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- 2021-06-16 发布
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第83课 合 情 推 理
1. 能利用归纳和类比进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.
2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.
1. 阅读:选修12第27~31页(理科阅读选修22相应内容).
2. 解悟:①合情推理,归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的?各有哪些特点?②归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗?体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
3. 在教材空白处,完成选修12第33页练习第3、4题,第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).
基础诊断
1. 数列1,3,7,13,x,31,…中的x= 21 .
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8成等差数列. 类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4, , 成等比数列.
解析:设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1,则T4=bq6,T8=bq28,T12=bq66,所以=bq22,=bq38,即=T4·,故T4,,成等比数列.
3. 已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比得:x+≥n+1(n∈N*),则a= nn .
解析:当n=1时,a=1;当n=2时,a=22=4;当n=3时,a=33=27,…,所以当x+≥n+1(n∈N*)时,a=nn.
4. 在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .
解析:如图,正四面体PABC,D为底面三角形ABC的中心,设正四面体的棱长为a,则AD=a,PD=a.设OA=R,OD=r,则R2=+,所以R=a,r=a,所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体PABC的内切球体积与外接球体积之比=.
范例导航
考向❶ 归纳推理问题
例1 如图,将全体正整数排成一个三角形数阵,按照图中排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 .
解析:该数阵前n-1行共用了1+2+3+…+(n-1)=个数,因此,第n行(n≥3)从左向右的第3个数,是全体正整数中的第+3个,即为.
如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,…,以此类推,则标签2 0162的格点的坐标为 (-1 008,-1 008) .
解析:观察图中的点,点(0,0)处标0,即02,点(-1,-1)处标4,即22,点(-2,-2)处标16,即42,…,由此推断点(-n,-n)处标(2n)2,当(2n)2=2 0162时,n=1 008,故标2 0162的格点的坐标为(-1 008,-1 008).
【备用题】 已知函数f(x)=(x≠-,a>0),满足f(1)=log162,f(-2)=1.
(1) 求函数f(x)的表达式;
(2) 已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)]·[1-f(2)]·[1-f(3)]·…·[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;
(3) 猜想数列{xn}的通项公式.
解析:(1) 因为f(1)=log162,f(-2)=1,代入
f(x)=,得 解得
所以f(x)=(x≠-1).
(2) x1=1-f(1)=1-=,
x2=×=,
x3=×=,
x4=×=.
(3) 把x1,x2,x3,x4的值分别写成:
x1=,x2=,x3=,x4=,
于是归纳猜想,得xn=.
考向❷ 类比推理问题
例2 已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是2∶1”.
(1) 对于正四面体,有类似的结论吗?请表示出来;
(2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.
解析:(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为3∶1.
(2) 设正四面体ABCD的中心为O,分别连结OA,OB,OC,OD.
由正四面体的性质可知,其中心到各个面的距离相等,设为r,其四个面的面积均相等,设为S,
设其高为h,则该四面体的体积
V=VOABC+VOBCD+VOCDA+VODAB,
所以Sh=Sr+Sr+Sr+Sr=Sr,
所以h=4r,
即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为3∶1.
已知命题:在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0),顶点B在椭圆+=1(m>n>0,p=)上,椭圆的离心率是e,则=.试将该命题类比到双曲线中,给出一个真命题是 在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0),顶点B在双曲线-=1(m>0,n>0,p=)上,双曲线的离心率是e,则= .
解析:根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-p,0)和C(p,0),顶点B在双曲线-=1(m>0,n>0,p=)上,双曲线的离心率是e.因为===,所以由正弦定理得=.
自测反馈
1. 观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
归纳猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是 F+V-E=2 .
2. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则他们的面积之比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长之比为1∶2,则它们的体积之比为 1∶8 .
解析:在空间内,若两个正四面体的棱长之比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以它们的体积之比为1∶8.
3. 在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则 S+S+S=S .”
解析:因为三个侧面ABC,ACD,ADB两两垂直,所以AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则由勾股定理得AB2+AC2=BC2,AC2+AD2=CD2,AD2+AB2=BD2.设AB=x,AC=y,AD=z,所以BC=,CD=,BD=.根据余弦定理可得
cos∠BCD==,则sin∠BCD===,所以由三角形面积公式得S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=··=,即S=x2y2+y2z2+x2z2=S+S+S.
4. 在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点坐标分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段OA上(异于端点).设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F. 一同学已正确算出直线OE的方程为x+y=0,则OF的方程为 x-y=0 .
解析:由截距式可得直线AB:+=1,直线CP:+=1,两式相减得x-y=
0,显然,直线AB与CP的交点F满足此方程.又原点O也满足此方程,故直线OF的方程为x-y=0.
1. 归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式,合情推理得到的结论是猜测的性质,不全正确.
2. 归纳推理是从个别事实中推演出一般性的结论,是从特殊现象到一般现象的推理.通常归纳的个体数目越多,那么推广的一般性命题也会越可靠.
3. 你还有哪些体悟,写下来: