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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版理第6章第1节 不等式的性质与一元二次不等式教案

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第章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质与一元二次不等式 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ ‎(对应学生用书第90页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.实数的大小顺序与运算性质的关系 ‎(1)a>b⇔a-b>0;‎ ‎(2)a=b⇔a-b=0;‎ ‎(3)ab⇔bb,b>c⇒a>c;(单向性)‎ ‎(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;(双向性)‎ a>b,c>d⇒a+c>b+d;(单向性)‎ ‎(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;‎ a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd;(单向性)‎ ‎(5)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n≥2,n∈N);(单向性)‎ ‎(6)开方法则:a>b>0⇒>(n≥2,n∈N);(单向性)‎ ‎(7)倒数性质:设ab>0,则a.(双向性)‎ ‎3.“三个二次”的关系 判别式Δ=b2‎ Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ ‎-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x≠x1}‎ R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ‎{x|x10,则a>b⇔<.‎ ‎2.若a>b>0,m>0,则<.‎ ‎3.(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.‎ 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.‎ ‎4.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(  )‎ ‎(2)a>b⇔ac2>bc2.(  )‎ ‎(3)a>b>0,c>d>0⇒>.(  )‎ ‎(4)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )‎ ‎(5)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )‎ ‎(6)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√‎ ‎2.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(  )‎ A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C [⇒又当ab>0时,a与b同号,结合a+b>0知a>0且b>0,故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.]‎ ‎3.若a,b∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是(  )‎ A.a2>b2 B.>1‎ C.2a>2b D.lg(a-b)>0‎ C [取a=-1,b=-2,‎ 排除A,B,D.故选C.]‎ ‎4.不等式-x2-3x+4>0的解集为________.(用区间表示)‎ ‎(-4,1) [由-x2-3x+4>0得x2+3x-4<0,解得-40的解集为(-4,1).]‎ ‎5.(教材改编)若不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b=________.‎ ‎-14 [由题意知x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,‎ 则 解得 ‎(经检验知满足题意).‎ ‎∴a+b=-14.]‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ 比较大小与不等式的性质 ‎ (1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c≥b>a    B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)(2017·山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a+<b>0,ab=1,∴log2(a+b)>log2(2)=1.‎ ‎∵==a-1·2-a,令f(a)=a-1·2-a,‎ 又∵b=,a>b>0,∴a>,解得a>1.‎ ‎∴f′(a)=-a-2·2-a-a-1·2-a·ln 2=-a-2·2-a(1+aln 2)<0,‎ ‎∴f(a)在(1,+∞)上单调递减.‎ ‎∴f(a)a+b>log2(a+b),‎ ‎∴b>0,ab=1,‎ ‎∴取a=2,b=,‎ 此时a+=4,=,log2(a+b)=log2 ,‎ ‎∴1时,原不等式的解集为(1,a);‎ 当a=1时,原不等式的解集为∅;‎ 当a<1时,原不等式的解集为(a,1).‎ 将(2)中不等式改为ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集.‎ ‎[解] 若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.‎ 若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,‎ 解得x<或x>1.‎ 若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.‎ ‎①当a=1时,=1,(x-1)<0无解;‎ ‎②当a>1时,<1,解(x-1)<0得1,解 (x-1)<0得11};当01时,解集为.‎ ‎[规律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.‎ (2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R或∅).‎ (3)求:求出对应的一元二次方程的根.‎ (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.‎ ‎2.解含参数的一元二次不等式的步骤:‎ (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.‎ (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.‎ (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.‎ ‎[跟踪训练] (1)不等式≥-1的解集为________.‎ ‎(2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是,则不等式 x2-bx-a≥0的解集是(  )‎ ‎ ‎ ‎(1) (2)B [(1)将原不等式移项通分得≥0,‎ 等价于解得x≤或x>5.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)∵不等式ax2-bx-1>0的解集是,‎ ‎∴ax2-bx-1=0的解是x1=-和x2=-,且a<0,‎ ‎∴解得 则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.]‎ 一元二次不等式恒成立问题 ‎◎角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围 ‎ 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________. 【导学号:97190190】‎ ‎(-2,2] [当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立,‎ 当a≠2时,则有 即∴-20时,g(x)在[1,3]上是增函数,‎ 所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,‎ 所以m<,所以00,‎ 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.‎ 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎◎角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])求x的范围 ‎ 对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是__________.‎ ‎{x|x<1或x>3} [对任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0,‎ 在k∈[-1,1]时恒成立.‎ 只需g(-1)>0且g(1)>0,即 解得x<1或x>3.]‎ ‎[规律方法] 一元二次不等式恒成立问题的求解思路 (1)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)的不等式确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.‎ (2)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b]) 的不等式确定参数范围时,常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.‎ (3)形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a,b])的不等式确定x的范围时,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·四川宜宾一中期末)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.[-1,4]      B.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]‎ ‎(2)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(  )‎ A.(-1,0) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.不能确定 ‎(1)A (2)C [(1)x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.‎ ‎(2)由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2.‎ 又因为f(x)开口向下,‎ 所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,‎ 所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,‎ f(x)>0恒成立,‎ 即b2-b-2>0恒成立,‎ 解得b<-1或b>2.]‎

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