高考数学复习课时冲关练(十八) 6_2 9页

‎ ‎ 课时冲关练(十八)‎ 圆锥曲线的概念与性质、‎ 存在性问题与曲线中的证明 ‎(45分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2014·韶关模拟)已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于　(　　)‎ A.　 B.　 C.　 D.‎ ‎【解析】选B.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得‎2a=10a=5,则c==4,e==.‎ ‎2.(2013·四川高考)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.根据题意可知点P(-c,y0),代入椭圆的方程可得=b2-,根据AB∥OP,可知=,即=,解得y0=,即b2-=,解得e==,故选C.‎ ‎3.(2014·佛山模拟)双曲线y2-=1的离心率e=2,则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为　(　　)‎ A. B‎.9‎ C.27 D.36‎ ‎【解析】选C.依题意可知:双曲线a2=1,b2=m,所以e===2,即=2,所以m=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 抛物线方程为y2=3x,联立方程组 解得或 设A(9,3),‎ 联立方程组 解得或设B(9,-3),由抛物线的对称性可知:△AOB的面积为S=|AB|xA=27.‎ ‎【误区警示】本题易忽略双曲线的焦点在y轴上而误选.‎ ‎【加固训练】设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F‎1F2,∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.因为PF2⊥F‎1F2,∠PF‎1F2=30°,‎ 所以|PF2|=2ctan30°=c,|PF1|=c.‎ 又|PF1|+|PF2|=c=‎2a,则e===.‎ ‎4.(2014·汕头模拟)已知双曲线的离心率为3,且它有一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为　(　　)‎ A.x±2y=0 B.2x±y=0‎ C.2x±y=0 D.x±2y=0‎ ‎【解析】选C.抛物线y2=12x的焦点为(3,0),设双曲线方程为-=1,由题意知解得m=1,n=8,双曲线方程为x2-=1,所以双曲线的渐近线方程为2x±y=0.‎ ‎5.下列说法中不正确的是　(　　)‎ A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分 B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“”:mn=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是抛物线的一部分 C.已知两圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆 D.已知A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 ‎【解析】选D.A中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分,B中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分,C中符合椭圆定义是正确的,D中应为双曲线一支.故选D.‎ ‎【方法技巧】求动点轨迹方程的常用方法 ‎1.直接法:‎ 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法.‎ ‎2.定义法:‎ 若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程.‎ ‎3.相关点法:‎ 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法.‎ ‎4.参数法:‎ 有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可.在选择参数时,选用的参变量可以具有某种物理或几何的性质,如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是　　　　　.‎ ‎【解题提示】求出A,B的坐标,写出AB中点Q的坐标,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,寻找a与c的关系.‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x与y=-‎ x,分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组,解得A,B,设AB的中点为Q,则Q（,）,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,‎ 所以kPQ=-3,解得‎2a2=8b2=8(c2-a2),即=,=.‎ 答案:‎ ‎7.(2013·天津高考)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为　　　　　　　　.‎ ‎【解析】由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2,故双曲线中c=2,又离心率为2,所以a=1,由b2=c2-a2得b2=3,因此该双曲线的方程为x2-=1.‎ 答案:x2-=1‎ ‎【方法技巧】求解圆锥曲线方程的方法 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.‎ ‎(1)所谓“定型”,就是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,抛物线的焦点是在x轴的正半轴、负半轴上,还是在y轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式.‎ ‎(2)所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.‎ ‎8.(2014·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A是椭圆+=1上的一个动点,点P在线段OA的延长线上,且·=72,则点P横坐标的最大值为　　　　　　.‎ ‎【解析】设=λ(λ>1),P(xP,yP),A(xA,yA),则有(xP,yP)=λ(xA,yA),所以由·=λ=72,得λ=,‎ xP=λ·xA=·xA=·xA=·xA=‎ ‎,研究点P横坐标的最大值,仅考虑0b>0).‎ 由题意有:‎ 解得a2=16,b2=12.‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4≤x≤4.‎ 因为=(x-m,y),所以 ‎||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×=x2-2mx+m2+12=(x‎-4m)2‎-3m2‎+12.‎ 因为当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,即当x=‎4m时,‎ ‎||2取得最小值,而x∈[-4,4],‎ 故有‎4m≥4,解得m≥1.‎ 又点M在椭圆的长轴上,即-4≤m≤4.‎ 故实数m的取值范围是m∈[1,4].‎ ‎10.(2014·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2‎ ‎,右顶点为A,上顶点为B.已知=.‎ ‎(1)求椭圆的离心率.‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为.‎ 由=,可得a2+b2=‎3c2,‎ 又b2=a2-c2,则=.‎ 所以,椭圆的离心率e=.‎ ‎=c,所以‎2a2-c2=‎3c2,‎ 解得a=c,e=.‎ ‎(2)由(1)知a2=‎2c2,b2=c2.‎ 故椭圆方程为+=1.‎ 设P.由F1,B,‎ 有=,=.‎ 由已知,有·=0,‎ 即c+y‎0c=0.又c≠0,故有 x0+y0+c=0.　①‎ 又因为点P在椭圆上,故+=1.　②‎ 由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-,代入①得y0=,即点P的坐标为.‎ 设圆的圆心为T,则x1==-c,y1==c,‎ 进而圆的半径r==c.‎ 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.‎ 由l与圆相切,可得=r,‎ 即=c,‎ 整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.‎ 所以,直线l的斜率为4+或4-.‎ ‎11.(2014·广东高考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎【解析】(1)因为c=,离心率e=,‎ 所以a=3,b=2,‎ 椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,‎ 则另一条斜率为0,‎ 此时点P有四个点,‎ 分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);‎ 当两条切线斜率都存在时,‎ 设切线方程为y-y0=k(x-x0),‎ 代入+=1中,‎ 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,‎ 切线与椭圆只有一个公共点,‎ 则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,‎ 进一步化简得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.‎ 因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,‎ 也就是=-1,则+=13.‎ 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,‎ 所以点P的轨迹方程为+=13.‎ 方法二:若有一条切线斜率不存在,‎ 则另一条斜率为0,‎ 此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);‎ 当两条切线斜率都存在时,‎ 设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1且+=1.‎ 两条切线方程分别为+=1和+=1,‎ 因为两条切线都过点P(x0,y0),‎ 所以+=1且+=1,‎ 因为两条切线相互垂直,‎ 所以k1=,k2=且k1k2=-1,‎ 也就是=-1,‎ 整理得+=13.‎ 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,‎ 所以点P的轨迹方程为+=13.‎ 关闭Word文档返回原板块