　　) A.1 2 g B．g C.3 2 g D．2g 答案　C 解析　由题意知电视塔高为 ∫2 1 gtdt＝1 2 gt221＝2g－1 2 g＝3 2 g. 3．由曲线 y＝x2，y＝ x围成的封闭图形的面积为(　　) A.1 6 B.1 3 C.2 3 D．1 答案　B 解析　由Error!得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分 的面积)为 ∫1 0 ( x－x2)dx＝Error!|10＝1 3 . 4．[2018·江西模拟]若 S 1＝∫2 1 x2dx，S2＝∫2 1 1 x dx，S3＝∫2 1 exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为(　　) A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1 答案　B| 解析　S1＝1 3 x3|21＝8 3 －1 3 ＝7 3 ，S2＝ln x|21＝ln 2＜ln e＝1，S3＝ex|21＝e2 －e≈2.72－2.7＝4.59，所以 S2＜S1＜S3. 5．[2018·湖南长沙模拟]设 a＝∫1 0 cosxdx，b＝∫1 0 sinxdx，则下列关 系式成立的是(　　) A．a＞b B．a＋b＜1 C．a＜b D．a＋b＝1 答案　A 解析　∵(sinx)′＝cosx， ∴a＝∫1 0 cosxdx＝sinx|10＝sin1. ∵(－cosx)′＝sinx， ∴b＝∫1 0 sinxdx＝(－cosx) |10＝1－cos1. ∵sin1＋cos1＞1，∴sin1＞1－cos1，即 a＞b.故选 A. 6．已知函数 y＝x2 与 y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积 为9 2 ，则 k 等于(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 答案　C 解析　由Error!消去 y 得 x2－kx＝0，所以 x＝0 或 x＝k，则阴影 部分的面积为∫k 0 (kx－x2)dx＝ ( 1 2kx2－1 3x3 )|k0＝9 2 ，即 1 2 k3－1 3 k3＝9 2 ，解得 k ＝3. 7．[2018·吉林模拟]曲线 y＝2 x 与直线 y＝x－1 及 x＝4 所围成的封 闭图形的面积为(　　) A．2ln 2 B．2－ln 2 C．4－ln 2 D．4－2ln 2 答案　D 解析　如图所示，所求面积为阴影部分面积，其面积为四边形 ABDE 的面积减去不规则图形 ABCE 的面积，故 S＝∫4 2 (x－1)dx－∫4 2 2 x dx ＝ ( 1 2x2－x)|42－2ln x|42＝4－2ln 2.选 D. 8．[2018·山西模拟]已知函数 f(x)＝Error! 则 ∫2 -2 f(x)dx＝________. 答案　π＋6 解析　f(x)＝Error!则 ∫2 -2 f(x)dx＝ ∫0 -2 4－x2dx＋∫2 0 (x＋2)dx ＝π 4 ×22＋ ( 1 2x2＋2x)|20＝π＋6. 9．设 a>0.若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的面 积为 a，则 a＝________. 答案　9 4 解析　S＝∫a 0 xdx＝2 3 x |a0＝2 3 a3 2 ＝a，解得 a＝9 4 . 10．[2018·福建模拟]如图所示，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐 标为(2,4)，函数 f(x)＝x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自 阴影部分的概率等于________． 答案　 5 12 解析　依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S＝ 1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－∫2 1 x2dx＝4－1 3 x3|21＝4－7 3 ＝5 3 ，根 据几何概型的概率计算公式得，所求的概率 P＝S 阴影 S ＝ 5 3 4 ＝ 5 12 . [B 级　知能提升] 1．[2018·山西模拟]定积分∫2 －2 |x2－2x|dx＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　∵|x2－2x|＝Error! ∴∫2 －2 |x2－2x|dx＝∫0 -2 (x2－2x)dx＋∫2 0 (－x2＋2x)dx＝ ( 1 3x3－x2 )| 0－2＋ (－1 3x3＋x2 )|20＝8. 2．[2018·丰台模拟]由曲线 y＝1 x 与 y＝x，x＝4 以及 x 轴所围成的 封闭图形的面积是(　　) A.31 32 B.23 16 C．ln 4＋1 2 D．ln 4＋1 答案　C 解析　如图，面积 S＝∫1 0 xdx＋ ∫4 1 1 x dx＝1 2 x2|10＋ln x|41＝1 2 ＋ln 4. 3．[2018·湖北模拟]若函数 f(x)，g(x)满足 ∫1 -1 f(x)g(x)dx＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函 数．给出三组函数： ①f(x)＝sin1 2 x，g(x)＝cos1 2 x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝ x，g(x)＝x2. 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　对于①，∫1 －1 sin1 2 xcos1 2 xdx＝∫1 －1 1 2 sinxdx＝0，所以①是一组 正交函数；对于②，∫1 －1 (x＋1)(x－1)dx＝∫1 －1 (x2－1)dx≠0，所以② 不是一组正交函数；对于③，∫1 －1 x·x2dx＝∫1 －1 x3dx＝0，所以③是一组 正交函数．故选 C. 4．求由曲线 y＝x2 和直线 y＝x 和 y＝2x 围成的图形的面积． 解　如图所示，所求的面积 S＝S △AOC＋S1，其中 S1 是线段 AC， BC 和抛物线段 AB 围成的区域的面积． 由Error!和Error!分别解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2. 因为 ( x2 2 )′＝x， (x2－x3 3)′＝2x－x2，故所求的面积 S＝∫1 0 (2x－ x)dx＋∫2 1 (2x－x2)dx＝x2 2|10＋ (x2－x3 3)|21＝1 2 －0＋ (4－8 3)－ (1－1 3)＝7 6 . 5. [2018·信阳调研]在区间[0,1]上给定曲线 y＝x 2.试在此区间内确 定 t 的值，使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小，并求最小 值． 解　面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、 直线 x＝t 所围成的面积，即 S1＝t·t2－∫t 0 x2dx＝2 3 t3. S2 的面积等于曲线 y＝x2 与 x 轴，x＝t，x＝1 围成的面积去掉矩 形面积，矩形边长分别为 t2,1－t. 即 S2＝∫1 t x2dx－t2(1－t)＝2 3 t3－t2＋1 3 . 所以阴影部分面积 S＝S1＋S2＝4 3 t3－t2＋1 3 (0≤t≤1)． 令 S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－1 2)＝0 时，得 t＝0 或 t＝1 2 . t＝0 时，S＝1 3 ；t＝1 2 时，S＝1 4 ；t＝1 时，S＝2 3 . 所以当 t＝1 2 时，S 最小，且最小值为1 4 .