四川省棠湖中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 10页

‎2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知实数，满足不等式组，若的最小值为9，则实数的值等于 ‎ A．3 B．5 C．8 D．9‎ ‎4．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是 ‎ A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高 C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎5．某几何体的三视图如图所示（单位：‎ ‎），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为 ‎ A． B．或 C． D．‎ ‎9．十三届全国人大二次会议于年月日至日在北京召开，会议期间工作人员将其中的个代表团人员（含、两市代表团）安排至，，三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若、两市代表团必须安排在宾馆入住，则不同的安排种数为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知同时满足下列三个条件：‎ ‎①时，的最小值为②是偶函数：③‎ 若在有最小值，则实数的取值范围可以是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足 ‎，则曲线的离心率等于 ‎ A.或 B. 或 C. D.‎ ‎12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量，，且，则与的夹角为________．‎ ‎14．已知的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.‎ ‎15．已知正三棱柱底面边长为，高为3，圆是三角形的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎16．已知直线l:y=k(x-2)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为_________。‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本大题满分12分）‎ 每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm的概率；‎ ‎(Ⅱ)在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；‎ 降雨量 ‎[100，200）‎ ‎[200，300）‎ ‎[300，400）‎ ‎[400，500）‎ 亩产量 ‎500‎ ‎700‎ ‎600‎ ‎400‎ ‎18．（本大题满分12分）‎ 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ‎（Ⅰ）求角A的大小；(Ⅱ)若，求面积的最大值．‎ ‎19．（本大题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求和平面所成的角的大小．‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值．‎ ‎20．（本大题满分12分）‎ 已知椭圆， ，左、右焦点为，点 在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎21．（本大题满分12分）‎ 已知函数（为自然对数的底，，为常数且）‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎(Ⅱ)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）若曲线与曲线相切，求的值；‎ ‎(Ⅱ)若曲线与曲线交于两点，且，求的值.‎ ‎23．已知为正实数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎(Ⅱ)若函数的最大值为1，求的最小值.‎ ‎2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三期中考试 理科数学试题参考答案 ‎1-5:DABDA 6-10:BCCBD 11-12:AD ‎13． 14．-32 15． 16．或 ‎17．（1）频率分布直方图中第四组的频率为 该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为 所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为 ‎（或.）‎ ‎（2）据题意，总利润为元，其中.‎ 所以随机变量（万元）的分布列如下表：‎ ‎ ‎ ‎27‎ ‎35‎ ‎31.2‎ ‎22.4‎ ‎ ‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 故总利润（万元）的期望 ‎ （万元）‎ 因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大.‎ ‎18：（Ⅰ）由正弦定理可得：‎ 从而可得：，即 又为三角形内角，所以，于是 又为三角形内角，所以．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理：得：，‎ 所以，所以.‎ ‎19．解：（1）在四棱锥中，∵平面，平面，‎ ‎∴．又，，∴平面．‎ 故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．‎ 在中，，故．‎ 所以和平面所成的角的大小为．‎ ‎（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．‎ 由条件，，∴平面．‎ 又∵平面，∴．由，，可得．‎ ‎∵是的中点，∴．又∵，∴平面．‎ 过点作，垂足为，连接，如图所示．‎ ‎∵平面，在平面内的射影是，‎ ‎∴．∴是二面角的平面角．‎ 由已知∵，∴设，‎ 则，，，．‎ 中，．‎ 在中，∵，∴，得．‎ 在中，．‎ 所以二面角的正弦值为．‎ ‎20．（1）由题意知：，又，‎ 可得：，，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）设直线的方程为：‎ 将其代入，整理可得：‎ 则，得：‎ 设，‎ 则，‎ 又，且 ‎ 又，‎ 所以 又，‎ 化简得：，解得：‎ ‎ 直线的斜率为定值 ‎21．（1）由题知时，，， ，‎ ‎①当时，得函数在上单调递减； ‎ ‎②当时，由，得，由，得，‎ Ⅰ.当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ Ⅱ.当时，函数在区间上单调递增． ‎ ‎（2）时，，‎ 则，‎ 由（1）知，函数在区间上单调递增，‎ 所以当时，，即，‎ ‎∴． ‎ ‎①当时，在区间上恒成立，即在上单调递增，‎ ‎∴（合题意）．‎ ‎②当时，‎ 由，得，且在上单调递增，‎ 又，，，，‎ 故在上存在唯一的零点，当时，，‎ 即在上递减，此时，知在上递减，‎ 此时与已知矛盾（不合题意），‎ 综上：满足条件的实数的取值范围是．‎ ‎22．（1）直线的直角坐标方程为．‎ 圆的普通方程为． ‎ 因为直线与圆相切，所以． ‎ ‎（2）把的参数方程：（为参数）代入曲线的普通方程：‎ 得，故， ‎ ‎．‎ ‎23．解：（1）因为，‎ 所以函数的最大值为.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 且当时取“”，‎ 所以的最小值为.‎