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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年四川省绵阳市高一上学期期末质量测试数学试题
一、单选题
1.如果全集,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】首先确定集合U,然后求解补集即可.
【详解】
由题意可得:,结合补集的定义可知.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法,补集的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.下列图象是函数图象的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可.
【详解】
由函数的定义可知,函数的每一个自变量对应唯一的函数值,
选项A,B中,当时,一个自变量对应两个函数值,不合题意,
选项C中,当时,一个自变量对应两个函数值,不合题意,
只有选项D符合题意.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查函数的定义及其应用,属于基础题.
3.下列函数是奇函数,且在区间上是增函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】逐一考查所给函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】
逐一考查所给函数的性质:
A.,函数为奇函数,在区间上不具有单调性,不合题意;
B.,函数为奇函数,在区间上是增函数,符合题意;
C.,函数为非奇非偶函数,在区间上是增函数,不合题意;
D.,函数为奇函数,在区间上不具有单调性,不合题意;
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性,函数的奇偶性等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.一个扇形的面积是,它的半径是,则该扇形圆心角的弧度数是( )
A. B.1 C.2 D.
【答案】C
【解析】由题意首先求得弧长,然后求解圆心角的弧度数即可.
【详解】
设扇形的弧长为,由题意可得:,
则该扇形圆心角的弧度数是.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式,弧度数的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.如果角的终边在第二象限,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意结合三角函数的性质确定所给结论是否正确即可.
【详解】
角的终边在第二象限,则,AC错误;
,B正确;
当时,,,D错误.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号,二倍角公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.设角的终边经过点,那么( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意首先求得的值,然后利用诱导公式求解的值即可.
【详解】
由三角函数的定义可知:,
则 .
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查由点的坐标确定三角函数值的方法,诱导公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知函数对任意实数都满足,若,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】由题意首先确定函数的周期性,然后结合所给的关系式确定的值即可.
【详解】
由可得,
据此可得:,即函数是周期为2的函数,
且,据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查函数的周期性及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.函数的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】将原问题转化为函数交点个数的问题即可确定函数的零点个数.
【详解】
函数的零点个数即函数与函数交点的个数,绘制函数图象如图所示,
观察可得交点个数为2,则函数的零点个数是2.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查函数零点的定义,数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.已知,则的值是( )
A.1 B.3 C. D.
【答案】D
【解析】由题意结合对数的运算法则确定的值即可.
【详解】
由题意可得:,
则 .
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查指数对数互化,对数的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.若函数(,且)在上的最大值为4,且函数在上是减函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意首先确定实数a的值,然后确定实数的取值范围即可.
【详解】
当时,函数单调递增,据此可知:,满足题意;
当时,函数单调递减,据此可知:,不合题意;
故,函数单调递增,
若函数在上是减函数,则,据此可得.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知函数,若,且当时,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】首先确定函数的解析式,然后确定的取值范围即可.
【详解】
由题意可知函数关于直线对称,
则,据此可得,
由于,故令可得,函数的解析式为,
则,结合三角函数的性质,考查临界情况:
当时,;当时,;
则的取值范围是.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知函数(为自然对数的底数),若对任意,不等式都成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可.
【详解】
由函数的解析式可知函数为定义在R上的增函数,且函数为奇函数,
故不等式即,
据此有,即恒成立;
当时满足题意,否则应有:,解得:,
综上可得,实数的取值范围是.
本题选择C选项.
【点睛】
对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.
二、填空题
13.___.
【答案】
【解析】tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=,故答案为:.
14.设函数即_____.
【答案】-1
【解析】结合函数的解析式求解函数值即可.
【详解】
由题意可得:,
则.
【点睛】
求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
15.已知幂函数的图象经过点,且满足条件,则实数的取值范围是___.
【答案】
【解析】首先求得函数的解析式,然后求解实数的取值范围即可.
【详解】
设幂函数的解析式为,由题意可得:,
即幂函数的解析式为:,则即:,
据此有:,求解不等式组可得实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及其应用,属于基础题.
16.已知函数,实数,满足,且,若在上的最大值为2,则____.
【答案】4
【解析】由题意结合函数的解析式分别求得a,b的值,然后求解的值即可.
【详解】
绘制函数的图像如图所示,
由题意结合函数图像可知可知,则,
据此可知函数在区间上的最大值为,
解得,且,解得:,
故.
【点睛】
本题主要考查函数图像的应用,对数的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17.已知函数的定义域为.
(1)求;
(2)设集合,若,求实数的取值范围.
【答案】(1)A(2)
【解析】(1)由函数的解析式分别令真数为正数,被开方数非负确定集合A即可;
(2)分类讨论和两种情况确定实数的取值范围即可.
【详解】
(1)由,解得,
由,解得,
∴ .
(2)当时,函数在上单调递增.
∵,
∴,即.
于是.
要使,则满足,解得.
∴.
当时,函数在上单调递减.
∵,
∴,即.
于是
要使,则满足,解得与矛盾.
∴.
综上,实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求解,集合之间的关系与运算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入(单位:万元)满足 .设甲合作社的投入为(单位:万元).两个合作社的总收益为(单位:万元).
(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个合作的投入,才能使总收益最大?
【答案】(1)88.5万元 (2)答案见解析.
【解析】(1)结合所给的关系式求解甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益即可;
(2)首先确定函数的定义域,然后结合分段函数的解析式分类讨论确定最大收益的安排方法即可.
【详解】
(1)当甲合作社投入为25万元时,乙合作社投入为47万元,
此时两个合作社的总收益为:
(万元).
(2)甲合作社的投入为万元,则乙合作社的投入为万元,
当,则,
.
令,得.
则总收益为,
显然当时,,
即此时甲投入16万元,乙投入56万元时,
总收益最大,最大收益为89万元.
当时,则.
,
显然在上单调递减,
∴.
即此时甲、乙总收益小于87万元.
对.
∴该公司在甲合作社投入16万元,在乙合作社投入56万元,
总收益最大,最大总收益为89万元.
【点睛】
(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
19.已知函数,将函数的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得到函数的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】(1)首先化简三角函数式,然后确定平移变换之后的函数解析式即可;
(2)结合(1)中函数的解析式确定函数的最大值即可.
【详解】
(1)
.
由题意得,
化简得.
(2)∵,
可得,
∴.
当时,函数有最大值1;
当时,函数有最小值.
【点睛】
本题主要考查三角函数图像的变换,三角函数最值的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知函数.
(1)若在上是减函数,求的取值范围;
(2)设,,若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意结合函数单调性的定义得到关于a的表达式,结合指数函数的性质确定的取值范围即可;
(2)利用换元法将原问题转化为二次方程根的分布问题,然后求解实数的取值范围即可.
【详解】
(1)由题设,若在上是减函数,
则任取,,且,都有,即成立.
∵
.
又在上是增函数,且,
∴由,得,
即,且.
∴只须,解.
由,,且,知,
∴,即,
∴.
所以在上是减函数,实数的取值范围是.
(2)由题知方程有且只有一个实数根,
令,则关于的方程有且只有一个正根.
若,则,不符合题意,舍去;
若,则方程两根异号或有两个相等的正根.
方程两根异号等价于解得;
方程有两个相等的正根等价于解得;
综上所述,实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性,二次方程根的分布等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.