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- 2021-06-16 发布
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
计数原理、排列组合
9,5分(理)
14,4分(理)
14,4分(理)
6,5分(理)
二项式定理
5,5分(理)
11,4分(理)
14,4分(理)
随机事件的概率与古典概型
12,4分(理)
19(1),7分(理)
12,4分(文)
19(1),7分(理)
12,4分(文)
条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差
9,5分(理)
12,4分(理)
19(2),7分(理)
19(2),7分(理)
[重点关注]
综合近5年浙江卷高考试题,我们发现高考主要考查排列组合,二项式定理、随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差.主要考查对基础知识与基本方法的应用意识,考查转化与化归思想及运算求解能力.
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有( )
A.30 B.20
C.10 D.6
D [从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.]
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个 B.42个
C.36个 D.35个
C [∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,
由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.]
4.如图911,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图911
A.24 B.18
C.12 D.9
B [分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路程.]
5.现有4种不同的颜色要对如图912所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.
图912
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色,共4×3×2×2=48种不同的着色方法.]
分类加法计数原理
(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种
C.10种 D.16种
(2)(2017·杭州二中月考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14 B.13
C.12 D.10
(1)B (2)B [(1)分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理,共有3+3=6种传递方法.
(2)①当a=0时,有x=-,b=-1,0,1,2,有4种可能;
②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,
(ⅰ)当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;
(ⅱ)当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;
(ⅲ)当a=2时,b=-1,0,有2种可能.
∴有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.]
[规律方法] 1.第(2)题常见的错误:
(1)想当然认为a≠0;
(2)误认为a≠b.
2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.
[变式训练1] 从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,
∴所求的数列共有2(2+1+1)=8个.]
分步乘法计数原理
(1)(2017·浙江舟山模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) 【导学号:51062322】
A.C·45种 B.A·54种
C.C·A种 D.C·54种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.
(1)D (2)120 [(1)有两个年级选择甲博物馆共有C种情况,其余四个年级每个年级各有5种选择情况,
故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种.
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120种.]
[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事.
2.在第(1)题中,除仅有两个年级选择甲博物馆外,其余4个年级易错误认为有45种选择方法.导致错选A项.
[变式训练2] (1)设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________.
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为________.(用数字作答)
(1)10 (2)8 [(1)易知A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},
∴x有2种取法,y有5种取法,
由分步乘法计数原理,A*B的元素有2×5=10个.
(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A=2种分法.
第2步分丙、丁:①丙、丁分到同一班级有2种分法,②丙、丁分到两个不同的班级有A=2种分法.
由计数原理,不同的分法为2×(2+2)=8种.]
两个计数原理的综合应用
(1)(2017·杭州调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x0,b>0),从1,3,5,7,9中任取两个作为有A=20种,又与相同,与相同,
∴lg a-lg b的不同值的个数为A-2=18.]
二、填空题
7.(2016·杭州模拟)在三位正整数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”.比如“102”,“546”为“驼峰数”,由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个. 【导学号:51062325】
8 [十位上的数为1时,有213,214,312,314,412,413,共6个,十位上的数为2时,有324,423,共2个,所以共有6+2=8(个).]
8.从8名女生,4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为________种. 【导学号:51062326】
112 [从男生中抽1人有4种方法,从女生中抽2人有C=28种方法,
由分步乘法计数原理,共有28×4=112种方法.]
9.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有________种.
75 [由题意知,选2名男医生、1名女医生的方法有CC=75种.]
10.如图914所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为________个.
图914
420 [先染顶点S,有5种染法,再染顶点A,有4种染法,染顶点B,有3种染法,顶点C的染法有两类:若C与A同色,则顶点D有3种染法;若C与A不同色,则C有2种染法,D有2种染法,所以共有5×4×3×
3+5×4×3×2×2=420(种)染色方法.]
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式
( )
A.24 B.14
C.10 D.9
B [第一类:一件衬衣,一件裙子搭配一套服装有4×3=12种方式,
第二类:选2套连衣裙中的一套服装有2种选法,
由分类加法计数原理,共有12+2=14(种)选择方式.]
2.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有( )
A.32个 B.34个
C.36个 D.38个
A [将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C=2种,共有2×2×2×2×2=32个.]
3.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.
12 [当相同的数字不是1时,有C个;当相同的数字是1时,共有CC个,
由分类加法计数原理知共有“好数”C+CC=12个.]
4.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…999.则
(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 【导学号:51062327】
(1)90 (2)9×10n [(1)4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法;中间两位一样,有10种填法,共计9×10=90种填法,即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格,由分步计数原理,共有9×10n种填法.]