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- 2021-06-16 发布
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第章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
(对应学生用书第90页)
[基础知识填充]
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)ab⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则a.(双向性)
3．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
－4ac
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x10，则a>b⇔<.
2．若a＞b＞0，m＞0，则＜.
3．(1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )
(2)a>b⇔ac2>bc2.( )
(3)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(4)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(6)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [⇒又当ab＞0时，a与b同号，结合a＋b＞0知a＞0且b＞0，故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．]
3．若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B．>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，
排除A，B，D．故选C．]
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
5．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.
－14 [由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则
解得
(经检验知满足题意)．
∴a＋b＝－14.]
(对应学生用书第91页)
比较大小与不等式的性质
(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
(2)(2017·山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a＋<b>0，ab＝1，∴log2(a＋b)>log2(2)＝1.
∵＝＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，
又∵b＝，a>b>0，∴a>，解得a>1.
∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a(1＋aln 2)<0，
∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(a)a＋b>log2(a＋b)，
∴b>0，ab＝1，
∴取a＝2，b＝，
此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2 ，
∴1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．
将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；当01时，解集为.
[规律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
[跟踪训练] (1)不等式≥－1的解集为________．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式
x2－bx－a≥0的解集是( )
(1) (2)B [(1)将原不等式移项通分得≥0，
等价于解得x≤或x＞5.
∴原不等式的解集为.
(2)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
一元二次不等式恒成立问题
◎角度1 形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________. 【导学号：97190190】
(－2,2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－20时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
◎角度3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3} [对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，
在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[规律方法] 一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
(2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])
的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
[跟踪训练] (1)(2017·四川宜宾一中期末)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]
(2)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能确定
(1)A (2)C [(1)x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
(2)由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，
即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.]
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