北京市第一七一中学2020届高三第三次月考数学试卷 20页

北京市第一七一中学高三第三次月考数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合，，由此能求出．‎ ‎【详解】解：集合，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属于基础题．‎ ‎2.给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.‎ ‎【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；‎ ‎②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；‎ ‎③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；‎ ‎④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；‎ 综上所述，可选的序号为②③，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.‎ ‎3.已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，则（ ）‎ A. B. C. 0 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和等差数列的通项公式可得的方程，解方程代入求和公式计算可得．‎ ‎【详解】解：由题意可得，公差，‎ 代入数据可得，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题．‎ ‎4.设为单位向量，，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设，，，代入，利用辅助角公式化简即可求得的最大值．‎ ‎【详解】解：由为单位向量，且，可设，，，‎ ‎．‎ 的最大值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，辅助角公式的应用，属于中档题．‎ ‎5.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件判断.‎ ‎【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且 ‎，显然能得到，这样即可找出正确选项.‎ ‎6.如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，三棱柱可分割为：，，，三部分，分析可得三部分体积相等，整理即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设直三棱柱的体积为，‎ 连接，点、分别在棱和上，，‎ 四棱锥的，的底面积相等，‎ 把直三棱柱分割为：，，，‎ 三棱锥的为，‎ 四棱锥，的体积之和为：，‎ 四棱锥的，的底面积，高相等．‎ 四棱锥的，的体积相等，即为，‎ 棱锥，，的体积相等，为，‎ 平面把三棱柱分成两部分的体积比为．‎ ‎【点睛】本题考查椎体体积的求法，考查空间想象能力，计算推理的能力，属中档题 ‎7.已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ‎，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．‎ 考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．‎ ‎8.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票，如果三位专家都投票的作品列为等，两位专家投票的列为等，仅有一位专家投票的作品列为等，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 等和等共6幅 B. 等和等共7幅 C. 等最多有5幅 D. 等比等少5幅 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，将所有可能的结果一一列举出来，即可判断.‎ ‎【详解】解：由三位专家每人投5票，一共15张票，现要求10幅作品每幅作品都有专家投票，那么就10票了，还剩下5票；‎ 则这5票的可能情况有，，‎ 当时，则有等2幅，等1幅，等7幅；‎ 当时，则有等1幅，等2幅，等7幅；‎ 当时，则有等0幅，等4幅，等6幅；‎ 则正确的只有 故选：‎ ‎【点睛】本题考查简单的归纳推理，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎9.命题“”的否定是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定为全称命题即可得解.‎ ‎【详解】解：因为命题“”为特称命题，故其否定为“”‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎10.已知的面积为，，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数的基本关系求出，再利用面积公式可得的值，再由和余弦定理即可求解．‎ ‎【详解】解：，‎ 由，‎ 可得①，②‎ 由①②解得：，‎ 余弦定理：‎ 解得：‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的面积的求法和余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题．‎ ‎11.若，则=_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．‎ 详解：由已知，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ 点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．‎ ‎12.已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导数以及，求出，，利用与的图象在处有相同的切线，列出方程，即可求解．‎ ‎【详解】解：因为，所以． ‎ 因为，所以．‎ 因为与的图象在处有相同的切线，所以，所以．‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎13.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，.规定：同意按“‎1”‎，不同意（含弃权）按“‎0”‎，令，其中，且 ‎，则班内同时同意1，2号同学当选的人数可以用含式子表示为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出同意第号同学当选的同学，再写出同意第号同学当选的同学，那么同时同意，号同学当选的人数为它们对应相乘再相加．‎ ‎【详解】解：第1，2，，名学生是否同意第号同学当选依次由，，，，来确定表示同意，表示不同意或弃权），是否同意第号同学当选依次由，，，确定，‎ 而是否同时同意，号同学当选依次由，，，确定，‎ 故同时同意，号同学当选的人数为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵的应用，考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力．‎ ‎14.设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为.‎ 考点：取整函数.‎ 三、解答题 ‎15.某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ 且函数表达式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．‎ 因为的对称中心为，．‎ 令，解得，．‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，．由可知，当时，取得最小值．‎ 考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．‎ ‎16.设是一个公比为的等比数列，且它的前4项和，，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过，，成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；‎ ‎（2）通过（1）可知，进而利用分组法求和即可．‎ ‎【详解】解：（1），，成等差数列，‎ ‎，‎ 又数列是等比数列，‎ ‎，即，‎ 解得：或（舍，‎ 又，‎ ‎，即，‎ 数列是首项为、公比为的等比数列，‎ 数列通项公式；‎ ‎（2）由（1）可知，2，，‎ 数列的前项和为 ‎【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为上异于的点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当与平面所成角为时，求的长；‎ ‎（3）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由为正方形，可得．又平面，得．利用线面垂直判断可得平面．从而得到平面平面；‎ ‎（2）以为原点建立空间直角坐标系．可得，0，，，2，，，2，，，0，，，0，．设是上一点，且，．由此可得点，，．即，，．利用与平面所成角为列式求得值，进一步求得的长；‎ ‎（3）结合（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．‎ ‎【详解】证明：（1）为正方形，．‎ 平面，平面，‎ ‎．‎ ‎，平面，平面 平面．‎ 又平面，‎ 平面平面；‎ 解：（2）平面，平面，平面，‎ ‎，．‎ 底面为正方形，．‎ 如图以为原点建立空间直角坐标系．‎ 则， ，， ， ， ‎ ‎．，‎ 设是上一点，且，．‎ 因此点， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎，此时；‎ 解：（3），，‎ 平面．‎ 为平面的法向量，‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为，‎ 由，取，得．‎ ‎，，‎ 设与夹角为，．‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角与面面角，属于中档题．‎ ‎18.平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；‎ ‎（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．‎ 因为抛物线的焦点为，所以，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（1）设，由可得，‎ 所以直线的斜率为，其直线方程为，即．‎ 设，联立方程组 消去并整理可得，‎ 故由其判别式可得且，‎ 故,‎ 代入可得，‎ 因为，所以直线的方程为．‎ 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．‎ ‎（2）由（1）知直线的方程为，‎ 令得，所以，‎ 又，‎ 所以，，‎ 所以，令，则，‎ 因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．‎ 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．‎ ‎19.已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+‎4a−2}，‎ 其中min{p，q}=‎ ‎（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+‎4a−2成立的x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；‎ ‎（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由于，故 当时，，‎ 当时，．‎ 所以，使得等式成立的的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，‎ 则，，‎ 所以，由的定义知，即 ‎（ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时，．‎ 所以，．‎ ‎【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．‎ ‎【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．‎ ‎20.对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”．定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令 ‎3，…．‎ ‎（Ⅰ） 若数列：求数列；‎ ‎（Ⅱ） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，．求关于的表达式．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；；‎ ‎ (Ⅱ) 10对 ；见详解；‎ ‎(Ⅲ) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由变换的定义“将“数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列；（Ⅱ）数列中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1，0，0，1，在中每一个0在中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对； （Ⅲ）设中有个01数对，中的00数对只能由中的数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，讨论的奇偶可求出所求．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由变换的定义可得 ‎（Ⅱ） 数列中连续两项相等的数对至少有10对 证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，‎ 因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，‎ 所以中至少有10对连续相等的数对．‎ ‎（Ⅲ） 设中有个01数对，‎ 中的00数对只能由中的01数对得到，所以，‎ 中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，‎ 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由可得，‎ 所以，‎ 当时，‎ 若为偶数，‎ 上述各式相加可得，‎ 经检验，时，也满足 若为奇数，‎ 上述各式相加可得，‎ 经检验，时，也满足 所以 考点：1．数列与函数的综合；2．数列的概念及简单表示法．‎ ‎ ‎