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- 2021-06-16 发布
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高二文科数学期末考试试卷
命题人: 审题人:
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)
1.已知集合,,若,则实数的值为( )
A.2 B.0 C.0或2 D.1
2.抛物线的准线方程是,则的值为( )
A. B. C.8 D.-8
3.己知向量,.若,则m的值为( )
A. B.4 C.- D.-4
4.已知,则的值是( )
A. B. C. D.
5.如图是一个边长为3的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1089个点,其中落入白色部分的有484个点,据此可估计黑色部分的面积为
A.4 B.5 C.6 D.7
6.已知一个四棱锥的三视图如图(网络中的小正方形边长为1),则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.己知函数恒过定点A.若直线过点A,其中是正实数,则的最小值是 ( )
A. B. C. D.5
8.若,则“”是方程“”表示椭圆的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设变量满足约束条件,则目标函数Z=2+4的最大值为( )
A.10 B.12 C.13 D.14
10.圆上的动点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
11.将函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,则的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
12.设分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
二.填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.过的直线的倾斜角为_________.
14.已知函数,则在x=1处的切线方程为_________.
15.在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值是_____________.
16.已知平面α,β,γ是空间中三个不同的平面,直线l,m是空间中两条不同的直线,若α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,则
①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
三.解答题:(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)在中,内角,,所对的边分别为,,,且。
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积。
18.(12分)已知等差数列中,为其前项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.(12分)如图,在三棱锥中,平面平面,三角形为等边三角形, ,且, 是的中点,是的中点。
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
20.(12分)设函数,其中向量,.
(1)求函数的最小正周期和在上的单调增区间;
(2)当时的最大值为,求的值.
21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
22.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=,求直线l的倾斜角。
参考答案
1.B2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.B9.C10.A11.B12.A
13.14..15.
16.②④
17.(1) ;(2)
【详解】
解:(1),
,
,。
又,
。
(2)由余弦定理得:,
,解得。
。
18.(1)(2)
【详解】
(1)由题是等差数列可得,解得
所以
(2)
所以数列的前项和
19.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
解析:(1)∵,分别为,的中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面,
综上所述,命题得证.
(2)∵,为的中点,
∴,
∵平面平面,平面,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面,
综上所述:命题得证.
(3)在等腰直角三角形中,
,∴,,
∴,
∵平面,
∴,
∴.
20.(1),增区间和;(2).
【详解】
(1)
,
所以,函数的最小正周期为.
由,解得,
,
因此,函数在上的单调递增区间为和;
(2),,
所以,当时,函数取最大值,即,
因此,.
21.(1)见解析(2)[,+∞)
【详解】
(1)a=2时,f(x)=(﹣x2+2x)•ex的导数为
f′(x)=ex(2﹣x2),
由f′(x)>0,解得﹣<x<,
由f′(x)<0,解得x<﹣或x>.
即有函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,﹣),(,+∞),
单调增区间为(﹣,).
(2)函数f(x)=(﹣x2+ax)•ex的导数为
f′(x)=ex[a﹣x2+(a﹣2)x],
由函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,
则有f′(x)≥0在(﹣1,1)上恒成立,
即为a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0,
则有1+(a﹣2)﹣a≤0且1﹣(a﹣2)﹣a≤0,
解得a≥.
则有a的取值范围为[,+∞).
22.(1)+y2=1(2)或
【解析】
(1)由e==,解得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.
由题意可知×2a×2b=4,即ab=2.解方程组得
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)可知点A(-2,0),设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,
由-2x1=,得x1=,从而y1=,
故|AB|==.
由|AB|=,得=.整理得32k4-9k2-23=0,
即(k2-1)(32k2+23)=0,解得k=±1.所以直线l的倾斜角为或