- 285.03 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
考查角度1 用导数解决函数的单调性、极值与最值问题
分类透析一 求函数的单调区间
例1 已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-43处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.
分析 (1)先求出函数的导数,然后把x=-43代入可确定a的值;(2)先求出g(x)的函数解析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间.
解析 (1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,
因为f(x)在x=-43处取得极值,∴f'-43=0,
即3a×169+2×-43=16a3-83=0,解得a=12.
(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,
故g'(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex
=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.
令g'(x)<0,得x(x+1)(x+4)<0,
解得-10,∴h'(x)=1x-ax-2.
若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
则当x>0时,1x-ax-2<0有解,即a>1x2-2x有解.
设G(x)=1x2-2x,x>0,∴a>G(x)min.
又G(x)=1x-12-1,∴G(x)min=-1.
∴a>-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞).
(2)∵h(x)=ln x-12ax2-2x在[1,4]上单调递减,
∴当x∈[1,4]时,h'(x)=1x-ax-2≤0恒成立,
则a≥1x2-2x恒成立.
设G(x)=1x2-2x,x∈[1,4],
∴a≥G(x)max.
又G(x)=1x-12-1,x∈[1,4],
∴G(x)max=-716(此时x=4),∴a≥-716.
故实数a的取值范围是-716,+∞.
方法技巧 1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是f'(x)不恒等于0的参数的取值范围.
2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不是单调函数,则问题转化为f'(x)=0在(a,b)上有解.
分类透析三 已知函数求极值(点)
例3 已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
分析 运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的极值时,要注意分类讨论.
解析 (1)由f(x)=x-1+aex,得f'(x)=1-aex.
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
得f'(1)=0,即1-ae=0,解得a=e.
(2)f'(x)=1-aex,
①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,即x=ln a,
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.
方法技巧 函数极值的两类热点问题
(1)由函数极值求参数的值或取值范围.
已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的定义求参数的取值范围.
(2)求函数f(x)的极值这类问题的一般解题步骤:
①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③解方程f'(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根;④列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
分类透析四 利用导数求函数的最值
例4 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
分析 (1)已知函数的解析式求单调区间,实质上是求导数f'(x)>0,f'(x)<0的解区间,并注意定义域.(2)先研究函数f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,所以要对参数a进行分类讨论.
解析 (1)f'(x)=1x-a(x>0),
①当a≤0时,f'(x)=1x-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=1x-a=0,可得x=1a;
当00;
当x>1a时,f'(x)=1-axx<0.
故函数f(x)的单调递增区间为0,1a,
单调递减区间为1a,+∞.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)①当1a≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.
②当1a≥2,即0x,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时,f(x)=x2-ln x-x,
则f'(x)=(2x+1)(x-1)x.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)的最小值为f(1)=0.
(2)由f(x)>x,得f(x)-x=x2-ln x-(a+1)x>0.
由于x>0,所以f(x)>x等价于x-lnxx>a+1.
令g(x)=x-lnxx,则g'(x)=x2-1+lnxx2.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.
故g(x)的最小值为g(1)=1.
故a+1<1,解得a<0,即a的取值范围是(-∞,0).
2.(2018年北京卷,文19改编)函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;
(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.
解析 (1)因为ex>0,(ax2+x)ex≤0,所以ax2+x≤0.
又因为a>0,
所以不等式化为xx+1a≤0.
所以不等式f(x)≤0的解集为-1a,0.
(2)当a=0时,方程为xex=x+2,
由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等价于ex-2x-1=0.
令h(x)=ex-2x-1,
则h'(x)=ex+2x2.
因为h'(x)>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调递增函数.
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-13<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根且实数根分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.
3.(2016年天津卷,文20改编)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'23.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=[f(x)-x3]ex,若函数g(x)在[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.
当x=23时,得a=f'23=3×232+2a×23-1,
解得a=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,
则f'(x)=3x2-2x-1=3x+13(x-1).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-∞,-13
-13
-13,1
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的单调递增区间是-∞,-13和(1,+∞),单调递减区间是-13,1.
(3)函数g(x)=[f(x)-x3]ex=(-x2-x+c)ex,
则g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex
=(-x2-3x+c-1)ex.
因为函数g(x)在区间[-3,2]上单调递增,
所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在区间[-3,2]上恒成立.
又h(x)min=h(2),
所以h(2)≥0,解得c≥11,
所以c的取值范围是[11,+∞).
1.(孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与曲线y=f(x)有三个不同的交点,求m的取值范围.
解析 (1)f'(x)=3x2-3a.
当a<0时,f'(x)>0,∴f(x)在R上单调递增.
当a>0时,f'(x)=3(x+a)(x-a).
x
(-∞,-a)
-a
(-a,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.
(2)f(x)在x=-1处取得极值,∴f'(-1)=0.
∴3-3a=0,a=1,f(x)=x3-3x-1,∴f(x)极大值=f(-1)=1,f(x)极小值=f(1)=-3.
∵直线y=m与曲线y=f(x)有三个交点,∴f(x)极小值1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数.
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(1)=0,所以f'(x)>0恒成立,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞),无单调递减区间.
3.(天水市一中2015级2017~2018学年第二次模拟考试)已知函数f(x)=ex-12x2+ax.
(1)当a>-1时,试判断函数f(x)的单调性;
(2)若a<1-e,求证:函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于12.
解析 (1)由题意可得f'(x)=ex-x+a,
设g(x)=f'(x)=ex-x+a,则g'(x)=ex-1,
所以当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增;
当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)上单调递减.
所以f'(x)≥f'(0)=1+a,
因为a>-1,所以1+a>0,即f'(x)>0,
所以函数f(x)在R上单调递増.
(2)由(1)知f'(x)在[1,+∞)上单调递増,
因为a<1-e,所以f'(1)=e-1+a<0,
所以存在t∈(1,+∞),使得f'(t)=0,即et-t+a=0,亦即a=t-et,
所以函数f(x)在[1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递増,
所以当x∈[1,+∞)时,
f(x)min=f(t)=et-12t2+at=et-12t2+t(t-et)=et(1-t)+12t2.
令h(x)=ex(1-x)+12x2,x>1,则h'(x)=x(1-ex)<0恒成立,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=ex-1+e1-x+k,则g'(x)=ex-1-e1-x.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数.
所以g(x)min=g(1)=2+k.
由(1)得f(x)max=f(1)=1,
若关于x的方程f(x)=ex-1+e1-x+k有实数解,则g(x)min≤f(x)max,
即2+k≤1,解得k≤-1.
所以k的取值范围为(-∞,-1].